ChezMon Arbre et Moi, nous sommes de spĂ©cialistes de l’Arbre de vie. Ce sujet nous passionne et nous pouvons rĂ©pondre au mieux Ă  toutes vos questions. L’arbre de Vie est un symbole universel d’origine sacrĂ©e. Il a influencĂ© de façon positive beaucoup de cultures et de religions au fil du temps. La symbolique de l’arbre est riche

Bonjour Ă  tous !Est 'il possible de tout faire Ă©voluer ? La seule limite c'est pas de limite ! Et je commence Ă  prendre concrĂštement la mesure de l'idĂ©e selon laquelle nos limites sont d'abord celles que nous nous construisons.. Ces murs transparents durs comme le roc qui nous maintiennent dans un cadre des possibles .. Alors la bonne nouvelle c'est que la PNL nous offre deux cadeaux d'une valeur inestimable..Le premier c'est de nous permettre d'en prendre conscience et le deuxiĂšme de nous enseigner comment changer les choses et par quels moyens.. Merci mĂ©tafor'm team !Alors si le "software" est bien le nom anglais pour logiciel et qu'un logiciel est bien un ensemble d'instructions donnĂ©es Ă  un ordinateur pour qu'il rĂ©alise une tache , je rĂ©pondrais OUI !il est possible de tout faire Ă©voluer et le changement peut ĂȘtre rapide et facile.. Une de mes croyances prĂ©fĂ©rĂ©es Toute personne est unique alors pourquoi ne pas tenter le coup ? En plus de la crĂ©ativitĂ©, de la flexibilitĂ© ,de la disponibilitĂ© et de la curiositĂ© ne pourrions nous pas rajouter l'optimisme comme corde supplĂ©mentaire Ă  l'arc du coach ?AmĂ©liorer les instructions envoyĂ©es au cerveau , les rendres plus favorables , plus judicieuses , plus adaptĂ©es.. Toute situation peut s'amĂ©liorer et toutes les Ă©volutions bĂ©nĂ©fiques sont envisageable Par contre il faut bien organiser le transfert des donnĂ©es, sur le fond comme sur la forme..Et s'adresser au systĂšme en entier pour que dans son unitĂ© il puisse servir la fonction, je me dis innocemment qu'il pourrait y avoir 6 niveaux d'intervention permettant d'envoyer des instructions dans tout le systĂšme et Ă  tous les Ă©tages.. Et je pense que Robert serait d'accord avec moi De plus pour que le logiciel puisse ĂȘtre installĂ© de maniĂšre efficace et pĂ©renne , il faudra qu'il soit compatible avec le systĂšme.. Comme une intervention qui prendrait en compte "le modĂšle du monde " du client..Puisque j'ai conscience de ce qui se passe et que je sais comment le faire Ă©voluer favorablement pourquoi devrais je me fixer des limites ?

Desorte que son intention critique l'amĂšne au-delĂ  de l'ontologie (jusqu'Ă  l'infini), la critique ne rĂ©duit pas l'Autre au MĂȘme comme ontologie, mais met l'exercice du MĂȘme en question. Cette mise en question par la prĂ©sence d'Autrui, on l'appelle Ă©thique. L'Ă©trangetĂ© d'Autrui est son irrĂ©ductibilitĂ© Ă  moi, elle s'accomplit comme Ă©thique; la mĂ©taphysique, la .+/>3 + etc. Supposons, pour fixer les idĂ©es, que l’on ait un nombre donnĂ© i d’urnes A, contenant des boules blanches et des boules noires, et que le nombre total de boules et le nombre de boules blanches soient c, et a, dans une premiĂšre urne, c % et a % daus une seconde, etc. Supposons aussi que E soit l’extraction d’une boule blanche, en mettant la main au hasard dans l’une de ces urnes. Cet Ă©vĂ©nement pourra alors arriver de i maniĂšres diffĂ©rentes, puisque i est le nombre d’urnes d’oĂč la boule blanche pourra sortir. La probabilitĂ© que la main se portera sur l’une de ces urnes sera la mĂȘme pour toutes et Ă©gale Ă  la chance d’extraire une boule blanche sera — , —, —, etc., selon l’urne sur la- c.’ c,’ c 3 ’ quelle la main se portera effectivement; d’aprĂšs la rĂšgle du n° 5, les probabilitĂ©s p,, p t , Pi, etc., des diverses maniĂšres dont E pourra arriver, seront donc Px I fi i c, ’ P* L fi i c,’ Pi i_ a 3 i c 3 ’ etc.; et il s’agira de prouver que la probabilitĂ© complĂšte p de l’extraction d’une boule blanche, de l’une ou de l’autre de toutes les urnes A, aura pour valeur p= - + - + - + etc.. r 1 \ c, 1 c, 1 c 3 1 J La dĂ©monstration de cette rĂšgle est fondĂ©e sur un lemme qui sera Ă©galement utile dans d’autres occasions. Concevons un nombre quelconque i d’urnes C, contenant des boules blanches et des boules noires en proportions diverses, mais dont le nombre total soit le mĂȘme et reprĂ©sentĂ© par p, pour chacune de ces SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 45 urnes; la probabilitĂ© d’extraire de leur ensemble une boule blanche ne changera pas si l’on rĂ©unit les i/x boules qu’elles contiennent dans une seule urne B. En effet, elles y formeront des groupes disposĂ©s d’une maniĂšre quelconque, dont chacun contiendra les boules provenant d’une mĂȘme ui’ne C, et qui seront tous composĂ©s d’un mĂȘme nombre fx de boules, ce qui suffit pour que la chance d’y porter la main soit la mĂȘme pour tous ces groupes, et Ă©gale Ă  A, comme quand chaque groupe Ă©tait renfermĂ© dans une urne C. La chance de tirer une boule blanche du groupe oĂč la main se portera n’aura pas non plus changĂ©; par consĂ©quent, la probabilitĂ© d’extraire une boule blanche sera la mĂȘme pour l’urne B et pour le systĂšme des urnes C. Cette conclusion n’aurait plus lieu, si les nombres de boules que les urnes C renferment Ă©taient inĂ©gaux; quels qu’ils soient, la chance que la main se portera sur l’une des urnes sera la mĂȘme, et Ă©gale Ă  mais quand toutes les boules auront Ă©tĂ© rĂ©unies dans l’urne B, les groupes qu elles y formeront contenant des nombres inĂ©gaux de boules, la chance que la main s’y portera ne sera pas Ă©gale pour tous ces groupes elle est Ă©videmment plus grande pour ceux qui seront formĂ©s d’un plus grand nombre de boules. Cela posĂ©, rĂ©duisons toutes les fractions —, — , —, etc., Ă  un mĂȘme C, C, C3 dĂ©nominateur, que nous dĂ©signerons par fx. Soient alors a,, a % , a 3 , etc., leurs numĂ©rateurs, de sorte qu’on ait La chance d’extraire une boule blanche de chacune des urnes A, et par consĂ©quent 4 e l’ensemble de ces urnes, ne changera pas si l’on remplace chacun^.es nombres c lt c,, c 3 , etc., de boules blanches ou noires, par le meme nombre /x, et les nombres a lt a % , a 3 , etc., de boules blanches, par a,, a,, a 3 , etc. La probabilitĂ© de l’extraction d’une boule blanche ne changera pas non plus, si l’on rĂ©unit ensuile toutes ces boules dans une mĂȘme urne C. Or, cette urne contenant alors un nombre total ifx de boules, parmi lesquelles il y aura un nombre a, -f- a 3 -etc., de boules blanches, cette probabilitĂ© sera 46 RECHERCHES le rapport du second nombre au premier, ou, ce qui est la mĂȘme chose, - + - + - + etc -; t \ft U 1 U J quantitĂ© qui coĂŻncide, en vertu des Ă©quations prĂ©cĂ©dentes, avec la valeur de p qu’il s’agissait de dĂ©montrer. n. Pour appliquer cette rĂšgle Ă  des exemples, supposons d’abord qu’il soit Ă  la connaissance d’une personne qu’une boule a Ă©tĂ© extraite, ou d’une urne A contenant cinq boules blanches et une boule noire, ou d’une urne B renfermant trois boules blanches et quatre boules noires, et qu’elle n’ait aucune raison de croire que cette boule soit sortie plutĂŽt de l’une que de l’autre des deux urnes. Pour cette personne , la probabditĂ© — „ + 1 et la probabilitĂ© complĂšte ;ĂŻ + '» 7 7 + 0 ; en prenant leur somme et la divisant par trois, on aura donc f pour la probabilitĂ© complĂšte de cette extraction, comme pour celle d’une boule blanche, de l’urne A. >2 ConsidĂ©rons enfin un systĂšme d’urnes D,, D a , D 3l etc., dont la premiĂšre renferme un nombre c, de boules parmi lesquelles a t boules blan- 7 RECHERCHES ches,la deuxiĂšme ua boules dont a,boules blanches, etc.; et supposons que par une raison quelconque, il n’y ait pas la mĂȘme chance pour toutes ces urnes, que la main s’y portera pour en extraire une boule blanche ou noire. DĂ©signons alors par h, la probabilitĂ© qu’elle se portera sur l’urne D 1} par k t la probabilitĂ© qu’elle se portera sur l’urne D,, etc. Par la rĂšgle du n° 5, la probabilitĂ© d’extraire une boule blanche de la premiĂšre urne sera k, de la seconde k % — , etc. ; ces produits exprimeront donc les probabilitĂ©s par- tielles p,, p t , p 3 , etc., relatives aux diverses maniĂšres dont l’extraction d’une boule blanche pourra avoir lieu ; par consĂ©quent, la probabilitĂ© complĂšte q — 7i H - 7» “H fa “h" etc -> et, par consĂ©quent, Pi - f- P* + Ps + etc. + q t - F 7* + etc. Maintenant, si un nombre m des lettres A, B, C, D, etc, reprĂ©sentent un mĂȘme Ă©vĂ©nement E, celles de leurs permutations qui ne diffĂšrent que par les places de E seront aussi les mĂȘmes; ce qui rĂ©duira le nombre des permutations distinctes, au produit prĂ©cĂ©dent, divisĂ© par le nombre 53 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, de permutations dont ces m lettres E sont susceptibles, et qui est i .2 ; 3...m. Si les p — m ou n autres lettres reprĂ©sentent aussi un mĂȘme Ă©vĂ©nement F, il faudra Ă©galement diviser ce produit par le nombre de permutations de ces n lettres F, ou par n. Par consĂ©quent, le nombre de permutations distinctes que l’on peut faire avec m Ă©vĂ©nements E et n Ă©vĂ©nements F, c’est-Ă -dire la valeur de K qu’il s’agissait d’obtenir, sera K = t m. i . 2 .3... n A cause de = m +, cette quantitĂ© K est symĂ©trique par rapport Ă  m et Ă  n; mais on peut aussi l’écrire sous ces deux autres formes u fi — i u — 2 . . .ic — m -j- i i. 2 .3 ... m fi./t — Ăź .fi — 2. . ,ft — n -f- i . n ’ K K= qui montrent que la probabilitĂ© n, ou le produit K p m q m , est le ternie du rang m - f- i dans le dĂ©veloppement de p - f- qĂż ordonnĂ© suivant les puissances croissantes de p, ou le terme du rang n-j- i dans ce dĂ©veloppement ordonnĂ© suivant les puissances croissantes de q. On conclut de lĂ  que dans le cas que nous examinons, oĂč les chances p et q des deux Ă©vĂ©nements contraires E et F sont constantes, celles de tous les Ă©vĂ©nements composĂ©s qui peuvent arriver dans un nombre pt, d’épreuves ont pour expressions, les diffĂ©rents termes de la formule du binĂŽme p-\- q Ă©levĂ© Ă  la puissance p-. Le nombre de ces Ă©vĂ©nements est p - f- i. Ils sont inĂ©galement probables, soit Ă  cause de la multiplicitĂ© des combinaisons qui peut les amener et qui est exprimĂ©e, pour chacun d’eux, par le nombre K, soit Ă  raison de l’inĂ©galitĂ© des chances p et q. Dans le cas de p = q } l’évĂ©nement le plus probable est celui qui rĂ©pond Ă  m — n, lorsque p RECHERCHES h 54 est un nombre,pair; et l’un des deux qui rĂ©pondent Ă  m —n = rbi, quand /x. est un nombre impair. 1 5 . Soit P la probabilitĂ© que E arrivera au moins m fois dans le nombre fx. d’épreuves. Cet Ă©vĂ©nement composĂ© pourra avoir lieu de m - f- 1 maniĂšres diffĂ©rentes, savoir, lorsque E arrivera les nombres de fois [x, fx, — 1, /x. — 2,... et eufin fx. — ou m ; les probabilitĂ©s relatives Ă  ces m - 1 maniĂšres se dĂ©duiront de l’expression prĂ©cĂ©dente de n, en mettant successivement fx, et zĂ©ro, u — 1 et 1, /x. — 2, et 2 ,.. . jusqu’à m et n , au lieu de ces deux derniers nombres ; d’aprĂšs la rĂšgle du n° 10, la valeur complĂšte de P sera donc la somme de ces n - f- 1 probabilitĂ©s partielles; et, par consĂ©quent, on aura P = ^+ fxp^~'q+ *JL=-L pT-Zf +.. . _ 1 _ 1 „ . . 1 . 2 . 3 ... n P ? » de sorte que P sera la somme des n - f- 1 premiers termes du dĂ©veloppement de p - f- qY , ordonnĂ© suivant les puissances croissantes de q. Pour m = o, ou n = fx , on aura p = p + qY — i ; ce qui doit ĂȘtre, en effet, puisqu’alors l’évĂ©nement composĂ© comprenant toutes les combinaisons de E et F qui peuvent arriver, sa probabilitĂ© P doit ĂȘtre la certitude. Pour m = 1., cet Ă©vĂ©nement est le contraire de l’arrivĂ©e de F Ă  toutes les Ă©preuves; et, effectivement, la valeur de P est, dans ce cas, le dĂ©veloppement entier de p -f- qt* , moins son dernier terme q^; ce qui s’accorde avec la valeur de /‱ du 11“ 8. Si /x. est un nombre impair 21+ 1, et si l’on demande la probabilitĂ© que E arrivera plus souvent que F, on la dĂ©duira de l’expression gĂ©nĂ©rale de P, en y faisant m = 1 + 1 et n = t. Si p. est un nombre pair 2i, on obtiendra la probabilitĂ© que E arrivera au moins autant de fois que F, en faisant m = n = i, dans cette mĂȘme expression. 16 . On dĂ©duit aussi de cette formule la solution du premier pro- 55 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. blĂȘme de probabilitĂ© que l’on ait-rĂ©solu , que nous avons indiquĂ© au commencement de cet ouvrage, et qui est connu l sous le nom de problĂšme des partis. Deux joueurs A et B jouent ensemble Ă  un jeu quelconque, oĂč l’un des deux doit gagner un point Ă  chaque coup; p est la probabilitĂ© de A, q celle de B, pour gagner ce point; il reste Ă  A un nombre a et Ă  B un nombre b de points Ă  prendre pour gagner la partie. On demande la probabilitĂ© et que ce sera A qui gagnera, ou la probabilitĂ© Ă« que ce sera B. L’un de ces deux Ă©vĂ©nements contraires devant nĂ©cessairement arriver, la somme et Ă« sera l’unitĂ©, et l’on aura seulement a Ă  dĂ©terminer. Observons d’abord que la partie sera terminĂ©e en un nombre de coups qui ne saurait excĂ©der a-\~b — i ; car dans ce nombre de coups, il arrivera nĂ©cessairement que A aura gagnĂ© au moins un nombre a de points, ou que B en aura gagnĂ© au moins un nombre b. De plus, sans rien changer Ă  leurs chances respectives de gagner la partie, les deux joueurs peuvent convenir de jouer ce nombre a -{- b — 1 de coups; cardans cette sĂ©rie de coups, un seul joueur pourra prendre le nombre de points dont il a besoin selon que A aura pris a points avant que B en ait pris b , ou que B en aura pris un nombre b avant que A en ait pris a , ce sera A ou B qui aura gagnĂ© la partie, quelque chose qui arrive ensuite. Pour dĂ©terminer les chances a et Ă«, nous pouvons donc supposer qu’il sera toujours jouĂ© le nombre a - f- b — i de coups. Alors et sera la probabilitĂ© que sur ce nombre d'Ă©preuves, un Ă©vĂ©nement E dont la chance est p Ă  chaque Ă©preuve, arrivera au moins un nombre de fois a; par consĂ©quent, sa valeur se dĂ©duira de l’expression prĂ©cĂ©dente de P, en y faisant p. — a b — i, m = a, n = b — 1. Si l’on a r par exemple, on trouvera _ I 12 g _ 1 31 “ — 6 — Ï43 ; et Ă« surpassant et, il s’ensuit qu’un joueur A dont l’habiletĂ© est double 56 RECHERCHES de celle de B, ou qui a une chance double de gagner chaque point, ne peut nĂ©anmoins parier, sans dĂ©savantage, de gagner quatre points avant que B en ait pris deux. Si les deux joueurs conviennent de se retirer sans achever la partie, on verra plus loin que ce qui reviendra Ă  A sera Yenjeu multipliĂ© par la chance a de gagner, et Ă  B le produit de l’enjeu et de la chance ÂŁ, c’est-Ă -dire qu’ils devront partager l’enjeu proportionnellement aux fractions a et Ă«. 17. Au lieu de deux Ă©vĂ©nements E et F, supposons qu’il y eu a un plus grand nombre, trois, par exemple, que nous dĂ©signerons par E, F, G, et dont un seul devra arrivera chaque Ă©preuve. Soient p, q, r, leurs probabilitĂ©s constantes, et p. le nombre des Ă©preuves. Par une extension facile de la mĂ©thode du n* 14, on trouvera . . . fc .p m q n r° n. 1 . 2 ,3 ...0 * pour la probabilitĂ© que le premier des Ă©vĂ©nements E, F, G, arrivera m fois, le second n fois, le troisiĂšme o fois. On aura, en mĂȘme temps, /’+? + ' = I, U2 + + O = 74; et la probabilitĂ© dont il s’agit sera le terme gĂ©nĂ©ral du dĂ©veloppement du trinĂŽme p - f- q - f- r Ă©levĂ© Ă  la puissance p. Ce cas est celui d’une urne qui renfermerait des boules de trois couleurs diffĂ©rentes, dans les proportions marquĂ©es par les fractions p, q, r, et oĂč les Ă©vĂ©nements E, F, G, seraient les extractions de ces trois sortes de boules, en remettant Ă  chaque fois dans l’urne la boule qui en est sortie. En prenant dans le dĂ©veloppement de p -\-q-\- r/*, la somme des termes qui renferment une puissance de p, Ă©gale ou supĂ©rieure Ă  m, on aura la probabilitĂ© que E arrivera au moins un nombre m de fois dans un nombre p d’épreuves. Quel que soit le nombre des Ă©vĂ©nements E, F, G, etc., parmi lesquels un seul arrivera Ă  chaque Ă©preuve, on peut aussi dĂ©duire immĂ©diatement cette probabilitĂ©, de l’expression prĂ©cĂ©dente de P. En effet, reprĂ©sentons toujours par p, q , r, etc., les chances constante» do E, F, G, etc.; Ă  chaque Ă©preuve, l’arrivĂ©e de l’un ou l’autre des Ă©vĂ©nements E, F, G, etc., peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5 7 comme un Ă©vĂ©nement composĂ©, que j’appellerai F'; en dĂ©signant par q' sa probabilitĂ©, on aura q' = q + r + etc., p + q' = I ; E et F' seront alors deux Ă©vĂ©nements contraires, dont un seul aura lieu Ă  chaque Ă©preuve; par consĂ©quent, la probabilitĂ© que E arrivera au moins m fois, dans une sĂ©rie de fx. Ă©preuves, s’obtiendra en mettant q' au lieu de q dans l’expression de P. ‱ Pour donner un exemple de cette rĂšgle fondĂ©e sur le dĂ©veloppement delĂ  puissance d’un polynĂŽme, je suppose qu’une urne A renferme un nombre m de boules portant les n OJ i, a, 3,.. . m; on tire x. fois de suite une boule de cette urne, en y remettant Ă  chaque fois la boule sortie; la chance, Ă  chaque tirage, de l’arrivĂ©e d’une boule portant un numĂ©ro dĂ©terminĂ©, est la mĂȘme pour toutes les boules, constante pendant les Ă©preuves, et Ă©gale Ă  cela Ă©tant, dĂ©signons „ par n,, n t , n 3 ... n m , des nombres donnĂ©s qui peuvent ĂȘtre zĂ©ro, Ă©gaux, inĂ©gaux, pourvu qu’on ait toujours n i + n * + n 3 ‱ m = et soit U la probabilitĂ© qu’on amĂšnera, dans un ordre quelconque, n, fois le n° i, n t fois le n° a,. . . n m fois le n° m si l’on fait G + t% + t 3 ... + ?„ ,'* = 6, et que. l’on dĂ©veloppe 0 suivant les puissances et les produits des ^ indĂ©terminĂ©es t t , t t t m , la valeur de Usera le terme de ce dĂ©veloppement, contenant le produit t, n t 3 s ... dans lequel on fera toutes ces indĂ©terminĂ©es Ă©gales Ă  En reprĂ©sentant par N le coefficient numĂ©rique de ce produit, nous aurons donc N Ă©tant un nombre entier, qui dĂ©pendra de fx. et des nombres n,, n % , Wj y ‱ ‱ * ‱ Tijj y savoir, N _ _ .fi _ i n t . 3 .. . 8 58 RECHERCHES oĂč l'on prendra l’unitĂ© pour le produit 1 . 2 .5...n,, quand n, sera zĂ©ro, et de mĂȘme pour chacun des produits semblables. Cela posĂ©, soit s la somme des numĂ©ros sortis dans les u tirages, on aura s — n i ~ h 2 n % - j- 3 n s - f* .. . -f- Ttin m . Par consĂ©quent, si s est un nombre donnĂ© j que l’on prenne successivement pour n t , n % ,.. . n m , tous les nombres entiers ou zĂ©ro qui satisfont Ă  cette Ă©quation et dont la somme est Ă©gale Ă  fx; et que Ion dĂ©signe par N', N", N w , etc., les valeurs correspondantes de N, et par V la somme de celles de U, il en rĂ©sultera V = — N' + N* + N"'-f- etc., pour la probabilitĂ© d’avoir, dans un nombre fx de tirages , une somme de numĂ©ros donnĂ©e et Ă©gale Ă  s. On calculera plus aisĂ©ment la valeur de V en changeant dans G les indĂ©terminĂ©es t lt t a , t n , dans les puissances ,t, t*, t 3 ... t m , d’une mĂȘme quantitĂ© t si l’on dĂ©signe par T ce que G deviendra, on aura et il est aisĂ© de voir que la somme N'-j-N ,, +N' ,, -f-etc. ne sera autre chose que le coefficient numĂ©rique de t dans le dĂ©veloppement de T; par consĂ©quent, si l’on reprĂ©sente ce coefficient par M,, il en rĂ©sultera Ce coefficient M, dĂ©pendra des nombres donnĂ©s fi,m, s , et s’obtiendra facilement dans chaque exemple. Au lieu d’une seule urne V, on peut supposer qu’on ait un nombre fx d’urnes A,, A s , A 3 ,.. .A^, dont chacune contienne m boules numĂ©rotĂ©es 1 , 2 , 3et tirer en mĂȘme temps une boule de chacune de ces urnes. On peut aussi remplacer ces urnes par un pareil nombre de dĂ©s s’il s’agit de dĂ©s ordinaires, Ă  six faces, portant les n“ 1 , 2 , 3, 4? 5,6, ou aura m — 6, et V exprimera la probabilitĂ© qu’en projetant simultanĂ©ment un nombre fx de dĂ©s , on amĂšnera une SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. 5 g somme de nume'ros Ă©gale Ă  s . Soit, par exemple, tt = 3 , et consĂ©quemment T = t 3 {i + t + t 3 + t* + * 5 3 , V = ^ M,. L e dĂ©veloppement de T se composera de seize termes ; les coeffi cients des termes Ă©galement Ă©loignĂ©s des extrĂȘmes, tels que M 3 et M i8 , M 4 et M,„ .. .M I0 et M„, seront Ă©gaux; la somme de tous les coefficients aura pour v valeur celle de T qui rĂ©pond Ă  t = i, ou 6 3 ; la somme des huit premiers coefficientsM 3 , M 4 ... , M I0 , sera Ă©gale Ă  ÂŁ6 3 , ainsi que la somme des huit derniers M„, M„. . . M l8 ; d’oĂč l’on conclut qu’en projetant trois dĂ©sa\& fois, la probabilitĂ© d’amener io ou un nombre m oindre est ^, comme celle d’amener 11 ou un nombre plus grand ; en sorte qu’o n peut parier Ă  jeu Ă©gal, ou un contre un, que la somme des trois numĂ©ros qui arriveront passera ou ne passera pas le nombre dix. C’est sur ce rĂ©sultat qu’est fondĂ© le jeu qu’on appelle le passe-dix. Sans le secours d’aucun calcul, on s’assure aisĂ©ment de l’égalitĂ© de chance de chacun des deux joueurs, en observant que chaque couple de faces opposĂ©es d’un mĂȘme dĂ©, porte les numĂ©ros dont la somme est sept, tels que un et six, deux et cinq, trois et quatre. Il s’ensuit alors, que quand les trois dĂ©s tombent sur le tapis , la somme des trois numĂ©ros supĂ©rieurs, jointe Ă  celle des trois numĂ©ros infĂ©rieurs, forme toujours le nombre 21; par consĂ©quent, si la premiĂšre somme est au-dessus de d ix, la seconde sera au-dessous et rĂ©ciproquement. Les deux joueurs sont donc dans le mĂȘme cas que si l’un pariait que ce sont les numĂ©ros supĂ©rieurs qui passeront dix, et l’autre que ce sont les numĂ©ros infĂ©rieurs. Or, il est Ă©vident que les chances de ces deux Ă©vĂ©nements seront Ă©gales; car quels que soient les trois numĂ©ros qui arriveront au-dessus et ceux qui arriveront au-dessous, l’évĂ©nement contraire, c’est- Ă -dire l’arrivĂ©e de ceux-ci au-dessus et de ceux-lĂ  au-dessous, sera Ă©galement possible. Mais pour connaĂźtre les chances des diverses valeurs de s , depuis s = 3 jusqu’à s = 18, il est nĂ©cessaire de recourir au dĂ©veloppement de T. On trouve, en l’effectuant M 3 =M, 8 = i, M 4 =M„= 3 , M s =M„=6 , M 6 =M i5 = 10, M, = M i4 =i 5 , M 8 =M i3 =2 i, M 3 =M„= 2 5 , M io =M„=2 7 , 8 .. 'Vf'' 60 RECHERCHES * pour les nombres des combinaisons de trois numĂ©ros qui peu- 1 vent amener les sommes 3 ou 18, 4 ou i7>...io ou 11 en les divisant par 6 S ou 216, on aura les chances de ces diverses som- f mes. 18. Lorsque la chance de l’évĂ©nement E varie pendant la durĂ©e des Ă©preuves, la probabilitĂ© de sa rĂ©pĂ©tition un nombre de fois donnĂ©, dĂ©pend de la loi de cette variation. Supposons, comme dans le n° 9, que E soit l’extraction d’une boule blanche, tirĂ©e d’une urne A qui contient des boules de cette couleur et des boules noires, et dans laquelle on ne remet pas la boule sortie Ă  chaque tirage. Soient a et b les nombres de boules blanches et de boules noires que A renfermait avant les Ă©preuves, /-c. le nombre des tirages, et ^="748, x = 8t43,i5... La loterie aurait donc dĂ» payer au gagnant, pour que le jeu fĂ»t Ă©gal, 11748 fois sa mise elle lui payait seulement 55 oo fois, c’est-Ă - dire, moins de moitiĂ©. La disproportion Ă©tait encore plus grande dans le cas du quateme et du quine; elle Ă©tait moindre pour Yambe et Yextrait. Il y avait de l’avantage Ă  parier un contre un, qu’un terne donnĂ© sortirait au moins une fois en 8144 tirages, et du dĂ©savantage Ă  parier aussi un contre un, qu'il sortirait en 8143 Ă©preuves. Relativement Ă  un numĂ©ro dĂ©signĂ© d’avauce, on aurait x l0g-3 log. 18 — log. 17 12,137....; il y avait donc dĂ©savantage Ă  parier un contre un que ce numĂ©ro sortirait au moins une fois en 12 tirages, et il aurait fallu i 5 tirages, pour qu’il fĂ»t avantageux de parier un contre un que ce numĂ©ro sortirait. Il y avait aussi un contre un Ă  parier que les 90 numĂ©ros sortiraient au moins une fois en 85 ou 84 tirages *. Parmi les joueurs, les uns choisissaient des numĂ©ros parce qu’ils n’é- {* ThĂ©orie analytique des probabilitĂ©s ; page 198. RECHERCHES 70 taient pas sortis depuis long-temps, d’autres choisissaient, au contraire, ceux qui sortaient le plus souvent. Ces deux prĂ©fĂ©rences Ă©taient Ă©galement mal fondĂ©es quoique, par exemple, il y eĂ»t une probabi- litĂ© trĂšs approchante de la certitude et Ă©galĂ© a 1— [tqJ 5 ou Ă  peu prĂšs 0,997,qu’un numĂ©ro dĂ©terminĂ© sort irait au moinsune fois dans 100 tirages successifs ; si cependant, il ne fĂ»t pas sorti dans les 88 premiers, la probabilitĂ© de sa sortie dans les 12 derniers aurait toujours Ă©tĂ© Ă  peu prĂšs l -, comme pour tout autre numĂ©ro dĂ©terminĂ©. Quant aux numĂ©ros dont la sortie avait Ă©tĂ© plus frĂ©quente que celle des autres, cette circonstance ne devait ĂȘtre considĂ©rĂ©e que comme un effet du hasard, compatible avec l’égalitĂ© Ă©vidente de chance de tous les numĂ©ros Ă  chaque tirage. A tous les jeux de hasard oĂč les chances Ă©gales ou inĂ©gales sont connues d’une maniĂšre certaine, les Ă©vĂ©nements passĂ©s n’ont aucune influence sur la probabilitĂ© des Ă©vĂ©nements futurs, et toutes les combinaisons que les joueurs imaginent ne peuvent augmenter le gain ni diminuer la perte, qui rĂ©sultent de ces chances d’aprĂšs la rĂšgle du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent. Dans les jeux publics de Paris, l’avantage du banquier Ă  chaque coup est peu considĂ©rable au jeu de trente-et -quarante par exemple, il est un peu au-dessous de onze milliĂšmes de chaque mise *; mais Ă  raison de la rapiditĂ© de ces jeux et du grand nombre de coups qui se jouent en peu d’heures, il en rĂ©sulte pour le banquier des bĂ©nĂ©fices assurĂ©s, Ă  peu prĂšs constants chaque annĂ©e, et sur lesquels il peut payer annuellement cinq Ă  six millions Ă  l’administration publique, qui lui en concĂšde le monopole. Ils sont encore plus prĂ©judiciables que la loterie ne pouvait l’ĂȘtre ; car l’argent qu’on y joue dans la capitale seulement s’élĂšve chaque annĂ©e Ă  plusieurs centaines de millions, et surpasse de beaucoup celui que l’on mettait Ă  la loterie dans la France entiĂšre. Ce n’est pas ici le lieu de discuter les raisons que l’on a coutume de donner pour la conservation des jeux publics , je n’ai jamais pu les trouver bonnes; et il devrait suffire que ces jeux fussent la cause de beaucoup de * Voyez sur les chances de ce jeu, le me'moire que j’ai insĂšre' dans le journal de tome XVI, n° 6 ; dĂ©cembre 1825. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ;i malheurs et peut-ĂȘtre de crimes, pour que l’administration les interdit au lieu de partager les bĂ©nĂ©fices qu’ils procurent, avec les hommes auxquels elle en vend le privilĂšge *. a 3 . Le produit d’un gain et de la probabilitĂ© de l’obtenir est ce qu’on appelle Y espĂ©rance mathĂ©matique de chaque personne intĂ©ressĂ©e dans une spĂ©culation quelconque. Si ce gain est 60,000 fr., par exemple, et que ^ soit la chance de l’évĂ©nement auquel il est attachĂ©, la personne qui devra recevoir cette somme Ă©ventuellement, pourra considĂ©rer le tiers de 60,000 fr., comme un bien qu’elle possĂšde, et que l’on devrait comprendre dans l’inventaire de sa fortune actuelle. En gĂ©nĂ©ral, si quelqu’un doit gagner une somme g Ă  l’arrivĂ©e d’un Ă©vĂ©nement E, une somme g'Ă  l’arrivĂ©e d’un autre Ă©vĂ©nement E', etc., et que les chances de ces Ă©vĂ©nements soient p , p', p", etc., son espĂ©rance mathĂ©matique aura pour valeur la somme gp-\-g'p’ -j-g'p* + etc. Lorsqu’une ou plusieurs des quantitĂ©s g , g ', g", etc., exprimeront des pertes que cette personne aura Ă  craindre, on leur donnera le signe — dans cette somme, eu conservant le signe -f- Ă  celles qui sont des gains Ă©ventuels. Selon qtie la valeur totale de l’espĂ©rance sera positive ou nĂ©gative, elle reprĂ©sentera une augmentation ou une diminution du surplus de la fortune, et devra ĂȘtre comprise actuellement parmi les crĂ©ances ou les dettes, si l’on ne veut pas attendre l’issue des Ă©vĂ©nements. 11 est bien entendu que quand les gains ou pertes ne devront avoir lieu qu’à des Ă©poques Ă©loignĂ©es de celle que l’on considĂšre, il faudra les escompter pour les convertir en valeurs actuelles, indĂ©pendamment de leur Ă©ventualitĂ©. Si g ne doit ĂȘtre payĂ©, Ă  la personne dont on Ă©value la fortune, que dans un nombre n d’annĂ©es, g' dans un nombre n', etc., ces quantitĂ©s valent aujourd’hui g , g', g", etc., divisĂ©es respectivement par les puissances n, n 1 , n", etc., de 1 + 0 , en dĂ©signant par S le taux de l’intĂ©rĂȘt annuel. Par consĂ©quent, si l’on appelle e la partie de cette fortune qui rĂ©sulte de l’es- {* Ce numĂ©ro de mon ouvrage Ă©tait Ă©crit avant que la derniĂšre loi de finance eĂ»t heureusement prohibĂ© les jeux de hasard Ă  partir du 1 " janvier i838. 72 RECHERCHES pĂ©rance mathĂ©matique de celte personne, on aura e ==-ÂŁ_ + J'P' . 4. etc Pour se charger des gains et pertes que les Ă©vĂ©nements amĂšneront, g est la somme qu’une autre personne devrait payer aujourd’hui Ă  celle-lĂ , ou recevoir d’elle, selon que cette quantitĂ© g est positive ou nĂ©gative. Le calcul des rentes viagĂšres sur une ou plusieurs tĂȘtes, des assurances sur la vie, des pensions, est fondĂ© sur cette formule et sur les tables de mortalitĂ© , ainsi qu’on peut le voir dans les ouvrages qui traitent spĂ©cialement de ces questions. 24 . Comme l’avantage qu’un gain procure Ă  quelqu’un dĂ©pend de l’état de sa fortune, on a distinguĂ© cet avantage relatif, de l’espĂ©rance mathĂ©matique, et on l’a nommĂ© espĂ©rance morale. Lorsqu’il est une quantitĂ© infiniment petite, on prend §GQ rapport Ă  la fortune actuelle de la personne, pour la mesure de l’espĂ©rance morale, qui peut d’ailleurs ĂȘtre positive ou nĂ©gative, selon qu’il s’agit d’une augmentation ou d’une diminution Ă©ventuelle de cette fortune. Par le calcul intĂ©gral, on dĂ©duit ensuite de cette mesure des consĂ©quences qui s’accordent avec les rĂšgles que la prudence indique sur la maniĂšre dont chacun doit diriger ses spĂ©culations. On a aussi trouvĂ©, dans les rĂ©sultats de ce calcul, des raisons de ne pas jouer, mĂȘme Ă  jeu Ă©gal, qui ne sont peut-ĂȘtre pas les meilleures que l’on puisse donner. L’argument sans rĂ©ponse contre le jeu, quand il a cessĂ© d’ĂȘtre un simple amusement, c’est qu’il ne crĂ©e pas de valeurs, et que les joueurs qui gagnent ne peuvent trouver leur avantage que dans le malheur et quelquefois la ruine de ceux qui perdent. Le commerce est aussi un jeu, en ce sens que le succĂšs des spĂ©culations les plus prudentes, n’a jamais qu’une forte probabilitĂ©, et qu’il reste toujours des chances de perte que l’habiletĂ© et la prĂ©voyance peuvent seulement attĂ©nuer; mais il augmente la valeur des choses par leur transport d’un lieu dans un autre ; et c’est dans cet accroissement de valeur que le commerçant trouve son bĂ©nĂ©fice, en procurant aussi un avantage aux consommateurs. 25 . La rĂšgle du n° 21, quelque simple et naturelle qu’elle soit, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 7 3 donne lieu cependant Ă  une difficultĂ© dont on s’est autrefois beaucoup occupĂ©. Deux personnes A et B jouent Ă  croix et pile; les conditions du jeu sont i°. que la partie se terminera lorsque croix arrivera; 2». que B donnera Ă  A deux francs si croix arrive au premier coup, quatre francs s’il arrive au deuxiĂšme coup,... et gĂ©nĂ©ralement 2" francs si croix arrive au n Umt coup; 3 °. que la partie sera nulle si croix n’arrive pas dans les m premiers coups, limitation sans laquelle la partie pourrait ĂȘtre interminable. On suppose que la piĂšce n’a aucune tendance Ă  retomber plutĂŽt sur une face que sur l’autre, de sorte qu’à chaque coup, la chance d’amener croix soit ^ comme celle d’amener pile. Il s’ensuit que ^ sera la probabilitĂ© que croix arrivera au ''"'coup sans qu’il ait paru auparavant; car, pour cela, il faudra qu’on amĂšne pile n — 1 fois de suite, ce qui a pour probabilitĂ© ; et que l’on amĂšne croix au coup suivant, autre Ă©vĂ©nement dont la probabilitĂ© est^. Par consĂ©quent, la probabilitĂ© que croix arrivera au n iim coup pour la premiĂšre fois, aura le produit de et de ou pour valeur. Dans ce cas, A recevra 2* francs; ce qui donne un franc pour la valeur correspondante de son espĂ©rance mathĂ©matique; et comme elle est la njĂȘme pour chacun des m coups dont la partie peut se composer, il s’ensuit que la valeur entiĂšre de l’espĂ©rance mathĂ©matique de A sera un franc rĂ©pĂ©tĂ© m fois. Pour que le jeu fĂ»t Ă©gal, A devrait donc donner m francs Ă  B, c’est-Ă -dire mille francs, un million de francs, si la partie pouvait durer jusqu’à mille coups, un million de coups, et mĂȘme une somme infinie, si elle pouvait se prolonger indĂ©finiment. Cependant, il n’y a personne qui exposĂąt une somme un peu considĂ©rable, mille francs par exemple, Ă  un pareil jeu. Ici la rĂšgle de l’espĂ©rance mathĂ©matique parait donc en dĂ©faut; et c’est pour lever la difficultĂ© que nous signalons, que 1 on a imaginĂ© la rĂšgle de l’espĂ©rance morale et sa mesure. Mais on doit remarquer que cette difficultĂ© tient Ă  ce que, dans les conditions du jeu, on a fait abstraction de la possibilitĂ© pour B, de payer toutes les sommes que les chances du jeu pourront valoir Ă  A. 10 7 4 RECHERCHES Quelle que grande qu'on la suppose, la fortune de B est nĂ©cessairement limitĂ©e; si donc on la dĂ©signe par un nombre b de francs, A ne pourra jamais recevoir une somme plus grande que b ; ce qui diminue, dans un trĂšs grand rapport, son espĂ©rance mathĂ©matique. En effet, on aura toujours b — a c i + h ; ÂŁ Ă©tant un nombre entier, et h une quantitĂ© positive et plus petite que l’unitĂ©. Si l’on a ÂŁ > m, ou seulement ÂŁ = m, B pourra payer toutes les sommes qui Ă©choiront Ă  A ; mais dans le cas de ÂŁ P% Ps 1 ‱ ‱ -P* 5 ‱ ‱ -Pt* 5 les probabilitĂ©s connues de son arrivĂ©e, relatives Ă  ces diverses causes ; de maniĂšre que p n exprime la probabilitĂ© de E qui aurait lieu si la cause C„ Ă©tait unique, ou, ce qui est la mĂȘme chose, si elle Ă©tait certaine, ce qui exclurait toutes les autres. DĂ©signons ensuite par D r & r m , . ‱ ‱'©' m , 4 les probabilitĂ©s inconnues de ces mĂȘmes causes ; en sorte que soit la probabilitĂ© de la cause C„, ou, autrement dit, la probabilitĂ© que c’est Ă  cette cause qu’est due l’arrivĂ©e de E. Il s’agira de prouver qu’on doit avoir Pn Or, quel que soit l’évĂ©nement E, on peut l’assimiler, pour fixer les idĂ©es, Ă  l’arrivĂ©e d’une boule blanche, extraite d’une urne qui contenait des boules de cette couleur et des boules noires. On supposera, pour cette assimilation, qu’il y avait un nombre m de semblables urnes Ai ? A, j A3, ‱.. A.,.. ‱ A m , dont la boule blanche a pu sortir, et telles que dans l’urne quelconque A„, le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules, soit Ă©gal Ă  la fraction p u . Chacune de ces urnes sur lesquelles la main a pu se porter au hasard pour en extraire la boule blanche, reprĂ©sente une des causes de son arrivĂ©e ; l’urne A, rĂ©pond Ă  la cause C, ; et la question consiste Ă  dĂ©terminer la probabilitĂ© que la boule blanche est sortie de A a . Pour cela, supposons que l’on rĂ©duise les fractions p t , p it pa> etc., au mĂȘme dĂ©nominateur, et que l’on ait ensuite P> = P ‱ *n P m = 83 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. pL et les numĂ©rateurs a,, etc., Ă©tant des nombres entiers. On ne changera rien Ă  la chance de tirer une boule blanche de l’urne A., en y remplaçant les boules quelle contient, par un nombre a. de boules blanches et un nombre [z de boules, tant blanches que noires; et de mĂȘme pour toutes les autres urnes. Le nombre total des boules Ă©tant actuellement le mĂȘme dans toutes ces urnes, il rĂ©sulte du lemme du n° 10, que si on les rĂ©unit dans une mĂȘme urne A, et que l’on donne le n“ i Ă  celles qui proviennent de A,, le n° 2 aux boules provenant de A a , etc., la probabilitĂ© fsr a qu’une boule blanche extraite de l’ensemble de ces urnes A,, A»,  3 , etc., provient de A„, est la mĂȘme que la probabilitĂ© qu’une boule blanche sortie de A, portera le n n ; laquelle a pour valeur le rapport de a, Ă  la somme des m quantitĂ©s a,, a a ', a 3 , etc., puisque cette somme est le nombre total des boules blanches qui seront contenues dans A, et que dans cette somme, il y en aura un nombre a. qui portera le n n. On aura donc aussi “ a, - J- -J- a 3 - f- . . . -J- c$ n . .. -f- m ’ quantitĂ© qui coĂŻncide, en vertu des Ă©quations prĂ©cĂ©dentes’, qvec l’expression de qu’il s’agissait de dĂ©montrer. 29. En calculant les probabilitĂ©s de plusieurs Ă©vĂ©nements successifs, il faut non-seulement tenir compte de l’influence que peut avoir l’arrivĂ©e de l’un d’eux sur la chance de celui qui le suit n° 9 ; mais on doit aussi quelquefois avoir Ă©gard , dans l’évaluation de cette chance , aux probabilitĂ©s des diverses causes de l’évĂ©nement prĂ©cĂ©dent, ou des diffĂ©rentes maniĂšres dont il a pu avoir lieu. C’est ce qu’on verra, par exemple, dans le problĂšme suivant. Je suppose qu’on ait un nombre m d’urnes A, B, C, D, etc., contenant des boules blanches et des boules noires, et que les chances d’extraire une boule blanche soient a , de l’urne A, b de B, c de C, etc. On tire au hasard une premiĂšre boule de l’une dĂ© ces urnes, puis une seconde boule de l’une des urnes d’oĂč la premiĂšre n’est pas sortie, puis une troisiĂšme de l’une des urnes d’oĂč les deux premiĂšres ne sont pas sorties, etc., c’est-Ă -dire, qu’aprĂšs chaque tirage, on supprime l’urne d’oĂč la boule a Ă©tĂ© extraite. On demande la probabilitĂ© d’amener, de RECHERCHES 84 cette maniĂšre, un nombre n de boules blanches, dans un pareil nombre de tirages; n Ă©tant moindre que m ou Ă©gal Ă  m. Faisons, pour abrĂ©ger, T jci —{— b * 4 “ c " f - d -J- etc. — s t , ab ac - f- ad - bc - f- bd - f- cd-\- etc. — s % , abc + abd + bcd + etc. = s s , abcd - f- etc. = s 4 , etc. ; de sorte que s, soit la somme des fractions a, b, c, d, etc., que s % reprĂ©sente la somme de leurs produits deux Ă  deux dont le nombre est —que s Ăź dĂ©signe la somme de leurs produits trois Ă  trois dont t. m 2^ L a probabilitĂ© d’amener une boule le nombre est 1 . blanche au premier tirage, sera ^ s,. Si la boule blanche ou noire, extraite Ă  ce tirage, est sortie de A, la probabilitĂ© d’amener une boule blanche au second tirage aura — ~ s,— a pour valeur; cette probabilitĂ© sera m ^ s, — b, si la premiĂšre boule est sortie de B ; elle sera - s t — c , si la premiĂšre boule a Ă©tĂ© extraite de C; et ainsi de suite. De lĂ  et des rĂšgles des n” 9 et 10, on conclut ‱? — * _i_ c *'~* . >*— c m — 1 +- etc., pour la probabilitĂ© complĂšte de l’arrivĂ©e d’une boule blanche au second tirage; a Ă©tant la probabilitĂ© que la boule extraite au premier est sortie de A, ÂŁ la probabilitĂ© qu’elle est sortie de B, y qu’elle est sortie de C, etc. Or, ces probabilitĂ©s a, C, y, etc., ne sont point Ă©gales entre elles * d’aprĂšs ce qu’on a vu dans le numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, on a a ‱ a =7’ A b C 6 — — , y — — , etc. ; * Faute d’avoir eu Ă©gard Ă  cette circonstance, la solution de ce problĂšme qui se trouve dans le n° 17 de mon mĂ©moire sur la proportion des naissances des deux sexes, est inexacte, et j’en ai dĂ©duit une fausse consĂ©quence. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 85 on a aussi, identiquement, — a-\-b s, — b - h cs, — c -f- etc. = 2 s t ; la probabilitĂ© d’amener une boule blanche au second tirage deviendra donc;——. De mĂȘme, la probabilitĂ© d’amener une boule blanche m— is, au troisiĂšme tirage sera s,—a — b , si les deux boules blanches ou noires, extraites dans les deux premiers tirages, sont sorties de A et B; cette probabilitĂ© sera ^,— a —c, si ces deux boules ont Ă©tĂ© extraites de A et C ; et ainsi de suite. Donc la probabilitĂ© d’amener une boule blanche au troisiĂšme tirage, aura pour valeur complĂšte ’ g {s, —a — b h *, — a — c h *, — b — c j m— 2 m —2 ' m —2 ’ g, h, k, etc., dĂ©signant les probabilitĂ©s que les boules extraites dans les deux premiers tirages sont sorties de A et B, de A et C, de B et C, etc. ; lesquelles probabilitĂ©s sont, d’aprĂšs le numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, ab 7 ac , bc S = T, ‱ ‱ 'P n> ‱ ‱ ’P m f les chances de E' relatives Ă  ces diverses causes, de sorte que p' n soit la probabilitĂ© donnĂ©e que E' arriverait si la cause C„ Ă©tait certaine ; cette cause Ă©tant seulement probable, et sa probabilitĂ© ayant Ă©tĂ© reprĂ©sentĂ©e par fsr u , l’arrivĂ©e de E' en vertu de cette cause, sera un Ă©vĂ©nement composĂ© dont la chance aura pour expression le produit de ces deux probabilitĂ©s n° 5. De plus, la probabilitĂ© complĂšte de E' sera la somme des chances relatives aux m maniĂšres diffĂ©rentes dont cet Ă©vĂ©nement peut avoir lieu n° 10 , c’est-Ă -dire, la somme des valeurs de p\ ou bien, en mettant pour' 1 ,, , etc., leurs valeurs, tsr' — P'P'* + P 'P' + ‱ ‱ ‱ + P*P* H- . . . +Pmp'm Pi +p 1 + ‱ ‱ ‱ +Pn + ‱ ‱ ‱ +Pm SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 87 Telle est la formule qui sert Ă  calculer la probabilitĂ© des Ă©vĂ©nements futurs, d’aprĂšs l’observation des Ă©vĂ©nements passĂ©s. On parvient aussi Ă  la mĂȘme expression, sans l’intermĂ©diaire des causes communes Ă  E et E', en les considĂ©rant comme deux Ă©vĂ©nements composĂ©s qui dĂ©pendent d’un mĂȘme Ă©vĂ©nement simple; les raisonnements qui nous y ont conduits, s’appliqueraient Ă©galement Ă  cette autre maniĂšre d’envisager la question; mais on peut, si l’on veut, la faire rentrer immĂ©diatement dans la prĂ©cĂ©dente. En effet, si E et E' sont deux Ă©vĂ©nements composĂ©s d’un mĂȘme Ă©vĂ©nement G, et que G soit susceptible de diffĂ©rentes chances §t > ÂŁ>» > ‱*‹§»> ‱ * ‱ §m , toutes Ă©galement probables avant que l’évĂ©nement E ait Ă©tĂ© observĂ©, on pourra les considĂ©rer comme autant de causes distinctes de E et de E'; en prenant donc g» pour la cause que l’on a appelĂ©e prĂ©cĂ©demment C„, la probabilitĂ© de g„ sera la valeur de et Ă  cause de 2 n{n — i _ m— Ăź mm + i 9 on en conclura La probabilitĂ© d’extraire une boule blanche d’une urne, d’oĂč il est dĂ©jĂ  sorti une boule de cette couleur que l’on n’y a pas remise, est donc indĂ©pendante du nombre m de boules blanches ou noires que l’urne renfermait, et toujours Ă©gale Ă  La valeur de '‱ = t , p', = r, p's = l; par consĂ©quent, sa probabilitĂ© complĂšte aura pour valeur zr' de l’arrivĂ©e d’une nouvelle boule blanche a eu pour valeur trĂšs approchĂ©e, le rapport du nombre des boules blanches sorties de B au nombre total des Ă©preuves, et que, dans chaque cas, ce rapport a aussi Ă©tĂ©, avec une probabilitĂ© trĂšs approchante de la certitude, celui du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans B, c’est-Ă -dire la chance propre de l’extraction d’une boule blanche de cette urne. On verra effectivement, dans la suite, que quand un Ă©vĂ©nement, d’une nature quelconque, a Ă©tĂ© observĂ© un certain nombre de fois, dans un trĂšs grand nombre d’épreuves, le rapport du premier nombre au second est la valeur trĂšs probable et trĂšs approchĂ©e de la chance connue ou inconnue de cet Ă©vĂ©nement. Dans l’exemple que nous considĂ©rons, cette chance ne pouvant ĂȘtre que - , ^il s’ensuit que les valeurs ^, 2 j j 2 j 3 sont aussi les seules qu’on doive supposer, avec vraisemblance, quand x et n sont de trĂšs grands nombres. 34. Nous avons supposĂ©, dans ce qui prĂ©cĂšde, qu’avant l’arrivĂ©e de E toutes les causes C,, C,, C s , etc., auxquelles on peut attribuer cet Ă©vĂ©nement Ă©taient Ă©galement possibles; mais si l’on avait Ă  priori 94 RECHERCHES quelque raison de croire plutĂŽt Ă  l’existence de l’une de ces causes qu’à celle d’une autre, il serait nĂ©cessaire d’avoir Ă©gard Ă  cette inĂ©galitĂ© des chances de C,, C a , C 3 , etc., antĂ©rieures Ă  l’observation, dans l’évaluation des probabilitĂ©s que ces diverses causes ont acquises aprĂšs l’arrivĂ©e de E. Cette nĂ©cessitĂ© est un point important de la thĂ©orie des probabilitĂ©s, surtout dans la question relative aux jugements des tribunaux, ainsi qu’on l’a expliquĂ© dans le prĂ©ambule de cet ouvrage. La dĂ©monstration du n° 28 est d’ailleurs facile Ă  Ă©tendre au cas gĂ©nĂ©ral oĂč les causes de E avaient, antĂ©rieurement Ă  l’observation, des probabilitĂ©s quelconques dont les valeurs sont donnĂ©es. En effet, comme dans ce numĂ©ro, remplaçons l’évĂ©nĂ©ment E par l’extraction d’une boule blanche qui a pu sortir de l’une des urnes A,, A,, Aj, etc., et supposons d’abord que la sortie de chacune d’elles a Ă©tĂ© Ă©galement possible pour toutes. La probabilitĂ© qu'elle est sortie de l’urne A» sera -, en dĂ©signant toujours par p„ le rapport du nombre de boules blanches au nombre total de boules contenues dans A., et Ă©tendant la somme 2 Ă  toutes les urnes A,, A„ A 3 , etc. Pour d’autres urnes A„,, A.», etc., comprises parmi celles-lĂ , cette probabilitĂ© sera de mĂȘme —, —, etc. ; d’aprĂšs la rĂšgle du n° 10, la probabilitĂ© que la Zpm ^-Pn boule blanche est sortie de l’une des urnes A,, A»,, A,„, etc., sera la somme P *Pn EĂŻL 4. 4. etc., ‱z Pn ^ n ^ qui se rĂ©duira Ă  l’une de ces fractions multipliĂ©e par leur nombre, lorsque les quantitĂ©s p m , p n >, p .„, etc., seront Ă©gales entre elles. Cela Ă©tant, concevons que les urnes A,, A,, A 3 , etc., se composent d’un nombre a, d’urnes A, dans chacune desquelles p , soit le rapport de la quantitĂ© de boules blanches Ă  celle des boules blanches ou noires , d’un nombre a t d’urnes A, dans lesquelles ce rapport soit p % .... et enfin d’un nombre a, d’urnes A ; oĂč ce mĂȘme rapport soit pp, de maniĂšre que i exprime le nombre de ces groupes d’urnes semblables, et qu’en appelant s le nombre de toutes les urnes, nous ayons { - CLy “ 1— d t - f- Cl “f- .... “f“ di. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 9 5 La somme 2 p u Ă©tendue Ă  toutes les urnes pourra ĂȘtre remplacĂ©e par celle-ci 1a n p m qui s’étendra Ă  tous les groupes, ou Ă  toutes les valeurs de l’indice n , depuis = x jusqu’à n— i. Si donc les urnes A., A.' , A„», etc,, forment un des groupes et sont en nombre a m , la probabilitĂ© que la boule blanche extraite de l’une des s urnes, soit sortie de ce groupe, aura pour valeur le rapport Pn multipliĂ© para.; en sorte qu’en la dĂ©signant par PmP' a Supposons que E' soit aussi observĂ© aprĂšs E. Soit E' un troisiĂšme Ă©vĂ©nement dĂ©pendant toujours des mĂȘmes causes ; et dĂ©signons par p r m , la chance que la cause C„ si elle Ă©tait certaine, donnerait Ă  l’arrivĂ©e future de E". La probabilitĂ© de cette cause Ă©tait P> q*Pi + i5 3? pour la probabilitĂ© de la premiĂšre hypothĂšse, aprĂšs l’observation ; de maniĂšre qu’au lieu de deux contre un, il y a, au contraire, moins de un contre un, et seulement i 5 contre 16 Ă  parier que la carte inconnue est rouge comme celle qui a Ă©tĂ© retournĂ©e. Cette valeur de zr, se vĂ©rifie immĂ©diatement; car il est Ă©vident que la question est la mĂȘme que si, aprĂšs avoir tirĂ© une carte rouge du jeu entier, on demandait la probabilitĂ© de tirer encore une carte rouge des 3 i cartes restantes et qui n’en contiennent plus que i 5 de cette couleur. En gĂ©nĂ©ral, si l’on a un tas de m cartes dont a rouges et b noires, que l’on y prenne au hasard un nombre n de cartes, et qu’en retournant un nombre n — t de celles-ci, ou en trouve a rouges et b' noires, on obtiendra, par la rĂšgle prĂ©cĂ©dente, a — a m — n - J- 1 ’ 'S\ = b —b’ m — n 1 ’ pour la probabilitĂ© a r, que la ri im carte est rouge, et pour la probabi i3 RECHERCHES 9 8 litĂ© j ou p la diffĂ©rence est nulle et le tĂ©moignage ne change rien Ă  la probabilitĂ© antĂ©rieure, dans le cas de p — \, oĂč il y a un contre un Ă  parier que le tĂ©moin dit ou ne dit pas la vĂ©ritĂ©. Lorsque, Ă  priori , on n’a aucune raison de croire plutĂŽt Ă  la vĂ©ritĂ© qu’à la faussetĂ© du fait que le tĂ©moin atteste, la probabilitĂ© q est il s’ensuit r=p ; et, dans ce cas, la probabilitĂ© que le fait est vrai, ne dĂ©pend plus que de la vĂ©racitĂ© et des lumiĂšres du tĂ©moin, , Oyi ne peut pas supposer que l’une des deux quantitĂ©s petq soit l’unitĂ© et l’autre zĂ©ro; mais si p approche beaucoup de la certitude et que q approche encore plus de l’impossibilitĂ©, de maniĂšre que le rapport de q Ă  i— p soit une trĂšs petite fraction, la probabilitĂ© r sera aussi trĂšs petite, et Ă  peu prĂšs Ă©gale Ă  ce rapport. C’est le cas d’un fait contraire aux lois gĂ©nĂ©rales de la nature, et attestĂ© par un tĂ©moin auquel on accorderait, sans cette opposition, un grand degrĂ© de confiance. Ces lois gĂ©nĂ©rales sont pour nous le rĂ©sultat de longues sĂ©ries d’expĂ©riences; ce qui leur donne, sinon une certitude absolue, du moins une trĂšs forte probabilitĂ©, encore augmentĂ©e par l’harmonie qu’elles prĂ©sentent, et qu’aucun tĂ©moignage ne saurait balancer. Sr donc le fait attestĂ© est contraire Ă  ces lois, la probabilitĂ© qu’il n’est point inexact sera Ă  trĂšs peu prĂšs nulle avant le tĂ©moignage ; et en supposant mĂȘme le tĂ©moin de bonne foi, il suffira qu’il ne soit point infaillible pour que sa chance d’erreur i —p soit extrĂȘmement grande par rapport Ă  cette probabitĂ© antĂ©rieure q , et que la probabilitĂ© r, aprĂšs le tĂ©moignage, puisse encore ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme insensible. En pareil cas, il serait raisonnable de rejeter notre propre tĂ©moignage, et de penser que nous sommes trompĂ©s par nos sens qui nous prĂ©senteraient comme vrai, quelque chose de contraire aux lois de la nature. 57. Supposons que le fait dont nous venons de considĂ©rer la probabilitĂ©, soit aussi attestĂ© par un second tĂ©moin; dĂ©signons par p' la probabilitĂ© que ce tĂ©moin ne nous trompe pas, et par r' la probabilitĂ© de la vĂ©ritĂ© du fait, rĂ©sultante du double tĂ©moignage; en observant 13.. 1 oo RECHERCHES que la probabilitĂ© de la vĂ©ritĂ© de ce fait Ă©tait dĂ©jĂ  r, indĂ©pendamment de la seconde attestation, on en conclura que l’expression de r' doit se dĂ©duire de celle de r, par le changement de p et q , en p' et r; ce qui donne r' — __ PL _ p' r ~ h i —P i—'O’ ou bien, en mettant pour r et i —r leurs valeurs, p __ qpp' _- qpp' + —? i —p i —p'' Si le second tĂ©moin atteste la faussetĂ© du fait dont la vĂ©ritĂ© a Ă©tĂ© affirmĂ©e’par le premier, on remarquera qu’indĂ©pendamment du second tĂ©moignage, la probabilitĂ© que le fait est faux avait dĂ©jĂ  i —r pour valeur, en dĂ©signant donc par r, la probabilitĂ© de la faussetĂ© du fait, rĂ©sultante des deux attestations contraires, l’expression de r, devra se dĂ©duire de celle de r du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, par le changement de p et q, en p' et i —r, et de cette maniĂšre, on aura p' ' — '‱ + r^—p'V ou, ce qui est la mĂȘme chose, r _ /»—/>—g _ p' l — p — q + qp O — p'' Dans le cas de p = p', cette valeur de r, se rĂ©duit Ă  i— q; et, en effet, les deux tĂ©moignages contraires et de mĂȘme poids se dĂ©truisent, et la probabilitĂ© de la faussetĂ© du fait doit demeurer la mĂȘme qu’au- paravant. On dĂ©terminera de mĂȘme, sans difficultĂ©, la probabilitĂ© qu’un fait est vrai ou faux, lorsqu’il est attestĂ© par des tĂ©moins et niĂ©jpar d’autres, en nombre quelconque. Si le fait est attestĂ© par tous les tĂ©moins Ă  la fois, l’expression de la probabilitĂ© qu’il est vrai prendra la forme suivante. Soit toujours, antĂ©rieurement Ă  tous les tĂ©moignages, q la probabilitĂ© que le fait est vrai ; dĂ©signons par ce que devient cette proba- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. IOI bilitĂ© aprĂšs que le fait a e'tĂ© attestĂ© par un nombre quelconque x de tĂ©moins; y x —\ sera cette mĂȘme probabilitĂ©, quand le fait est attestĂ© seulement par un nombre x — i de tĂ©moins ; et si l’on reprĂ©sente par p avec un nombre x — i d’accents, c’est-Ă -dire par la probabilitĂ© que le tĂ©moin qui n’est pas compris dans ceux-ci, ne nous trompe pas, lorsqu’il atteste aussi la vĂ©ritĂ© du fait, l’expression dey x se dĂ©duira de celle de r du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, en y mettant et Jx—x au lieu de p et q, de sorte que l’on aura J* ,i-0 ’Jx-x P^-'tyx-x + I y0*—I >I -Jx-xĂŻ La valeur dey„ sera la probabilitĂ© primitive q ; et si l’on fait successivement x = i, = 2 , = 3, etc., on dĂ©duira de cette formule r. = P 7 _ -LJ _ y = _ r a _ ptr ‱ pi + — p »— 7 ’ py>+'—p'x 102 RECHERCHES _ _ i — c PrP,P3-‱ -fj-. C + I— C ’ et ces valeurs jointes Ă  celle de jr x rendent identique l’équation donnĂ©e. On dĂ©terminera la constante c au moyen d’une valeur particuliĂšre Ă ej z , et, si l’on veut, au moyen de celle qui rĂ©pond Ă  xz=o; en prenant alors l’unitĂ© pour le produit />,p,c 3 .. .p x , de x facteur, il en rĂ©sultera y 0 — q = c;et, pour un nombre quelconque x de tĂ©moins, nous aurons ensuite y * — ? + 1 — ? M*f3“ - Px’ Relativement au tĂ©moin qui rĂ©pond Ă  l’indice quelconque i, la quantitĂ© f- est le rapport de la probabilitĂ© qu’il nous trompe Ă  la probabilitĂ© qu’il ne nous trompe pas, de sorte qu’on a ^>1 ou pj,, f % , f 3 , etc., ne soit nĂ©gative. Par une formule connue, leur produit sera Ă©gal Ă  cos g; on aura donc _ % _. 7+ I —q COS g-’ quantitĂ© qui diffĂ©rera beaucoup de l’unitĂ©, quand g diffĂ©rera de SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io5 mĂȘme de -tt. Si l’on fait g = h \/ — i , la nouvelle constante h pourra ĂȘtre plus petite ou plus grande que l’unitĂ©. En dĂ©signant par e la base des logarithmes nĂ©pĂ©riens, il en rĂ©sultera ___ . ‱^ 00 ~ - 1- i — q e A + e~ h ’ * et si /i ne surpasse pas l’unitĂ©, ou seulement si h n’est pas un trĂšs grand nombre, cette probabilitĂ© ne sera pas trĂšs petite. Toutefois, il sera facile de s’assurer que la premiĂšre valeur de jr m , sera toujours supĂ©rieure Ă  la probabilitĂ© q antĂ©rieure aux tĂ©moignages, et la seconde toujours infĂ©rieure. Ces formules supposent que tous les tĂ©moignages soient directs; nous examinerons tout Ă  l’heure le cas ou un seul est direct, et tous les autres sont traditionnels. 38. Quand un tĂ©moin ne se borne point Ă  dire qu’une chose soit vraie ou fausse, mais qu’il atteste l’arrivĂ©e d’un Ă©vĂ©nement, dans un cas oĂč il y en avait plusieurs qui fussent possibles; l’évĂ©nement qu’il peut annoncer, quand il se trompe ou qu’il veut tromper, n’est point unique, et doit ĂȘtre seulement un de ceux qui n’ont point eu ou qu’il ne croit point avoir eu lieu; or, cette circonstance influe, comme on va le voir, sur la probabilitĂ© de l’évĂ©nement aprĂšs le tĂ©moignage, indĂ©pendamment de celle qu’il avait auparavant. Je suppose, pour fixer les idĂ©es, qu’une urne A renferme un nombre ft de boules, dont a , portent le n° i, a t le n° a,.. . a m le n* m, de sorte qu’on ait /m — a, -f- fl, + a 3 ... - f- a m , et que m soit le nombre de numĂ©ros diffĂ©rents que cette urne renferme; si une boule en est sortie, on pourra aussi faire m hypothĂšses diffĂ©rentes C,, C,, C s ,...C m , sur le numĂ©ro de cette boule; leurs probabilitĂ©s avant aucun tĂ©moignage, Ă©tant dĂ©signĂ©es par q,, q % , q s , ‱.. q m , on aura RECHERCHES 104 et si un tĂ©moiu annonce que la boule sortie de A porte le n° n, les probabilitĂ©s de ces hypothĂšses prendront les valeurs sur,, en admettant, toutefois, que le tĂ©moin n’ait aucune prĂ©dilection pour un numĂ©ro plutĂŽt que pour un autre ; par consĂ©quent, d’aprĂšs la rĂšgle citĂ©e, la probabilitĂ© que ce numĂ©ro sera annoncĂ© par un tĂ©moin qui se trompe et qui veut tromper, aura pour valeur le produit des trois fractions 1 — u, 1 — v , m 1 ~~~ . Soit que le tĂ©moin se trompe et ne veuille pas tromper, soit qu’il ne se trompe pas et veuille tromper, le tĂ©moin n’annoncera pas la sortie du n° ; car, dans le premier cas, il voudra annoncer le numĂ©ro qu’il croira sorti et qui ne sera pas le n° n, et, dans le second, il saura que ce numĂ©ro est sorti et ne voudra pas l’annoncer. De toute cette discussion et d’aprĂšs la rĂšgle du n° xo, on conclut Pu = uv - f- I — u I — f m — 1 9 ‱ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. io 5 pour la probabilitĂ© complĂšte que l'hypothĂšse C„, si elle Ă©tait certaine, donnerait Ă  l’évĂ©nement observĂ©. Dans l’hypothĂšse C,, correspondante Ă  la sortie d’un n" i diffĂ©rent de n, le tĂ©moin n’annoncera pas le n° n , s’il ne se trompe pas et ne veut pas tromper. S’il ne se trompe pas et qu’il veuille tromper, il saura que le n° i est sorti, mais il annoncera la sortie de l’un des m — i autres numĂ©ros; et la chance pour que ce soit le n° n, sera ——-; d’oĂč il rĂ©sulte ^ pour la probabilitĂ© que ce n° n sera effectivement annoncĂ© par le tĂ©moin. S’il se trompe et qu’il ne veuille pas tromper, cette probabilitĂ© sera Ă©gale Ă  u ^ ; car le tĂ©moin pourra croire que le numĂ©ro sorti est un des m — i numĂ©ros diffĂ©rents de i; il annoncera celui qu’il croira sorti; et —- sera la chance pour que n soit ce numĂ©ro. Enfin, si le tĂ©moin se trompe et qu’il veuille tromper, il faudra d’abord qu’il croie sorti de A, un des m — i numĂ©ros diffĂ©rents de celui qu’il annonce ; n ~— ^ sera donc la probabilitĂ© qu’il croira sorti un numĂ©ro dĂ©terminĂ© n'; cette fraction exprimera aussi la probabilitĂ© qu’il annoncera le n° n, parmi les m —i numĂ©ros diffĂ©rents de ri; on aura donc 1 ^ pour la probabilitĂ© que le tĂ©moin croira sorti le n° ri et qu’il annoncera la sortie de n. La chance qui en rĂ©sultera pour ce n° n d’ĂȘtre annoncĂ© sera, par consĂ©quent, la fraction m multipliĂ©e parle nombre des numĂ©ros tels que n!, que le tĂ©moin a pu croire sortis de A; lequel nombre est seulement m — 2, puisque le tĂ©moin qui se trompe et qui veut tromper, ne peut croire sorti ni le n° i qui l’est rĂ©ellement, ni le n* n qu’il annonce. D’un autre cĂŽtĂ©, la probabilitĂ© de cette double erreur est le produit 1 — u 1 — v ; la probabilitĂ© que le n° n sera effectivement annoncĂ© par ce tĂ©moin, aura donc pour valeur le produit 1— u 1 — v multipliĂ© par la chance 1 2 . Je rĂ©unis les probabilitĂ©s de cette annonce dans les trois cas distincts oĂč elle peut avoir lieu; il en rĂ©sulte io6 recherches _ui — v . ki—m m —-ĂŻ i — u I — 1 > P m —i > . w— i m— 1 ’ » pour la probabilitĂ© complĂšte de l’évĂ©nement observĂ©, dans une des m — i hypothĂšses contraires Ă  la vĂ©ritĂ© de cet Ă©vĂ©nement. Cette valeur de pi est d’ailleurs liĂ©e Ă  celle de p n par l’équation P* + m — i /> i= =i, rĂ©sultante de ce que la somme des probabilitĂ©s que le tĂ©moin annoncera la sortie du n° n, correspondante aux m hypothĂšses C,, C„ C„. ... C m , doit ĂȘtre Ă©gale Ă  l’unitĂ©. Maintenant * par la rĂšgle du n° 34, nous aurons 'zr. — y Pi ?/V + S qipi ’ les sommes 2 s’étendant Ă  toutes les valeurs de l’indice i, depuis i = i jusqu’à i = m , exceptĂ© i = n. Et comme la quantitĂ© pi est indĂ©pendante de i , et que la somme des valeurs de q t , moins celle qui rĂ©pond Ă  i = n, est t —~ 1 > l’expression de sr, deviendra [w-i w-f i-ai-Q]m-ia, aprĂšs qu’on y aura substituĂ© les valeurs de p n , q ĂŒf p if q it et multipliĂ© son numĂ©rateur et son dĂ©nominateur par ju/n— 1 \ Ce sera donc la probabilitĂ© que le numĂ©ro n annoncĂ© par le tĂ©moin est rĂ©ellement sorti de A ; la probabilitĂ© qu’il ne l’est pas aura i — + 1 — u 1 — f]a _ [m>+i — u 1 — w]a-[i ~vu + il— a ’ pour la probabilitĂ© qu’il est effectivement sorti une boule blanche de A. On peut assimiler Ă  ce cas particulier, celui d’un fait vrai ou faux, attestĂ© par un tĂ©moin on prendra pour ce fait l’extraction de la boule blanche; r sera la probabilitĂ© qu’il est vrai; et son expression devra coĂŻncider avec celle du n° 36 . Nous aurons d’abord p = uv + 1 — u 1 — v , pour la probabilitĂ© que le tĂ©moin ne nous trompe pas ; car cela peut avoir lieu parce qu’il ne se trompe pas et ne veut pas tromper, ou bien aussi parce qu’il se trompe et veut tromper, c’est-Ă -dire parce que entre les deux seules choses possibles, l’extraction d’une boule blanche et celle d’une boule noire, reprĂ©sentant la vĂ©ritĂ© et la faussetĂ© du fait attestĂ©, le tĂ©moin croit le contraire de ce qui est, ou dit le contraire de ce qu’il croit. La probabilitĂ© qu’il nous trompe sera, en mĂȘme temps, 1 — p = 1 — vu - h 1 — uv; ce qui se dĂ©duit de la valeur de p, ou s’obtient directement en obser- 14.. io8 RECHERCHES vaut que le tĂ©moin peut nous tromper, soit qu'il ne se trompe pas et veuille tromper, soit qu’il se trompe et ne veuille pas tromper. On aura encore / “ a u jr x + laij'j ’ pour la probabilitĂ© de l’hypothĂšse C„; la somme 2 s’étendant Ă  tous les indices i,depuist= 1 jusqu’à i= m, exceptĂ© i — n. On verra tout Ă  l’heure que l’expression dey'* est indĂ©pendante de i ; et la somme des valeurs dea,, exceptĂ© a., Ă©tant x — a n , cette valeur de ,, que le choix de cette personne se portera sur E,, une autre probabilitĂ© p a qu’il se portera sur E a , etc.; il n’y aura aucune probabilitĂ© qu il doive se porter sur un des Ă©vĂ©nements F,, F„, F 3 , etc. ; et ces divers Ă©vĂ©nements Ă©tant les seuls possibles, il faudra qu’on ait Pi .+ P% + Ps - H etc. = i. Si les probabilitĂ©s/,, p a ,p 3 , etc., sont toutes Ă©gales, leur valeur commune sera et, par consĂ©quent, trĂšs grande relativement Ă  p, quand le nombre total m + n des cas possibles sera trĂšs grand en lui-mĂȘme et par rapport au nombre m des cas remarquables. GĂ©nĂ©ralement, ces probabilitĂ©s pourront ĂȘtre fort inĂ©gales; nous n’avons aucun moyen de les connaĂźtre ; mais il nous suffira qu’elles soient trĂšs grandes eu Ă©gard Ă  la probabilitĂ© p; ce qui ne peut manquer d’avoir lieu, lorsque celle-ci est extrĂȘmement petite, ou le nombre m-\-n excessivement grand, comme dans les exemples qu’on vient de citer. Tel est le principe dont nous partirons pour dĂ©terminer la probabilitĂ© de la cause C, d’aprĂšs l’observation de l’un des Ă©vĂ©nements E,, E,, E 3 , etc., F,, F,, F 3 , etc., ou, du moins, pour faire voir qu’elle est trĂšs grande, quand l’évĂ©nement observĂ© appartient Ă  la premiĂšre sĂ©rie. Supposons que E, soit cet Ă©vĂ©nement. On pourra faire deux hypothĂšses, la premiĂšre qu’il est dĂ» Ă  la cause C, la seconde qu’il est le rĂ©- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 117 sultat du hasard. Si la premiĂšre hypothĂšse Ă©tait certaine, p, serait la probabilitĂ© de l’arrivĂ©e de E,; si c’était la seconde qui le fĂ»t, cette probabilitĂ© aurait p pour valeur; en appelant donc r la probabilitĂ© de la premiĂšre hypothĂšse aprĂšs l’observation, et regardant les deux hypothĂšses comme Ă©galement probables Ă  priori , nous aurons, par la rĂšgle du n° 28, P‱ 118 ment possibles augmentĂ©e, si la chance propre de chaque Ă©vĂ©nement est plus petite pour ceux de la premiĂšre sĂ©rie que pour les Ă©vĂ©nements de la seconde sĂ©rie; diminuĂ©e, dans le cas contraire. L’harmonie que nous observons dans la nature n’est] sans doute pas l’effet du hasard ; mais par un examen attentif et long-temps prolongĂ©, on est parvenu, pour un trĂšs grand nombre de phĂ©nomĂšnes, Ă  en dĂ©couvrir les causes physiques qui donnent Ă  leur arrivĂ©e, sinon une certitude absolue, du moins une probabilitĂ© trĂšs approchante de l’unitĂ©. En les regardant comme des choses E,, E a , E 3 , etc., qui prĂ©sentent des circonstances remarquables, ce serait le cas oĂč ces choses ont par elles-mĂȘmes une assez forte probabilitĂ©, pour rendre trĂšs improbable et tout-Ă -fait inutile Ă  considĂ©rer, l’intervention de la cause que nous avons appelĂ©e C. Quant aux phĂ©nomĂšnes physiques, dont les causes nous sont encore inconnues, il est raisonnable de les attribuer Ă  des causes analogues Ă  celles que nous connaissons, et soumises aux mĂȘmes lois. Leur nombre diminue au reste de jour en jour, par le progrĂšs des sciences aujourd’hui, par exemple, nous savons ce qui produit la foudre, et comment les planĂštes sont retenues dans leurs orbites, connaissances que n’avaient pas nos prĂ©dĂ©cesseurs; et ceux qui viendront aprĂšs nous, connaĂźtront les causes d’autres phĂ©nomĂšnes, actuellement inconnues. 43;. Lorsque le nombre de causes distinctes auxquelles on peut attribuer un Ă©vĂ©nement observĂ© E est infini, leurs probabilitĂ©s, soit avant, soit aprĂšs l’arrivĂ©e de E, deviennent infiniment petites, et les sommes 2 contenues dans les formules des n os 3a et 34, se changent en des intĂ©grales dĂ©finies. Pour effectuer cette transformation, supposons que l’évĂ©nement observĂ© E soit l’extraction d’une boule blanche, d’une urne A qui contenait une infinitĂ© de boules blanches ou noires. On pourra faire sur le rapport inconnu du nombre de boules blanches au nombre total des boules, une infinitĂ© d’hypothĂšses que l’on prendra pour autant de causes distinctes de l’arrivĂ©e de E, et exclusives les unes des autres. DĂ©signons ce rapport par x, de sorte que x soit une quantitĂ© susceptible de toutes les valeurs croissantes par degrĂ©s infiniment petits, et comprises depuis x infiniment petit, qui rĂ©pond au cas oĂč la boule extraite serait la seule boule blanche que A renfermait, jusqu’à xz=i, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ng qui rĂ©pond Ă  l’autre cas extrĂȘme oĂč cette urne ne contiendrait que des boules blanches. ReprĂ©sentons aussi par X la probabilitĂ© que ce rapport, si sa valeur x Ă©tait certaine, donnerait Ă  l’arrivĂ©e de E, de maniĂšre que X soit, dans chaque question, une fonction connue de x. En considĂ©rant donc cette valeur comme une des causes possibles de E, il s’agira de dĂ©terminer la probabilitĂ© infiniment petite de x, soit quand toutes ces causes sont Ă©galement probables avant l’observation, soit quand elles ont, Ă  priori , des chances diffĂ©rentes. Dans le premier cas, la probabilitĂ© demandĂ©e se dĂ©duira de la quantitĂ© etc., les valeurs de sb relatives Ă  toutes celles de X. En faisant d’abord usage du signe 2 , comme dans le n° 32 , et appelant tst la probabilitĂ© de x, nous aurons donc nx u X depuisx = o jusqu’à x= i. En dĂ©signant par y, cette chance de G, ou, plus exactement, ce qu’on doit prendre pour sa valeur inconnue, avant que E ait Ă©tĂ© observĂ©, on aura donc y = J' xYdxĂź et l’on peut remarquer que si l’on considĂšre x et Y comme l'abscisse et l’ordonnĂ©e d’une courbe plane, et si l’on observe que l’aire entiĂšre de cette courbe, ou l’intĂ©grale fYdx est l’unitĂ©, y sera l’abscisse du centre de gravitĂ© de cette mĂȘme aire. C’est d’aprĂšs cette valeur de y prise pour la chance de G, que l’on devrait parier pour une premiĂšre arrivĂ©e de cet Ă©vĂ©nement, mais non pas pour plusie^gp arrivĂ©es successives ; car selon que G aura eu lieu ou n’aura pas eu lieu dans une premiĂšre Ă©preuve, la probabilitĂ© de son arrivĂ©e sera augmentĂ©e ou diminuĂ©e dans les Ă©preuves suivantes. ‱ Si, par exemple, toutes les valeurs de x sont Ă©galement probables Ă  priori, la quantitĂ© Y devra ĂȘtre'indĂ©pendante de xr; d’aprĂšs les deux Ă©quations prĂ©cĂ©dentes, on aura donc i > Y = y = ai SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ia 3 et, en effet, nous n’avons alors aucune raison de croire, dans une premiĂšre Ă©preuve, Ă  l’arrivĂ©e de G plutĂŽt qu’à celle de l’évĂ©nement contraire. Mais si l’on prend pour chacun des Ă©vĂ©nements E et E' l’évĂ©nement simple G, auquel cas on aura, X = x, X'=jc, il en rĂ©sultera pour la probabilitĂ© que G Ă©tant arrivĂ© une premiĂšre fois, arrivera encore une seconde fois, de maniĂšre que la probabilitĂ© de son arrivĂ©e, aura augmentĂ© de de la premiĂšre Ă  la seconde Ă©preuve. Elle diminuera delĂ  mĂȘme fraction, et se rĂ©duira Ă  — ÂŁ , ou 5, Ă  la seconde Ă©preuve, lorsque l’évĂ©nement contraire aura eu lieu Ă  la premiĂšre; car en prenant celui-ci pour E, et toujours G pour E', c’est-Ă -dire en faisant X = 1 — x, X' =.x, on en conclura pour la probabilitĂ© que G n’ayant point eu lieu la premiĂšre fois, arrivera Ă  la seconde Ă©preuve. A priori, la probabilitĂ© que G arrivera deux fois de suite sera, par la rĂšgle du n" 9, le produit de la probabilitĂ© l qu’il aura lieu une premiĂšre fois, et de la probabilitĂ© f qu’étant arrivĂ© cette fois-lĂ , il arrivera encore Ă  la seconde Ă©preuve; elle sera donc j, au lieu de qui serait sa valeur si la probabilitĂ© de G Ă©tait a * Ă  la seconde Ă©preuve comme Ă  la premiĂšre. La similitude des deux Ă©vĂ©nements qui arriveront dans les deux premiĂšres Ă©preuves, aura une probabilitĂ© double ou Ă©gale Ă  car cette similitude aura lieu, soit par la rĂ©pĂ©tition de G, 16.. 124 RECHERCHES soit par celle de l’évĂ©nement contraire, qui sont toutes deux Ă©galement probables. En comparant f ou 4 i -f- ÂŁ, Ă  la probabilitĂ© ji + cT* de la similitude, que nous avons trouvĂ©e dans le n° 27, on aura ^ = -1=. l/3 Lors donc qu’à priori nous n’avons aucune donnĂ©e sur la chance d’un Ă©vĂ©nement G, de sorte que nous puissions supposer Ă©galement Ă  x toutes les valeurs possibles, la probabilitĂ© de la similitude dans deux Ă©preuves consĂ©cutives, est la mĂȘme que s’il y avait, entre les chances de G et de l’évĂ©nement contraire, une diffĂ©rence -—= sans 1/3 que l’on connĂ»t la chance la plus favorable. Nous dĂ©terminerons tout Ă  l’heure la probabilitĂ© de la similitude dans les cas oĂč l’on sait Ă  priori que toutes les valeurs possibles de x, au lieu d’ĂȘtre Ă©galement possibles, s’écartent trĂšs probablement fort peu d’une fraction connue ou inconnue. 46. Maintenant, l’évĂ©nement simple dont la chance est inconnue, Ă©tant toujours dĂ©signĂ© par G, appelons H l’évĂ©nement contraire dont la chance sera l’unitĂ© diminuĂ©e de celle de G, et supposons i°, que l’évĂ©nement observĂ© E soit l’arrivĂ©e de G un nombre m de fois et de H un nombre n de fois, dans un ordre quelconque; 2 0 . que l’évĂ©nement futur E' soit l’arrivĂ©e de G un nombre m' de fois et de H un nombre n' de fois, aussi dans un ordre quelconque. Pour la valeur x de la chance de G et 1 — x de celle de H, les probabilitĂ©s X etX' de E et E' seront n* 14 X = Kx"i- x\ X' = K'ar-'Ci — xf ; K et K' dĂ©signant des nombres indĂ©pendants de x. On aura donc K' f' Yx- + -'i —x'+*'dx / Yx" 1 — x°dx pour la probabilitĂ© de E' aprĂšs l’observation de E. Le nombre K a disparu de cette formule; la valeur qu’on y mettra pour K', sera SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ia5 m'. 3 1 . 2 . 3 . . ..m' -\-n' Si E' Ă©tait l’arrivĂ©e de m! et n! Ă©vĂ©nements G et H dans un ordre dĂ©terminĂ© , il faudrait remplacer K' par l’unitĂ©. Lorsque avant l’observation de E, on n’aura aucune raison de croire aucune des valeurs de x plus probable qu’une autre, on prendra l’unitĂ© pour la quantitĂ© Y. Au moyen de l’intĂ©gration par partie, on a d’ailleurs ou, plus simplement, en faisant, pour abrĂ©ger, — P i5 1 . pour un nombre quelconque i. On aura de mĂȘme P , _ x m +*'dx = p J o V * oi + m'-f-o. > P et Ă  cause de * m t+i\i pjpT- il en rĂ©sultera j dans le cas dont il s’agit, m+n/ n+nt * m+o-t-r Pm/Pn/Pm^nPi mt* n/* m* n*m+wZ+n+fl'+t Afin que cette formule comprenne les cas oĂč l’un des nombres m , n , m', n', est zĂ©ro, il y faudra faire P. = i. Cela Ă©tant, si l’on a n = o et n' = o, on aura simplement m -f- i 126 RECHERCHES ce qui exprimera la probabilitĂ© que G arrivera m' fois sans interruption, aprĂšs ĂȘtre dĂ©jĂ  arrivĂ© m fois sans que l’évĂ©nement contraire H ait eu lieu. Pour m' — i et n' = o, la valeur de »ou c’est-Ă -dire selon que dans les m - j- n premiĂšres Ă©preuves, G est arrivĂ© plus souvent ou moins souvent que l’évĂ©nement contraire H elles sont Ă©gales entre elles et Ă  Ăż, comme avant les Ă©preuves, quand ces deux Ă©vĂ©nements ont eu lieu le mĂȘme nombre de fois. Mais il n’en sera plus de mĂȘme, en gĂ©nĂ©ral, lorsque l’on saura Ă  priori, soit par la nature de l’évĂ©nement G, soit par le rĂ©sultat d’épreuves antĂ©rieures Ă  l’évĂ©nement E, que les valeurs de la chance inconnue de G ne sont pas toutes Ă©galement probables, de telle sorte que l’on n’ait pas Y = 1 non-seulement dans ce cas, la fraction y du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent que l’on devra prendre pour la chance de G avant les m - j- n nouvelles Ă©preuves ne sera point \, mais Ă  l’épreuve suivante, la probabilitĂ© de G pourra ĂȘtre moindre que y , quoique G soit arrivĂ© plus souvent que l’évĂ©nement contraire II, ou plus grande, quoique ce soit G qui aura eu lieu le moindre nombre de fois ; c’est ce que l’on verra dans l’exemple suivant. 47. Je suppose qu’il soit trĂšs probable, Ă  priori , que la chance de G s’écarte fort peu, en plus ou en moins, d’une certaine fraction r, de sorte qu’en faisant .r = r-f-z, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 127 la quantitĂ© Y soit une fonction de z, qui n’a de valeurs sensibles que pour de trĂšs petites valeurs de cette variable, positives ou nĂ©gatives. La courbe plane dont x et Y sont les coordonnĂ©es courantes, ne s’écartera sensiblement de l’axe des abscisses x, que dans un trĂšs petit intervalle, de part et d’autre de l’ordonnĂ©e qui rĂ©pond Ă  x — r; le centre de gravitĂ© de l’aire de cette course tombera donc dans cet intervalle; par consĂ©quent l’abscisse de ce point diffĂ©rera trĂšs peu de r; et en nĂ©gligeant cette diffĂ©rence, r sera la valeur de la quantitĂ© y du n 45 - Cela posĂ©, les limites des intĂ©grales relatives Ă  z seront les valeurs z = — r et z = 1 — r, qui rĂ©pondent Ă  x — o et x = 1 ; si donc on fait m! — 1, n' = o, dx => dz , dans la premiĂšre expression de m' du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, il en rĂ©sultera f Yx""*"' 1 — x n dz ' — J ~ r ] _ r -, J Yx m i — x"dz pour la probabilitĂ© que G arrivera une fois, aprĂšs avoir eu lieu m fois, et l’évĂ©nement contraire n fois, dans m - f- n Ă©preuves. Mais, par la nature du facteur Y compris sous les signes f, on peut, si l’on veut, borner ces intĂ©grales Ă  des valeurs trĂšs petites de z. Alors, en dĂ©veloppant les autres facteurs en sĂ©ries ordonnĂ©es suivant les puissances de z; ces sĂ©i’ies seront gĂ©nĂ©ralement trĂšs convergentes il n’y aurait d’exception que si r ou 1 — r Ă©tait aussi une trĂšs petite fraction ; dans tout autre cas, il nous suffira d’eu conserver les premiers termes ; et en nĂ©gligeant le carrĂ© dez, nous aurons x m 1 — x" = r” 1 — r" -j- [/m’”* - ' i — r“ — nr"* 1 — — 1 * 1—r"— — r n ~'-\-nn — 1 r" 1— r n, ”*]z* ; d’oĂč l’on dĂ©duira la valeur de x"" 1 " 1 1 —x", en y rrtettant m - f- 1 au lieu de m. Je substitue ces valeurs de x” 1 — x* et de x’’"*' 1 x — x" dans l’expression de ^9 ” 4» ^i — * 7 en nĂ©gligeant les fractions les nombres suivants a„,a lt , etc., seraient au-dessous de l’unitĂ©. Or, si l’on compare cette sĂ©rie des valeurs calculĂ©es, Ă  celles des nombres a,, a % , a s , etc., qui rĂ©sultent de l’observation , on voit qu'elles s’écartent peu l’une de l’autre dans leurs premiers termes. Les Ă©carts sont plus grands dans les termes suivants; par exemple, la valeur calculĂ©e de a 7 n’est que les trois cinquiĂšmes de la valeur observĂ©e ; mais ce nombre a 7 rĂ©pond Ă  un Ă©vĂ©nement dont la probabilitĂ© est au-dessous d’un centiĂšme. En s’arrĂȘtant aux trois premiers termes de la sĂ©rie des nombres observĂ©s, on en dĂ©duit p — ^= 0,51806, p —1 — j = 0,5344!» P= l — ^ = o,53o53; quantitĂ©s qui diffĂšrent trĂšs peu entre elles, et dont la moyenne, ou le tiers de leur somme, est p — 0,52760, qui diffĂšre Ă  peine de 0,02, de la valeur — de p, rĂ©sultante de l’ensemble des Ă©preuves. J’ai choisi cette expĂ©rience Ă  cause du nom de l’auteur, et parce que l’ouvrage oĂč elle se trouve, la rend authentique. Chacun en peut faire beaucoup d’autres de la mĂȘme espĂšce, soit avec une piĂšce de monnaie, soit avec un dĂ© Ă  six faces. Dans ce dernier cas, le nombre de fois que chaque face arrivera, sur un trĂšs grand nombre d’épreuves, sera Ă  trĂšs peu prĂšs un sixiĂšme de celui-ci, Ă  moins que le dĂ© ne soit faux ou mal construit. 5i. Le thĂ©orĂšme sur lequel est fondĂ©e la rĂšgle prĂ©cĂ©dente est dĂ» Ă  Jacques Bernouilli, qui en avait mĂ©ditĂ© la dĂ©monstration pendant vingt annĂ©es. Celle qu’il a donnĂ©e se dĂ©duit de la formule du binĂŽme au moyen des propositions suivantes. Soient, Ă  chaque Ă©preuve, p et q les chances donnĂ©es des deux Ă©vĂ©nements contraires E et F ; soient aussi g, h , k , des nombres entiers, 11 ' 11 M wpp I i36 RECHERCHES tels que l’on ait P~ *1 = k’ g + ^ == Æ;, p + q = i ; dĂ©signons par m, n, p,, d’autres nombres entiers, liĂ©s Ă  g, h, k, par les Ă©quations m = gk, n = hk , p. = m - n = g + h k, de maniĂšre que les chances p et q soient entre elles comme les nombres m et n, que l’on pourra rendre aussi grands qu’on voudra en augmentant convenablement g , h, k, sans changer leur rapport. Cela posĂ© i°. Dans le dĂ©veloppement de p - f- qj 1 , le terme le plus grand sera celui qui rĂ©pond au produit p m q ", et comme ce terme est la probabilitĂ© de l’arrivĂ©e de m fois E et de n fois F n° il s’ensuit que cet Ă©vĂ©nement composĂ©, c’est-Ă -dire, l’arrivĂ©e des Ă©vĂ©nements en raison directe de leurs chances respectives, est le plus probable de tous les Ă©vĂ©nements composĂ©s qui peuvent avoir lieu dans un nombre quelconque p, d’épreuves. 2 °. Si ce nombre pb est trĂšs grand, le rapport du plus grand terme du dĂ©veloppement de p -f- q Ă  la somme de tous les termes, ou Ă  l’unitĂ©, sera une trĂšs petite fraction, qui diminuera indĂ©finiment Ă  mesure que p. augmentera encore davantage; par consĂ©quent, dans une longue sĂ©rie d’épreuves, l’évĂ©nement composĂ© le plus probable, le sera cependant trĂšs peu, et de moins en moins Ă  mesure que les Ă©preuves seront plus long-temps prolongĂ©es. 5°. Mais si l’on considĂšre dans le dĂ©veloppement de {p-\-qY, son plus grand terme, les l termes qui le suivent et les Z termes qui le prĂ©cĂšdent, et si l’on dĂ©signe par A la somme de ces il-\- i termes consĂ©cutifs , on pourra toujours, sans changer ni pmq, prendre p. assez grand pour que la fraction A diffĂšre de l’unitĂ©, d’aussi peu qu’on voudra; et Ă  mesure que p, augmentera encore davantage, A approchera de plus en plus d’ĂȘtre Ă©gal Ă  un. On conclut de lĂ  que dans une longue sĂ©rie d’épreuves, il y a toujours une grande probabilitĂ© A que l’évĂ©- {tement E arrivera uu nombre de fois compris entre les limites m'Ă zl, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i3 7 et F un nombre de fois compris entre nzpl; de telle sorte que sans changer l’intervalle il des limites de ces deux nombres, on pourra rendre le nombre p des Ă©preuves assez grand pour que la probabilitĂ© À soit aussi approchante qu’on voudra de la certitude. Si l’on prend les rapports de ces limites au nombre p des Ă©preuves, que l’on ait Ă©gard aux Ă©quations prĂ©cĂ©dentes, et qu’on fasse - = p, q^J' = q', r ces rapports seront p' et q'; et comme la fraction diminuera indĂ©finiment Ă  mesure que p. augmentera, il s’ensuit que ces rapports, variables avec p,, approcheront aussi indĂ©finiment, et avec une trĂšs grande probabilitĂ©, des chances p et q de E et F ; ce qui est l’énoncĂ© du beau thĂ©orĂšme de Jacques Bernouilli. Nous renverrons pour la dĂ©monstration de ces propriĂ©tĂ©s des termes du dĂ©veloppement de p-hqY aux ouvrages oĂč elle est exposĂ©e *. Celle du thĂ©orĂšme mĂȘme, que l’on trouvera dans le chapitre suivant, est fondĂ©e sur l’emploi du calcul intĂ©gral. En attendant, on ne doit pas perdre de vue que ce thĂ©orĂšme suppose essentiellement l’invariabilitĂ© des chances des Ă©vĂ©nements simples E et F, pendant toute la durĂ©e des Ă©preuves. Or, dans les applications du calcul des probabilitĂ©s, soit a divers phĂ©nomĂšnes physiques, soit Ă  des choses morales, ces chances varient le plus souvent d’une Ă©preuve Ă  une autre, et le plus souvent aussi, d’une maniĂšre tout-Ă -fait irrĂ©guliĂšre. Le thĂ©orĂšme dont il s agit ne suffirait donc pas dans ces sortes de questions; mais il existe d autres propositions plus gĂ©nĂ©rales, qui ont lieu quelle que soit la variatioti des chances successives des Ă©vĂ©nements, et sur lesquelles sont fondĂ©es les plus importantes applications de la thĂ©orie des probabilitĂ©s. Elles seront Ă©galement dĂ©montrĂ©es dans les chapitres suivants; on en va maintenant donner l’énoncĂ©, et en dĂ©duire la loi des grands nombres, que l’on a considĂ©rĂ©e dans le prĂ©ambule de cet ouvrage, ? Ars conjectandi pars quarta. TraitĂ© Ă©lĂ©mentaire des probabilitĂ©s de M. Lacroix; i r * section. 18 138 RECHERCHES comme un fait gĂ©nĂ©ral, rĂ©sultant d’observations de toutes natures. 5a. Dans un trĂšs grand nombre p. d’épreuves consĂ©cutives, reprĂ©sentons la chance de l’évĂ©nement E de nature quelconque, par p, Ă  la premiĂšre Ă©preuve, par p t Ă  la seconde . par p^ Ă  la derniĂšre. Soit aussi p' la moyenne de toutes ces chances , ou leur somme divisĂ©e par leur nombre, c’est-Ă -dire, P'='-P> + P>+ Ps + - + en mĂȘme temps, la chance moyenne de l’évĂ©nement contraire F sera la somme des fractions i — p ,, i — p % ,. . . i — p divisĂ©e par p ; et en la dĂ©signant par q ', on aura p' - f- q' = i. Cela Ă©tant, l’une des propositions gĂ©nĂ©rales que nous voulons considĂ©rer, consiste en ce que si l’on appelle m et n les nombres de fois que E et F arriveront ou sont arrivĂ©s pendant la sĂ©rie de ces Ă©preuves, les rapports de m et n au nombre total p. ou m - f- n, seront, Ă  trĂšs peu prĂšs et avec une trĂšs grande probabilitĂ©, les valeurs dĂ©s chances moyennes p' et q', et rĂ©ciproquement, p' et q' seront les. valeurs approchĂ©es de — et -. Lorsque ces rapports auront Ă©tĂ© dĂ©duits d’une longue sĂ©rie d’épreuves , ils feront donc connaĂźtre les chances moyennes p ' et q 1 , de mĂȘme qu’ils dĂ©terminent, par la rĂšgle du n° 49 , les chances mĂȘmes p et q de E et F, quand elles sont constantes. Mais pour que ces valeurs approchĂ©es de p' et q' puissent servir, aussi par approximation , Ă  Ă©valuer les nombres de fois que E et F arriveront dans une nouvelle sĂ©rie d’un grand nombre d’épreuves, il faut qu'il soit certain, ou du moins trĂšs probable, que les chances moyennes de E et F seront exactement, ou Ă  fort peu prĂšs les mĂȘmes, pour cette seconde sĂ©rie, et pour la premiĂšre. Or, c’est ce qui a lieu effectivement en vertu d’une autre proposition gĂ©nĂ©rale dont voici l’énoncĂ©. Je suppose que par la nature des Ă©vĂ©nements E et F, celui qui arrivera Ă  chaque Ă©preuve puisse ĂȘtre dĂ» Ă  l’une des causes C,, C,, C 3 ,.. . C t , dont v est le nombre, qui s’excluent mutuellement, et que je regarderai d’abord comme Ă©galement possibles. Je dĂ©signe par Ci la chance que la cause quelconque C f donnera Ă  l’arrivĂ©e de l’évĂ©nement E; de maniĂšre qu’à une Ă©preuve dĂ©terminĂ©e, Ă  la pre- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i3g miĂšre, par exemple, la chance de E soit c, quand ce sera la cause C, qui interviendra, c, quand ce sera C,, etc. S’il ny avait qu’une seule cause possible, la chance de E serait nĂ©cessairement la mĂȘme Ă  toutes les Ă©preuves; mais dans notre hypothĂšse, elle sera susceptible, Ă  chaque Ă©preuve, d’un nombre v de valeurs Ă©galement probables, et variera, en consĂ©quence, d’une Ă©preuve Ă  une autre. Or, si l’on fait > = ~ c i “H + c s* ‱ ‱ ‱ “h > la somme des chances que E aura eu, dans un trĂšs grand nombre d’épreuves dĂ©jĂ  effectuĂ©es, ou que cet Ă©vĂ©nement aura dans une longue sĂ©rie d’épreuves futures, divisĂ©e par leur nombre, sera, Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement, Ă©gale Ă  la fraction y, dont la grandeur est indĂ©pendante de ce nombre; par consĂ©quent, la chance moyenne p' de E pourra ĂȘtre regardĂ©e comme Ă©tant la mĂȘme dans deux ou plusieurs sĂ©ries , dont chacune sera composĂ©e d’un trĂšs grand nombre d’épreuves. En combinant cette seconde proMsition gĂ©nĂ©rale avec la premiĂšre , on en conclut que si m est le nombre de fois que l’évĂ©nement E arrivera ou est arrivĂ© dans un trĂšs grand nombre p. d’épreuves, et m dans un autre trĂšs grand nombre p', on aura, Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement, m m' , m" Ces deux rapports seraient rigoureusement Ă©gaux entre eux, et Ă  la quantitĂ© inconnue y, si les nombres p et p! pouvaient ĂȘtre infinis. Lorsque leurs valeurs donnĂ©es par l'observation diffĂ©reront notablement l’une de l’autre, il y aura lieu de penser que dans l’intervalle des deux sĂ©ries d’épreuves, quelques-unes des causes C,, C,, C s , etc., auront cessĂ© d’ĂȘtre possibles, et que d’autres le seront devenues; ce qui aura changĂ© les chances c,, c t , c 3 , etc., et par suite la valeur de y. Toutefois, ce changement ne sera pas certain, et nous donnerons dans la suite l’expression de sa probabilitĂ©, en fonction de la diffĂ©rence observĂ©e ℱ — —.et des nombres d’épreuves p et p. On fera rentrer cette consĂ©quence des deux propositions prĂ©cĂ©den- 18.. i4o RECHERCHES tes, dans le thĂ©orĂšme mĂȘme de Jacques Bernouilli, en observant que dans l’hypothĂšse sur laquelle la seconde est fondĂ©e, la fraction y est la chance de E, iuconnue, mais constante pendant les deux sĂ©ries d’épreuves. En effet, cet Ă©vĂ©nement peut arriver Ă  chaque Ă©preuve, en vertu de chacune des causes C,, C,, C 3 , etc., qui ont toute une mĂȘme probabilitĂ© - ; la chance de son arrivĂ©e en vertu de la cause quelconque Cj, sera le produit - c„ d’aprĂšs la rĂšgle du n° 5; et d’aprĂšs celle du n* 10 , sa chance complĂšte aura pour valeur la somme des produits ~ c >t c > ~ c s> etc- > Ă©gale a quantitĂ© y. Pour plus de simplicitĂ©, nous avons regardĂ© toutes les causes C,, C,, C 3 , etc., comme Ă©galement possibles; mais on peut supposer que chacune d’elles entre une ou plusieurs fois dans leur nombre total v ; ce qui les rendra inĂ©galement probables. On dĂ©signera alors par vy t le nombre de fois que la cause quelconque C, sera rĂ©pĂ©tĂ©e dans ce nombre v; la fraction y t exprimera la probabilitĂ© de celte cause; et l’expression de y deviendra y = y, c, 4- y* c t + y 3 c 3 - f- — 4- On aura, en mĂȘme temps, >. +% + >s +‱ ‱ ‱ ‱ + >» — 1 1 puisque l’une des causes auxquelles ces probabilitĂ©s se rapportent, devra avoir lieu certainement Ă  chaque Ă©preuve. Lorsque le nombre des causes possibles sera infini, la probabilitĂ© de chacune d’elles deviendra infiniment petite; en reprĂ©sentant, dans ce cas, par x l’une des chances c ,, c,, c 3 ,. .. . c, , dont la valeur pourra s’étendre depuis x = o jusqu’à x — i , et par Y dx, la probabilitĂ© de la cause qui donne cette chance quelconque x Ă  l’évĂ©nement E, on aura, comme dans le n° 45, y = /' Y xdx , J' Y dx = i. 53. Supposons actuellement qu’au lieu de deux Ă©vĂ©nements possibles E et F, il y en ait un nombre donnĂ© /\, dont un seul devra arriver Ă  cha- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ,4, que Ă©preuve. Ce cas est celui oĂč l’on considĂšre une chose A d’une nature quelconque, susceptible d’un nombre À de valeurs, connues ou inconnues, que je reprĂ©senterai par a ,, a t , a 3 ,. ... a*, et parmi lesquelles une seule devra avoir lieu Ă  chaque Ă©preuve, de sorte que celle qui sera arrivĂ©e ou qui arrivera sera, dans cette question, l’évĂ©nement observĂ© ou l’évĂ©nement futur. Soit aussi c { „ la chance que la cause C;, si elle Ă©tait certaine, donnerait Ă  la valeur a v de A. Les valeurs de c M ,, relatives aux divers indices i et depuis i = r jusqu’à i = v et depuis i' = 1 jusqu’à i' == A, seront connues ou inconnues; mais pour chaque indice^, on devra avoir Ci, . + O,» + c t,t + ‱ ‱ ‱ ‱ + Ci,\ = 1 ; car si la cause C, Ă©tait certaine, l’une des valeiys a,, a t , a 3 ,. . . ,a K , arriverait certainement en vertu de cette cause. DĂ©signons, en outre, par a lr , la somme des chances de qui auront ou qui ont eu lieu dans un trĂšs grand nombre /a d’épreuves consĂ©cutives, divisĂ©e par ce nombre, c’est-Ă -dire, la chance moyenne de cette valeur a jf de A, dans cette sĂ©rie d’expĂ©riences. En considĂ©rant a u comme un Ă©vĂ©nement E, et l’ensemble des A— 1 autres valeurs de A comme l’évĂ©nement contraire F, on pourra prendre, d’aprĂšs la seconde proposition gĂ©nĂ©rale du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, a i> == y> C t,H “ H y*C % ,ir -+- 3,1/ .... -f- ; >1 > y»> y%> ‱ ‱ ‱ y t Ă©tant toujours les probabilitĂ©s des diverses causes qui peuvent amener les Ă©vĂ©nements pendant la sĂ©rie d’épreuves, ou autrement dit, qui peuvent produire les valeurs de A que l’on a observĂ©es ou que l’on observera. Cela posĂ©, la troisiĂšme proposition gĂ©nĂ©rale qui nous reste Ă  faire connaĂźtre, consiste en ce que la somme de ces pi valeurs de A, divisĂ©e par leur nombre, ou la valeur moyenne de cette chose, diffĂ©rera trĂšs probablement fort peu de la somme de toutes ses valeurs possibles, multipliĂ©es respectivement par leurs chances moyennes. Ainsi, en appelant s la somme des valeurs effectives de A, on aura, Ă  trĂšs peu prĂšs et avec une grande probabilitĂ©, RECHERCHES 142 de telle sorte que si l’on dĂ©signe par T une fraction aussi petite que l’on voudra, on pourra toujours supposer le nombre assez grand pour rendre aussi peu differente que l’on voudra de l’unitĂ©, la probabilitĂ© que la diffĂ©rence des deux membres de cette Ă©quation sera moindre que eT. Observons de plus que d’aprĂšs l’expression prĂ©cĂ©dente de ct„, et les valeurs de a,, a,, a 3 , etc., qui s’en dĂ©duisent, le second membre est indĂ©pendant de //.; quand ce nombre est trĂšs grand, la somme s lui est donc sensiblement proportionnelle ; par consĂ©quent, si l’on reprĂ©sente par s' la somme des valeurs de A dans une autre sĂ©rie d’un trĂšs grand nombre fi' d’épreuves, la diffĂ©rence des rap- r $ S y ‱ ports - et —7 sera trĂšs probablement fort petite; et en la nĂ©gligeant, on aura + s s' f* fc'* Dans la plupart des questions, le nombre A des valeurs possibles de A est infini; elles croissent par degrĂ©s infiniment petits, et sont comprises entre des limites donnĂ©es; et la probabilitĂ© que la cause quelconque C, donne Ă  chacune de ces valeurs devient, par consĂ©quent, infiniment petite. En reprĂ©sentant ces limites par l et l', et par Zjdz la chance que donnera Q Ă  une valeur quelconque z, qui pourra s’étendre depuis z = l jusqu’à z = on aura la chance totale de cette valeur z, ou Ă  trĂšs peu prĂšs sa chance moyenne pendant la sĂ©rie des Ă©preuves, sera Z dz, en faisant, pour abrĂ©ger, y x Z t - > ,Z, + = Z; et il en rĂ©sultera ‱ , -= f l Z zdz. r* J 1 La quantitĂ© Z sera une fonction connue ou inconnue de z mais la somme des tractions y lf y t , ys, etc., Ă©tant 1 unitĂ©, ainsi que chacune des intĂ©grales Z t dz,^ Z % dz,^ Z 3 dz, etc., on aura toujours J*Zttz = . . SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. .45 soit qu’il n’y ait qu’un nombre limitĂ© y de causes possibles, soit qu’il y en ait un nombre illimitĂ©, ou qu’on ait v = go . 54. Maintenant, la loi des grands nombre rĂ©side dans ces deux Ă©quations m P s f* applicables Ă  tous les cas d’éventualitĂ© des choses physiques et des choses morales. Elle a deux significations diffĂ©rentes dont chacune rĂ©pond Ă  l’une de ces Ă©quations, et qui se vĂ©rifient constamment l’une et l’autre, comme on a pu le voir par les exemples variĂ©s que j’ai citĂ©s dans le prĂ©ambule de cet ouvrage. Ces exemples de toute espĂšce ne pouvaient laisser aucun doute sur sa gĂ©nĂ©ralitĂ© et son exactitude; mais il Ă©tait bon, Ă  cause de l’importance de cette loi, qu’elle fĂ»t dĂ©montrĂ©e Ă  priori; car elle est la base nĂ©cessaire des applications du calcul des probabilitĂ©s, qui nous intĂ©ressent le plus; et d’ailleurs sa dĂ©monstration, fondĂ©e sur les propositionsdesdeux numĂ©ros prĂ©cĂ©dents, a l’avantage de nous faire connaĂźtre la raison mĂȘme de son existence. En vertu de la premiĂšre Ă©quation, le nombre m de fois qu’un Ă©vĂ©nement E, de nature quelconque, a lieu dans un trĂšs grand nombre fJL d’épreuves, peut ĂȘtre regardĂ© comme proportionnel Ă  fi. Pour chaque nature de chose, le rapport — a une valeur spĂ©ciale y, qu’il atteindrait rigoureusement, si p pouvait devenir infini ; et la thĂ©orie nous montre que cette valeur est la somme des chances possibles de E Ă  chaque Ă©preuve, multipliĂ©es respectivement par les probabilitĂ©s des causes qui leur correspondent. Ce qui caractĂ©rise l’ensemble de ces causes, c’est la relation qui existe pour chacune d’elles entre sa probabilitĂ© et la chance quelle donnerait, si elle Ă©tait certaine, Ă  l’arrivĂ©e de E. Tant que cette loi de probabilitĂ© ne change pas, nous observons la permanence du rapport dans diverses sĂ©ries composĂ©es d’un grand nombre d’épreuves; si, au contraire, entre deux sĂ©ries d’épreuves, cette loi a changĂ©, et qu’il en soit rĂ©sultĂ© dans la chance moyenne y , un changement notable, nous en serons avertis par un changement semblable dans la valeur de — lorsque, dans l’intervalle de deux sĂ©ries d’ob- RECHERCHES 1 44 servations, des circonstances quelconques auront rendu plus probables les causes, physiques ou morales, qui donnent les plus grandes chances Ă  l’arrivĂ©e de E, il en rĂ©sultera une augmentation de la valeur de y dans cet intervalle , et le rapport ^ se trouvera plus grand dans la seconde sĂ©rie qu’il n’était dans la premiĂšre; le contraire arrivera, quand les circonstances auront augmentĂ© les probabilitĂ©s des causes qui donnent les moiudres chances Ă  l’arrivĂ©e de E. Par la nature de cet Ă©vĂ©nement, si toutes ses causes possibles sont Ă©galement probables, on aura Y = i et y = 7; et trĂšs probablement, le nombre de fois que E arrivera dans une longue sĂ©rie d’épreuves s’écartera trĂšs peu de la moitiĂ© de leur nombre. De mĂȘme, si les causes de E ont des probabilitĂ©s proportionnelles aux chances que ces causes donnent Ă  son arrivĂ©e, et que leur nombre soit encore infini, on aura Y == ax; pour que l’intĂ©grale Ç Xdx soit l’unitĂ©, il faudra que l’on aita=2 ; il en rĂ©sultera donc >=f ; par consĂ©quent dans une longue sĂ©rie d'Ă©preuves, il y aura une probabilitĂ© trĂšs approchante delĂ  certitude, quele nombre des arrivĂ©es de E sera Ă  trĂšs peu prĂšs double de celui des arrivĂ©es de l’évĂ©nement contraire. Mais dans la plupart des questions, la loi de probabilitĂ© des causes nous est inconnue, la chance moyenne^ ne peut ĂȘtre calculĂ©e Ă  priori, et c’est l’expĂ©rience qui en donne la valeur approchĂ©e et trĂšs probable, en prolongeant la sĂ©rie des Ă©preuves assez loin pour que le rapport — devienne sensiblement invariable, et prenant alors ce rapport pour cette valeur. L’invariabilitĂ© presque parfaite de ce rapport - pour chaque nature d’évĂ©nements, est un fait bien digne de remarque, si l’on considĂšre toutes les variations des chances pendant une longue sĂ©ries d’épreuves. On serait tentĂ© de l’attribuer Ă  l’intervention d’une puissance occulte, distincte des causes physiques ou morales des Ă©vĂ©nements, et agissant dans quelque vue d’ordre et de conservation; mais la thĂ©orie nous montre que cette permanence a lieu nĂ©cessairement tant que la loi de probabilitĂ© des causes, relative Ă  chaque espĂšce d’évĂ©nements, ne vient point Ă  changer; en sorte qu’on doit la regarder, dans chaque cas, comme Ă©tant l’état naturel des choses, qui subsiste de lui-mĂȘme SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. i45 sans le secours d’aucune cause Ă©trangĂšre, et aurait, au contraire, besoin d’une pareille cause pour Ă©prouver un notable changement. On peut le comparer Ă  l’état de repos des corps, qui subsiste en vertu de la seule inertie de la matiĂšre tant qu’aucune cause Ă©trangĂšre ne vient le troubler. 55. Avant de considĂ©rer la seconde des deux Ă©quations prĂ©cĂ©dentes, il est bon de donner quelques exemples relatifs Ă  la premiĂšre , et propres Ă  Ă©clairer la question. Supposons qu’on ait un nombre v d’urnes C„ C„ C 3 ,. . . C,, contenant des boules blanches et des boules noires. DĂ©signons par c n> la chance d’amener une boule blanche en tirant dans l’urne quelconque C,; laquelle chance pourra ĂȘtre la mĂȘme pour plusieurs de ces urnes. On prend au hasard une de ces urnes que l’on remplace par une urne semblable; on en prend ensuite une seconde, aussi au hasard et que Ion remplace Ă©galement par une semblable; puis une troisiĂšme que 1 on remplace de mĂȘme ; et ainsi de suite , de maniĂšre que l’ensemble des urnes C,, C,, C 3 , etc., demeure toujours le mĂȘme. On forme ainsi une sĂ©riĂ© dĂ»mes B,, B a , B 3 , etc., indĂ©finiment prolongĂ©e, qui ne renferme que les urnes donnĂ©es C,, C., C 3 , etc., plus ou moins rĂ©pĂ©tĂ©es. DĂ©signons la chance d’extraire une boule blanche de B, par b t , de B a par b t , de B 3 par b 3 , etc., de sorte que la sĂ©rie indĂ©finie b„ b % , b 3 , etc., ne contienne aussi que les chances donnĂ©esc,,c a , c 3 ,etc., qui pourront y etre rĂ©pĂ©tĂ©es. Cela Ă©tant, on tire une boule de B,, une de B a , une de B 3 , etc., jusqu’à l’urne inclusivement. En appelant ÂŁ la chance moyenne de l’extraction d’une boule blanche dans ces rn tirages successifs, on aura ^ = ~ ^1 -+‱ b t - f- b 3 - f- . .. -f- b^. Or, les urnes C,, C a , C 3 , etc., reprĂ©sentent les v seules causes possibles de 1 arrivĂ©e dune boule blanche Ă  chaque Ă©preuve; par consĂ©quent, si jj. est un trĂšs grand nombre, que l’on fasse, comme plus haut, y — , c i H- °‱ +‱ c 3 +... + c,, !9 146 RECHERCHES. et que l’on de'signe par m le nombre de boules blanches qui seront extraites, on aura, d’aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde, - = €, Ă© = y, m — fxy, P* a trĂšs peu prĂšs et avec une grande probabilitĂ©. Ainsi le nombre m ne changera pas sensiblement si l’on rĂ©pĂšte les tirages sur les mĂȘmes urnes B,, B,, B 3 ,... B^, ou sur un nombre fx d’autres urnes consĂ©cutives, et si on les effectue sur un autre trĂšs grand nombre /x d’urnes, le / nombre de boules blanches qui arriveront aura -— pour valeur approchĂ©e et trĂšs probable. Si l’on extrait /x fois de suite au hasard, une boule de l’ensemble des urnes C,, C,, C 3 , etc., en remettant Ă  chaque fois la boule extraite dans l’urne dont elle est sortie, la chance d’extraire une boule blanche sera la mĂȘme Ă  toutes les Ă©preuves, et Ă©gale Ă  y d’aprĂšs la rĂšgle du n° 10; lorsque leur nombre sera trĂšs grand, celui des boules blanches que l’on amĂšnera sera donc, en vertu de la rĂšgle du n° 49» Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement Ă©gal au produit fxy, comme dans la question prĂ©cĂ©dente; mais ces deux questions sont essentiellement distinctes; et les deux rĂ©sultats ne coĂŻncident que dans le cas oĂč fx est un trĂšs grand nombre. Quand il ne l’est pas, la chance d’amener un nombre donnĂ© m dĂ©boulĂ©s blanches dĂ©pend, dans la premiĂšre question, non- seulement du systĂšme des urnes donnĂ©es C,, C,,C 3 , etc., mais aussi du systĂšme des urnes B,, B,, B 3 , etc., que l’on en a dĂ©duit au hasard. Je rĂ©duis, par exemple, les urnes donnĂ©es Ă  trois C,, C,, C 3 , et je prends jx = 2 et m = 1, de sorte qu’il s’agisse de savoir quelle est la chance de tirer une boule blanche de l’une des deux urnes B,etB a , et une boule noire de l’autre. Relativement Ă  ces deux urnes, il peut arriver neuf combinaisons diffĂ©rentes que j’indiquerai de cette maniĂšre B.=B. = C If B,=B.= C., B,=B a =C„ B, = C, et B a = € ,, B, = C, et B s = C 3 , B, = C. et B. = C„ B, =C,etB,= C„ B, = C 3 et B, = C., B, = C, et B, = C,. Pour chacune de ces neuf combinaisons, la chance demandĂ©e aura une SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i4 7 valeur dĂ©terminĂ©e ; ses neuf valeurs possibles selon la combinaison qui aura eu lieu, seront 2C,l — C,, 2C.l — C % , 2Cj I — Cj , pour les trois premiĂšres; ÂŁ.i —c a -H'.i—C,, c,l— C 3 +C 3 l— C,, C,l — C 3 +C 3 l—c,, pour les trois intermĂ©diaires; et les mĂȘmes que celles-ci, pour les trois derniĂšres. Il est aisĂ© de voir que la valeur moyenne de ces neuf chances, ou leur somme divisĂ©e par neuf, doit ĂȘtre la chance d’amener une blanche et une noire, en tirant une premiĂšre fois au hasard dans le groupe des trois urnes C,, C,, Cj, puis une seconde fois aprĂšs avoir remis la premiĂšre boule extraite dans l’urne d’oĂč elle serait sortie. Et, en effet, cette chance serait le double du produit de et de i — ^ c, -f- c, -f- c 3 ; quantitĂ© Ă©gale au neuviĂšme de la somme des neuf chances prĂ©cĂ©dentes. Avant que le systĂšme des urnes B,, B,, B 3 , etc., soit formĂ© et dĂ©duit du systĂšme des urnes donnĂ©es, nous n’aurions aucune raison de croire que la n il!m ' urne B. sera plutĂŽt l’une que l’autre des urnes C,, C,, C 3 , etc.; pour nous, la probabilitĂ© de l’extraction d’une boule blanche au n f ' m ' tirage serait donc la somme des chances c,, c ,, c 3 ,etc., divisĂ©e par leur nombre, c’est-Ă -dire la quantitĂ© y; mais quoique elle soit la mĂȘme pour tous les tirages, et que leur nombre fx fĂ»t aussi grand qu’on voudra, nous ne serions pas autorisĂ©s Ă  en conclure, en vertu de la seule rĂšgle du n° 49, que le nombre m des extractions de boules blanches, des urnes B,, B„ B 3 , etc., devra s’écarter trĂšs probablement fort peu du prodnit fxy ; car on ne doit pas perdre de vue que cette rĂšgle est fondĂ©e sur la chance propre de l’évĂ©nement que l’on considĂšre, et non sur sa probabilitĂ©, ou la raison que nous pouvons avoir de croire qu’il arrivera. 56. Pour second exemple, je suppose que l’on ait un trĂšs grand nombre de piĂšces de cinq francs, que j’appellerai A,, A,, A 3 , etc., et dont chacune prĂ©sentera une de ses deux faces, en retombant Ă  terre aprĂšs avoir Ă©tĂ© projetĂ©e en l’air. Relativement Ă  la piĂšce quelconque Aj, je dĂ©signerai par a, la chance de l’arrivĂ©e de tĂȘte, qui dĂ©pen- 19.. *' ‱ 48 RECHERCHES dra de la constitution physique de cette piĂšce. La valeur de a, sera inconnue Ă  priori; on la dĂ©terminera par l’expĂ©rience en projetant A/ un trĂšs grand nombre de fois m; et comme cette chance demeurera constante pendant cette sĂ©rie d’épreuves, si tĂȘte arrive un nombre n, de fois, on pourra prendre, par la rĂšgle du n° 49, pour sa valeur approchĂ©e et trĂšs probable. On s’en servira ensuite pour calculer les probabilitĂ©s des divers Ă©vĂ©nements futurs, relatifs Ă  la projection de la mĂȘme piĂšce A, on pourra parier Ă  jeu Ă©gal, m contre m — n t que tĂȘte arrivera dans une nouvelle Ă©preuve, m* contre T/z* — n* qu’il arrivera deux fois dans deux Ă©preuves successives, 272 j m — Tij contre m *— 2 n t m — m que tĂȘte aura lieu une fois seulement dans ces deux Ă©preuves, etc. Dans une nouvelle sĂ©rie d’un trĂšs grand nombre m' d’épreuves, le nombre de fois n / que tĂȘte arrivera , aura, Ă  trĂšs peu prĂšs et avec une grande probabilitĂ©, le produit m'a * pour t valeur, toujours d’aprĂšs la rĂšgle du n° 49; les deux rapports ^jet^> > devront donc s’écarter trĂšs peu l’un de l’autre ; mais, toutefois Ă  raison de ce que cette valeur de donnĂ©e par l’expĂ©rience, est seulement trĂšs probable et non pas certaine, la probabilitĂ© du peu de diffĂ©rence de ces deux rapports ne sera pas si grande, comme on le verra par la suite, que si la valeur de cette chance a t Ă©tait certaine et donnĂ©e Ă  priori. Au lieu de projeter la mĂȘme piĂšce un trĂšs grand nombre de fois, supposons que l’on emploie successivement un trĂšs grand nombre p de piĂšces de cinq francs , prises au hasard parmi celles qui proviennent d’un mĂȘme mode de fabrication, et soit n le nombre de fois que tĂȘte arrivera. Appelons a la chance moyenne de l’arrivĂ©e de tĂȘte, non pas seulement pour toutes les piĂšces dont on aura fait usage, mais pour toutes les piĂšces de la mĂȘme espĂšce et provenant delĂ  mĂȘme fabrication. En vertu des deux propositons gĂ©nĂ©rales du n° 52 , nous aurons, Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement, a n ~ > t* SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 149 comme si les chances inconnues a,, a % , a if etc., Ă©taient toutes Ă©gales entre elles. Selon que l’on trouvera ^ > ’ ou ^ on en conclura que dans les piĂšces de cinq francs de cette fabrication, la chance de l’arrivĂ©e de tĂȘte est gĂ©nĂ©ralement plus grande ou moindre que celle de l’arrivĂ©e de la face opposĂ©e. A l’égard d’une piĂšce A, en particulier, la chance a, Ă©tant diffĂ©rente de a, il pourra arriver que l’on ait — en considĂ©rant la premiĂšre Ă©quation de ce numĂ©ro. La seconde Ă©quation, ou plutĂŽt celle-ci - = [ r Zzdz, f* J i donnera lieu comme la premiĂšre, Ă  de nombreuses et utiles applications. Je suppose, par exemple, que a soit un angle que l'on veut mesurer. Cet angle existe; sa grandeur est unique et dĂ©terminĂ©e; mais l’angle que l’on mesure Ă  chaque opĂ©ration, est une chose susceptible d’un nombre infini de valeurs diffĂ©rentes, Ă  raison des erreurs inĂ©vitables et variables des observations. Je prends cet angle, qui sera mesurĂ© successivement un grand nombre de fois, pour la chose A, de sorte que Zdz exprime la chance d’une valeur quelconque z de A, rĂ©sultante de la construction de l’instrument et de l’adresse de l’observateur. Soit k 20.. i56 RECHERCHES l’abscisse du centre de gravitĂ© de l’aire d’une courbe plane, dont z et Z sont l’abscisse et l’ordonnĂ©e, et qui s’étend depuis z= l jusqu’à z= ĂŻ, en dĂ©signant, comme dans le n" 53, par l et l' les limites des valeurs possibles de A. Faisons z — k - f- x , l = k - f- h , l' ss k - f- h' ; et reprĂ©sentons par X ce que Z devient quand on y met k-\-x au lieu de z ; nous aurons f t Tidz = Xdx = i, f h Xxdx = o, et par consĂ©quent, Ă  trĂšs peu prĂšs, en vertu de l’équation citĂ©e, dans laquelle s est la somme des valeurs de A que l’on obtiendra dans un grand nombre d’épreuves. C’est donc vers la constante k que sa valeur moyenne - convergera de plus en plus, Ă  H" mesure que ft augmentera davantage; mais lors mĂȘme que ce rapport sera devenu sensiblement constant, c’est-Ă -dire, lorsqu il sera sensiblement le mĂȘme dans plusieurs sĂ©ries d’autres grands nombres de mesures, il pourra quelquefois arriver que cette moyenne diffĂšre beaucoup de l’angle a qu’on veut dĂ©terminer elle sera toujours la valeur approchĂ©e de la constante y qui peut ne point coĂŻncider avec cet angle. En effet, soit z = et - f- u , l = et - f- g , l' a H - § '> appelons U ce que devient Z quand on y met a+M au lieu de 2 ; nous aurons J'* Zdz s= f'Vdu = i? Uttdtt. La diffĂ©rence u, entre l’angle a et une valeur possible z de l’angle mesurĂ© A, est l’une des erreurs possibles de 1 instrument et de 1 obseĂŻ- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i 5 7 vateur; elle peut ĂȘtre positive ou nĂ©gative, et s’étendre depuis = g jusqu’à u = g' ; sa probabilitĂ© infiniment petite estUtfo. Or, s’il n’y a dans la constructioa de l’instrument aucune cause qui donne aux erreurs positives de plus grandes chances qu’aux erreurs nĂ©gatives, ou rĂ©ciproquement, et qu’il en soit de mĂȘme pour la maniĂšre d’opĂ©rer de l’observateur, les limites g et g' seront Ă©gales et de signes contraires , la fonction U sera Ă©gale pour des valeurs de la variable u Ă©gales et de signes contraires, et il en rĂ©sultera Dans ce cas, qui est le plus commun, le rapport - sera donc la va- leurapprochĂ©e de a. Mais, si l’instrument par sa construction, ou l’observateur par sa maniĂšre de viser, donne quelque prĂ©pondĂ©rance, soit aux chances des erreurs positives, soit Ă  celles des erreurs nĂ©gatives, l’intĂ©grale prĂ©cĂ©dente ne sera plus nulle, les constantes a et k diffĂ©reront l’une de l’autre, et le rapport - s’écartera notablement, en gĂ©nĂ©ral, H 1 de la vĂ©ritable valeur de a. On ne pourra s’apercevoir de cette circonstance, qu’en mesurant le mĂȘme angle, soit avec d’autres instruments, soit par d’autres observateurs. Je me bornerai ici Ă  indiquer cette application du calcul des probabilitĂ©s en ce qui concerne les erreurs des observations, et les mĂ©thodes de calcul propres Ă  en diminuer et Ă©valuer l’influence, je renverrai Ă  la ThĂ©orie analytique des probabilitĂ©s et aux mĂ©moires sur ce sujet que j’ai insĂ©rĂ©s dans la Connaissance des teins * . 61. Pour second exemple de l’équation citĂ©e au commencement du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, supposons que les causes dĂ©signĂ©es par C,, C», C 3 , etc., soient toutes celles qui dĂ©terminent les chances de durĂ©e de la vie humaine dans un pays et Ă  une Ă©poque dĂ©terminĂ©s. Ces causes sont, entre autres, les diverses constitutions physiques des enfants qui naissent, le bien-ĂȘtre des habitants, les maladies qui abrĂšgent cette * AnnĂ©es 1827 et i 832 . i58 RECHERCHES duree, et sans doute aussi quelques causes rĂ©sultantes de la vie elle- mĂȘme , qui l’empĂȘchent de se prolonger au-delĂ  de limites quelles n’a jamais dĂ©passĂ©es il y a lieu de croire, en effet, que si les maladies Ă©taient les seules causes de mort, et qu’elle fĂ»t, pour ainsi dire, accidentelle, quelques-uns des hommes parmi le nombre immense de ceux qui ont vĂ©cu, auraient Ă©chappĂ© Ă  ces dangers pendant plus de deux siĂšcles; ce qu’on u’a jamais observĂ©. La chose A sera alors le temps que vivra un enfant qui vient de naĂźtre; z exprimera une valeur possible de A , et Z dz la chance de z rĂ©sultante de toutes les causes, quelles qu’elles soient, qui peuvent la dĂ©terminer, non pas pour un enfant en particulier, mais pour l’espĂšce humaine, dans le lieu et Ă  l’époque que l’on considĂšre. Ainsi, concevons qu’une certaine constitution physique en naissant, donne une chance Z 'dz de vivre prĂ©cisĂ©ment un temps Ă©gal Ă  z , qu’une autre constitution donne une chance Z 'dz de vivre jusqu’au mĂȘme Ăąge, etc.; soient aussi ÂŁ', etc., les probabilitĂ©s de ces diverses constitutions Ă  raison de ces causes, la fonction Z sera la somme ÂŁ'Z' -f- ÂŁ"Z" + etc., Ă©tendue Ă  toutes les constitutions possibles ; et si ce nombre est infini, Z se changera en une intĂ©grale dĂ©finie, qui aura une valeur inconnue, mais dĂ©terminĂ©e. Dans le pays oĂč les hommes naissent le plus forts ou le mieux constituĂ©s, cette intĂ©grale aura sans doute la plus grande valeur; dans chaque pays, elle pourra n’ùtre pas la mĂȘme pour les deux sexes; sans doute aussi les valeurs de Z', Z", TJ", etc., dĂ©pendront d’ailleurs des maladies possibles et du bien- ĂȘtre des habitants la fonction Z sera diffĂ©rente, et par suite, l’intĂ©grale Ă eTzdz le sera aussi, Ă  deux Ă©poques Ă©loignĂ©es l’une de l’autre, si dans l’intervalle quelque maladie a disparu, ou que le bien-ĂȘtre du peuple ait augmentĂ© par le progrĂšs de la sociĂ©tĂ©. On pourra, si l’on veut, prendre zĂ©ro et l’infini pour les limites l et ĂŻ de cette intĂ©grale , en considĂ©rant Z comme une fonction qui s’évanouit au-delĂ  d’une valeur de z, inconnue aussi bien que la forme de Z. Cela Ă©tant, les valeurs observĂ©es de A seront les Ăąges auxquels sont morts en trĂšs grand nombre ft d’individus nĂ©s dans un mĂȘme pays'et vers la mĂȘme Ă©poque; et en appelants la somme de ces Ăąges, on aura, Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i5g par consĂ©quent, ce rapport - , ou ce qu’on appelle la vie moyenne , de- meurera constant pour chaque pays, tant qu’aucune des causes C,, C„ C 3 , etc., connues ou inconnues, n’éprouvera pas un changement notable. En France, on suppose la vie moyenne d’environ 29 ans; mais cette Ă©valuation est fondĂ©e sur des observations antĂ©rieures Ă  l’usage de la vaccine, et dĂ©jĂ  trĂšs anciennes; elle doit ĂȘtre aujourd’hui sensiblement plus longue; et il serait Ă  dĂ©sirer qu’on la dĂ©terminĂąt de nouveau, sĂ©parĂ©ment pour les hommes et pour les femmes, pour les diffĂ©rents Ă©tats, et pour les diverses parties du royaume. On considĂšre aussi la vie moyenne Ă  partir d’un Ăąge donnĂ© s est alors le nombre des annĂ©es qu’ont vĂ©cu au-delĂ  de cet Ăąge , un trĂšs grand nombre u d-’individus ; le rapport s - est la vie moyenne relative Ă  cet Ăąge, avec lequel elle varie, en demeurant constante pour un mĂȘme Ăąge on suppose qu’elle atteint son maximum entre 4 et 5 ans, et qu’elle s’élĂšve alors Ă  43 ans. Les tables de mortalitĂ© ont un autre objet sur un trĂšs grand nombre /a d’individus nĂ©s dans un mĂȘme pays et Ă  la mĂȘme Ă©poque, elle font connaĂźtre les nombres de ceux qui vivent encore au bout d’un an, de deux ans, de trois ans, etc., jusqu’à ce qu’aucun n’existe plus. En dĂ©signant par m le nombre des vivants qui ont un Ăąge donnĂ©, c’est en vertu de la premiĂšre Ă©quation du n° 54, que le rapport — est sensible- ment invariable, du moins tant qu’il ne s’agit pas d’un Ăąge trĂšs avancĂ©, et que m n’est pas devenu un nombre trĂšs petit vers cent ans, par exemple, cette invariabilitĂ© consiste en ce que le rapport — est toujours une trĂšs petite fraction. Dans l’intĂ©grale J' Zzdz, au lieu de faire varier z par degrĂ©s infiniment petits, si l’on fait croĂźtre cette variable par des intervalles trĂšs petits; que l’on prenne, pour fixer les idĂ©es, chacun de ces intervalles de temps pour unitĂ©; et que l’on dĂ©signe par k l} h t , h i7 etc., la sĂ©rie des valeurs de z, et par H,, H,, H 3 , etc., les valeurs correspondantes de Z, la somme des produits H,4,, 11,4,, H 3 4 3 , etc., sera, comme on sait, la valeur approchĂ©e de cette intĂ©grale. En dĂ©signant i6o RECHERCHES par v la vie moyenne, Ă  partir de la naissance, on aura donc aussi v = H,A, - -f- H S A, -f- etc. Or, H„ exprimant ici la cha nce de mourir Ă  un Ăąge h u , il s’ensuit que relativement Ă  la durĂ©e de la vie humaine, on peut considĂ©rer la vie moyenne v comme l’espĂ©rance mathĂ©matique n° 23 d’un enfant qui vient de naĂźtre et dont la constitution physique nous est inconnue; mais d’aprĂšs les tables de mortalitĂ©, sur un trĂšs grand nombre d’enfants, plus de la moitiĂ© meurt avant d’avoir atteint cet Ăąge v. 62. Supposons, pour dernier exemple, que pour un lieu donnĂ© et pour un jour de l’annĂ©e aussi donnĂ©, on ait calculĂ© l’excĂšs de la haute sur la basse mer qui aurait lieu en vertu des actions simultanĂ©es du soleil'et de la lune. Prenons pour la chose A, la diffĂ©rence entre cet excĂšs calculĂ© et celui qui est observĂ© dans le mĂȘme lieu et Ă  la mĂȘme Ă©poque de chaque annĂ©e. Les valeurs de A varieront d’une annĂ©e Ă  une autre, Ă  raison des vents qui peuvent souffler en ce lieu et Ă  cette Ă©poque, et qui dĂ©terminent les chances de ces diverses valeurs. Or, si l’on considĂšre toutes les directions et les intensitĂ©s possibles de ces vents, leurs probabilitĂ©s respectives, et les chances que ces causes donnent Ă  une valeur quelconque z de A, l’intĂ©grale J i Zzdz aura une valeur inconnue, mais dĂ©terminĂ©e, et qui demeurera constante, tant que la loi de probabilitĂ© de chaque vent possible ne changera pas. Le rapport s - sera donc aussi Ă  trĂšs peu prĂšs invariable; s Ă©tant la somme des valeurs de A, obser- .vĂ©es pendant une longue suite d’annĂ©es. Nous ne savons pas Ă  priori, si - est zĂ©ro ou une fraction qu’on puisse nĂ©gliger, c’est-Ă -dire, si l’influence des vents sur les lois gĂ©nĂ©rales des marĂ©es est insensible ; l’expĂ©rience seule peut nous faire connaĂźtre la valeur de ce rapport, et nous apprendre s il varie aux diffĂ©rentes Ă©poques de l’annĂ©e , et pour les lieux diffĂ©rents oĂč les observations sont faites, sur la cĂŽte, dans les ports, en pleine mer. Pour connaĂźtre l’influence de tel ou tel vent en par- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 161 ticulier, il faudrait n’employer que des valeurs de A observĂ©es sous cette influence; toutefois, afin de n’avoir pas besoin d’un trop grand nombre d’annĂ©es d’observations, ces valeurs pourraient rĂ©pondre Ă  plusieurs jours consĂ©cutifs, pendant lesquels la direction du vent aurait peu changĂ©. Plusieurs savants s’occupent maintenant de cet examen, qui exigera un long travail, et ne manquera pas de conduire Ă  des rĂ©sultats intĂ©ressants. 63. L’exposition des rĂšgles du calcul des probabilitĂ©s et de leurs consĂ©quences gĂ©nĂ©rales, qui a Ă©tĂ© faite dans ce chapitre et dans le prĂ©cĂ©dent , Ă©tant actuellement complĂšte, je reviens sur la notion de cause et d 1 effet , qui est seulement indiquĂ©e dans le n° 27. La cause propre d’une chose E est, comme on l’a dit dans ce numĂ©ro, une autre chose C qui possĂšde une puissance de produire nĂ©cessairement E, quelles que soit d’ailleurs la nature de ce pouvoir et la maniĂšre dont il s’exerce Ainsi, ce qu’on appelle l’attraction de la terre est une certaine chose qui a la puissance de faire tomber les corps situĂ©s Ă  la surface du globe, dĂšs qu’il ne sont pas soutenus; et de mĂȘme, dans notre volontĂ© , rĂ©side un pouvoir de produire, par l’intermĂ©diaire des muscles et des nerfs, une partie de ces mouvements que l’on nomme, pour cette raison, mouvements volontaires. Quelquefois, dans la nature, la chose E n’a qu’une seule cause C qui puisse la produire, de sorte que l’observation de E suppose toujours l’intervention de C. Dans d’autres cas, cette chose peut ĂȘtre attribuĂ©e Ă  plusieurs causes distinctes, qui concourent ensemble, ou qui s’excluent mutuellement de maniĂšre qu’une seule ait dĂ» produire E. Telles sont, en ce qui concerne le principe delĂ  causalitĂ©, les idĂ©es les plus simples et que je crois gĂ©nĂ©ralement admises. Cependant l’illustre historien de l’Angleterre a Ă©mis sur ce point de [mĂ©taphysique, une opinion diffĂ©rente qu'il convient d’examiner, et sur laquelle le calcul des probabilitĂ©s peut jeter un grand jour. Selon Hume *, nous ne pouvons avoir d’autre idĂ©e de la causalitĂ© que celle d’un concours et non d’une connexion nĂ©cessaire entre * Essais philosophiques sur l’entendement humain septiĂšme essai de l’idĂ©e de pouvoir ou de liaison nĂ©cessaire. 21 162 RECHERCHES ce que nous appelons cause et effet; et ce concours n’est pour nous qu’une forte prĂ©somption, rĂ©sultant de ce que nous l’avons observĂ© un grand nombre de fois si nous l’eussions observĂ© un nombre de fois peu considĂ©rable, ce serait juger de la nature sur un trop petit Ă©chantillon, que de prĂ©sumer qu’il se reproduira dĂ©sormais. D’autres ont partagĂ© la mĂȘme opinion-, et l’ont appuyĂ©e sur les rĂšgles de la probabilitĂ© des Ă©vĂ©nements futurs, d’aprĂšs l’observation des Ă©vĂ©nements passĂ©s. Mais Hume va plus loin; et sans mĂȘme recourir Ă  ces lois de probabilitĂ©, il pense que l’habitude de voir l’effet succĂ©der Ă  la cause, produit dans notre esprit une sorte d’association d’idĂ©es qui nous porte h croire que l’effet va arriver quand la cause a eu lieu; ce qui peut ĂȘtre effectivement vrai pour la plupart des hommes, qui n’examinent pas le principe de leur croyance et son degrĂ© de probabilitĂ© pour eux, cette association d’idĂ©es doit ĂȘtre comparĂ©e Ă  celle qui se fait dans notre esprit, entre le nom d’une chose et la chose mĂȘme, et qui est telle, que le nom nous rappelle la chose, indĂ©pendamment de notre rĂ©flexion et de notre volontĂ©. Un des exemples que l’auteur choisit pour expliquer son opinion est le choc d’un corps en mouvement contre un corps libre et en repos, et le mouvement de ce second corps Ă  la suite de sa rencontre par le premier. Ce concours du choc et du mouvement du corps choquĂ© est, en effet, un Ă©vĂ©nement que nous avons observĂ© un trĂšs grand nombre de fois, sans que l’évĂ©nement contraire se soit jamais prĂ©sentĂ©; ce qui suffit, abstraction faite de toute autre considĂ©ration, pour que nous ayons une forte raison de croire, ou, pour qu’il y ait une trĂšs grande probabilitĂ© que le concours dont il s’agit aura encore lieu dĂ©sormais. Il en est de mĂȘme de tous les concours de causes et d’effets que nous observons journellement et sans exception leur probabilitĂ© s’alimente, pour ainsi dire, par cette expĂ©rience continuelle, et la raison ou le calcul, d’accord avec l’habitude, nous donne une grande assurance qu’à l’avenir ces causes seront toujours suivies de leurs effets. Mais dans le cas d’un phĂ©nomĂšne que nous avons seulement observĂ© un nombre de fois peu considĂ©rable, Ă  la suite de la cause que nous lui assignons, il n’y aurait, d’aprĂšs les rĂšgles prĂ©cĂ©demment exposĂ©es, qu’une probabilitĂ© qui ne serait pas trĂšs grande, pour le concours futur de cette cause et de cet effet. NĂ©anmoins, il arrive souvent que nous ne faisons i63 S? SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. aucun doute de la reproduction de ce phĂ©nomĂšne, lorsque sa cause aura lieu de nouveau. Or, celle assurance suppose que notre esprit attribue Ă  la cause une puissance quelconque de produire son effet, et qu’il admet une liaison nĂ©cessaire entre ces deux choses, indĂ©pendamment du nombre, plus ou moins grand, de leurs concours observĂ©s. Ainsi, lorsque M. OErsted dĂ©couvrit qu’en faisant communiquer les deux pĂŽles d’une pile de Volta, au moyen d’un fil mĂ©tallique, il arrivait qu’une aiguille aimantĂ©e, suspendue librement dans le voisinage de ce circuit voltaĂŻque, dĂ©viait de sa direction naturelle; l’illustre physicien fut sans doute convaincu, aprĂšs avoir rĂ©pĂ©tĂ© un petit nombre de fois cette expĂ©rience capitale, que le phĂ©nomĂšne ne manquerait pas de se reproduire constamment par la suite. Cependant, si notre raison de croire Ă  cette reproduction Ă©tait uniquement fondĂ©e sur le concours du circuit voltaĂŻque et de la dĂ©viation de l’aiguille aimantĂ©e, observĂ© une dixaine de fois, par exemple, la probabilitĂ© que le phĂ©nomĂšne arriverait encore dans une nouvelle Ă©preuve, ne serait que ^ n° 46 dans une nouvelle sĂ©rie de 1 o Ă©preuves, ily aurait Ă  parier 11 contre 1 o, ou Ă  peu prĂšs un contre un, que l’évĂ©nement aurait encore lieu sans interruption ; et dans une plus longue sĂ©rie d’expĂ©riences futures, il deviendrait raisonnable de penser que le phĂ©nomĂšne ne sc reproduirait pas Ă  toutes les Ă©preuves. Je citerai encore pour exemple l’heureuse application Ă  la composition chimique des corps, que M. Biot a faite rĂ©cemment de la polarisation progressive de la lumiĂšre dans un sens dĂ©terminĂ©, dont il avait depuis long-temps constatĂ© l’existence dans des milieux homogĂšnes et non cristallisĂ©s * . Lorsque dans un nom- * Le principe de cette application est exposĂ© clairement et en peu de mots dans la note suivante que M. Biot a bien voulu me communiquer >‱ cette polarisation. Car le rayon, qui les a traversĂ©s sous l’incidence normale, » donne des images doubles, dans les mĂȘmes positions du prisme rhomboĂŻdal oĂč » il en donnait primitivement de simples. Alors, en tournant graduellement la » section principale du prisme vers la droite ou vers la gauche de l’observateur, » 011 trouve toujours une certaine position ou l’image extraordinaire disparaĂźt. Et, >> pour cette position, le rayon prĂ©sente de nouveau tous les caractĂšres d’une po- » larisation complĂšte. De sorte que le plan de polarisation primitif a Ă©tĂ© seule- » ment dĂ©viĂ© angulairement par l’action du corps interposĂ©. » Pour chaque substance, prise dans un mĂȘme Ă©tat physique, et agissant sur un » mĂȘme rayon, la quantitĂ© absolue de la dĂ©viation est proportionnelle Ă  l’épais- seur de matiĂšre traversĂ©e ; de sorte que le sens dans lequel elle croĂźt, fait con- » naĂźtre de quel cĂŽtĂ© elle s’exerce. Certaines substances l’opĂšrent vers la droite, » d’autres vers la gauche de l’observateur, pour les mĂȘmes rayons; et, si on les » mĂȘle ensemble, sans qu’il s’exerce entre elles de rĂ©action chimique qui les dĂ©- » nature, la dĂ©viation rĂ©sultante est toujours la somme des dĂ©viations partielles » qui auraient Ă©tĂ© opĂ©rĂ©es isolĂ©ment par les mĂȘmes quantitĂ©s pondĂ©rables de cba- » que substance. » Ces phĂ©nomĂšnes de dĂ©viations progressivement croissantes, opĂ©rĂ©es dans un » sens propre, par des milieux homogĂšnes agissant sous l’incidence normale , ont » Ă©tĂ© prĂ©sentĂ©s Ă  l’Institut le 23 octobre i 8 i 5 . Ce sont les premiers faits de ce » genre qui aient Ă©tĂ© dĂ©couverts, et reconnus dans leur caractĂšre progressif. La » dĂ©couverte de M. OErsted, qui prĂ©sente un semblable caractĂšre, leur est postĂ©- » rieure de plusieurs annĂ©es. » *‱ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i65 vateur, pour fixer les idĂ©es, et que les dĂ©viations observĂ©es ont Ă©tĂ© assez grandes pour ne laisser aucune incertitude sur le sens dans lequel elles ont eu lieu, cela suffit pour que nous soyons assurĂ©s, comme on l’est d’une chose dont personne ne doute, que dorĂ©navant la mĂȘme substance fera toujours dĂ©vier la lumiĂšre Ă  droite; et cependant le concours de cette substance et d’une dĂ©viation Ă  droite, observĂ© un nombre de fois qui n’est pas trĂšs grand, ne donnerait qu’une faible probabilitĂ©, et mĂȘme une probabilitĂ© infĂ©rieure Ă  ^ , que dans un pareil nombre ou un nombre un peu plus grand d’épreuves nouvelles, aucune dĂ©viation Ă  gauche n’aurait lieu. Ces exemples et d’autres qne l’on imaginera aisĂ©ment montrent, ce me semble, que la confiance de notre esprit dans le retour des effets Ă  la suite de leurs causes ne peut avoir pour unique fondement l’observation antĂ©rieure de cette succession, plus ou moins va voir, en effet, qu’indĂ©pendamment d’aucune habitude de notre esprit, la seule possibilitĂ© d'une certaine aptitude de la cause Ă  produire nĂ©cessairement son effet, augmente de beaucoup la raison de croire Ă  ce retour, et peut rendre sa probabilitĂ© trĂšs approchante de la certitude, quoique les observations antĂ©rieures soient en nombre peu considĂ©rable. 64 . Avant qu’un phĂ©nomĂšne P ait Ă©tĂ© observĂ© et qu’on sache s’il arrivera ou s’il n’arrivera pas dans toute une sĂ©rie d’expĂ©riences que l’on va faire, nous admettons donc que l’existence d’une cause C capable de le produire nĂ©cessairement ne soit pas impossible. Nous concevons aussi qu’avant ces expĂ©riences, l’existence d’une telle cause avait une certaine probabilitĂ©, rĂ©sultant de considĂ©rations particuliĂšres qui la rendaient plus ou moins vraisemblable, et que nous reprĂ©senterons par p. Supposons ensuite que P soit observĂ© Ă  toutes ces expĂ©riences dont le nombre sera dĂ©signĂ© par n. AprĂšs cette observation , la probabilitĂ© de l’existence de C aura changĂ©; il s’agira de la dĂ©terminer, et nous la dĂ©signerons par connues ou inconnues, qui ont pu aussi, Ă  dĂ©faut de C, donner naissance Ă  ce phĂ©nomĂšne en se combinant avec le hasard n° 27, savoir B, dans la premiĂšre expĂ©rience, B a dans la seconde ,B. dans la derniĂšre. Soit gĂ©nĂ©ralement r ; la probabilitĂ© de l’existence de B, , multipliĂ©e par la chance que cette cause, si elle Ă©tait certaine, donnerait Ă  l’arrivĂ©e de P. En faisant, pour abrĂ©ger, i\.r\.r 3 - r n = f, ce produit serait la probabilitĂ© de l’arrivĂ©e de ce phĂ©nomĂšne dans toutes les n expĂ©riences, rĂ©sultante de l’ensemble des causes B,, B,, B,, etc., et si la cause C n’existait pas; et comme \—p est la probabilitĂ© de la non-existence de C, il en rĂ©sulte, dans l’hypothĂšse que C n’existe pas, I — p f> pour la probabilitĂ© de l’évĂ©nement observĂ©, qui est ici l’arrivĂ©e constante de P. Dans la supposition contraire, sa probabilitĂ© est p, c’est-Ă -dire, qu’elle n’est autre chose que celle de l’existence de C, antĂ©rieurement Ă  l’observation, puisque celte cause produirait nĂ©cessairement l’arrivĂ©e de P Ă  toutes les Ă©preuves. Par consĂ©quent, d’aprĂšs la rĂšgle du n° 28, la probabilitĂ© de cette seconde hypothĂšse, ou de l’existence de C aprĂšs l’observation, a pour valeur esr p _ p -h 1 —pr’ et celle de sa non - existence est 1 _1 ~Pt p + i — pi On parvient Ă©galement Ă  ce rĂ©sultat, en ayant Ă©gard successivement aux n expĂ©riences, au lieu de les considĂ©rer toutes Ă  la fois, comme nous venons de le faire. En effet, la probabilitĂ© de l’existence de C Ă©tant p, par hypothĂšse, avant la premiĂšre expĂ©rience, dĂ©signons ce qu’elle devient successivement, par p' aprĂšs cette expĂ©rience et avant la seconde, par p" aprĂšs la seconde et avant la troisiĂšme, etc. ; nous aurons n' — P 1 n' 1 —Pr, P — P + * - - P r,’ 1 P P + 1 —p r,’ n" — 1 P 1— P r * P — P r + i- -/Or/ 1 —P 1 ** 1 + 1 etc. ; ✓ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 167 et en Ă©liminant d’abord p' et 1 — p' des valeurs de p" et 1 — p", ensuite p" et 1 — p" des valeurs de p"' et 1 — p 1 ", etc., on obtiendra les expressions prĂ©cĂ©dentes de W\W\VNV\W\> VV\S M \V\ V\\V\A\U\^\WVW\\U\ CHAPITRE III. Calcul des probabilitĂ©s qui dĂ©pendent de trĂšs grands nombres. 66 Lorsqu’on veut calculer le rapport des puissances trĂšs Ă©levĂ©es de deux nombres donnĂ©s, on le peut toujours, sans difficultĂ©, au moyen des tables logarithmiques, eu employant, s’il est nĂ©cessaire, des logarithmes qui contiennent plus de dĂ©cimales , que ceux dont on fait usage ordinairement. Si a et b sont ces deux nombres, et m et n leurs puissances, on aura n . log. b ’ - n / les produits , et leur rapport s’obtiendront aisĂ©ment; et ce rapport Ă©tant le logarithme de celui qu’on demande, on trouvera ensuite celui-ci dans les tables. Mais il n’en est plus de mĂȘme, lorsqu’il s’agit du rapport de deux produits dont chacun est composĂ© d’un trĂšs grand nombre de facteurs inĂ©gaux, tel que a, . . n — 0 ÂŁliÂŁSlĂŒ h" - f- - d - 1o 8- h *'‱_ n JH n 6 dh 3 n — o, En dĂ©signant par t un nombre entier et positif, on a f e-* t tl+, dt = o, J — 00 f e-^t^dt— I ' 3 ' 5, ' at ~ ‱ f e-^dt J — 0 a J —00 On a aussi, comme on sait, f e~ v dt = s/tt; SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i 7 5 TT dĂ©signant toujours le rapport de la circonfĂ©rence au diamĂštre. Donc, Ă  cause de d 4 - = d 4 - = h' + 2 h"t + 5 h'"t* + etc., dt dt nous aurons /T» rvrfi = H \/Ït h'+ h'”+ 1 ~ k' -h A-+etc.. Il suffira donc de dĂ©terminer les coefficients hh 1 ", h % etc., de rangs impairs; or au moyen des Ă©quations 2, on trouve h 1 = s/m, h" 1 — Ćž-— n ~ 18n ’ k' = [/ in io8on * etc.; par consĂ©quent, en ayant Ă©gard Ă  l’équation 1 et Ă  la valeur de H, on aura finalement 3 ...n= Y/atfn 1 + 7^ + TĂąt" etc ' ^ 68. La sĂ©rie contenue entre les parenthĂšses sera d’autant plus convergente dans ses premiers termes, qu’il s’agira d’un plus grand nombre n. Toutefois, elle est du genre des sĂ©ries qui finissent par devenir divergentes, en les prolongeant convenablement; mais en rĂ©duisant cette sĂ©rie Ă  sa partie convergente, on pourra toujours faire usage de la formule 3 pour calculer une valeur approchĂ©e du produit des n premiers nombres naturels; et il ne sera pas mĂȘme nĂ©cessaire que a soit fort considĂ©rable pour que l’approximation soit trĂšs grande. En prenant, par exemple, n — io, la formule rĂ©duite Ă  ses trois premiers termes, donne 3628800 Ă  moins d’une unitĂ© prĂšs, et ce nombre entier se trouve ĂȘtre aussi la valeur exacte du produit des ro premiers nombres naturels. En mettant 2 n au lieu de dans la formule 3 , il vient 2 n — 1 .2n=22n , "e“*" \/frn 1+ —, —h \ 24 n i5in" -f- etc 176 RECHERCHES mais on a identiquement i . 2 n — i. 2n = 2“. i. 2 .3... n. i. . . 2n — \ ; on aura, par consĂ©quent, —i =2 nJr 'n tm e~ tn - f-etc.^; et en divisant cette Ă©quation membre Ă  membre par l’équation 3, on en conclut I . = 2 n*e-V2i-^; + rr 5 b +elc - ; 4 en sorte que l’expression en sĂ©rie du produit des nombres impairs ne renferme plus la quantitĂ© \Ar, qui se trouve dans celle du produit des nombres pairs et impairs. Si l’on fait n = i dans cette Ă©quation et dans la formule 3, on en dĂ©duit —= i — H- -V + Gtc -> 2I/2 24^1162^ -/= = 1 + — + ^ 5 + etc. \/ 2sr >2 288 Par le calcul direct, on a —= 0,96 io5. .., —7— = 1,08444 ‱ ‱ ‱ ; 2 y 2 y 2*- et ces sĂ©ries rĂ©duites Ă  leurs trois premiers termes, donnent 0,95920 et 1,08680; ce qui diffĂšre trĂšs peu des valeurs exactes. Ces exemples numĂ©riques, joints au prĂ©cĂ©dent, montrent quel degrĂ© d’approxima- tioQ on peut attendre des formules de ce genre, dont on fera un continuel usage dans ce chapitre. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, 177 En multipliant par 2" les deux membres de l’équation 3 , les Ă©levant ensuite au carrĂ©, et les divisant par 1 n, il vient en Ă©levant les deux membres de l’équation 4 au carrĂ©, et supprimant dans le premier un facteur Ă©gal Ă  l’unitĂ©, on a de mĂȘme 1. 53 . 5 . 5 ...2 n- 1 t 5 irĂŻ i. 5 . 3 . 5 . 5 ...2»— —i=22 ,n e _ ” H—^-1-=?-U etc. ' ' V 0/1 n 1 1 l'ton 1 1 De cette maniĂšre, les premiers membres de ces deux Ă©quations sont des produits composĂ©s d’un mĂȘme nombre de facteurs , Ă©gal Ă  2 n —1 ; et si l’on divise ces Ă©quations membre Ă  membre, on en conclut n 2 .271 7T ] rĂ©sultat qui coĂŻncide dans le cas de n irifini, avec la formule connue de Wallis , savoir 1 .... - jr — - — - - _ 2 C’est Ă  Laplace que l’analyse est redevable de la mĂ©thode que uous venons d’employer pour rĂ©duire les intĂ©grales en sĂ©ries convergentes dans leurs premiers termes, et propres Ă  en calculer des valeurs approchĂ©es, lorsque les quantitĂ©s soumises Ă  l’intĂ©gration sont affectĂ©es de trĂšs grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre application. 69. Maintenant, soient E et F deux Ă©vĂ©nements, contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera Ă  chaque Ă©preuve; dĂ©signons par p et q leurs probabilitĂ©s que nous supposerons constantes; appelons U la probabilitĂ© que dans un nombre pc d’épreuves, E arrivera un nombre m de fois, et F un nombre n de fois; nous aurons n" j 4 1 . 772 ‱ I . . . .fl 5 23 178 oĂč l’on devra faire RECHERCHES m + n = / U,, p + q = 1 . Or, si p., m, n, sont de trĂšs grands nombres, il faudra recourir Ă  la formule 5 pour calculer la valeur numĂ©rique de cette quantitĂ© U. En supposant chacun de ces trois nombres assez grand pour qu’on puisse rĂ©duire cette formule Ă  son premier terme, nous aurons . fi = p? S/27Ip. > 1 . . .m — jn m \ /ztfm, 1 - \. n ~ h" S/ 27 rn , et par consĂ©quent u = ^y wxJZEi, 6 \m / \ n J V iirmn 7 pour la valeur approchĂ©e de U. Il est facile d’en conclure que l’évĂ©nement composĂ© le plus probable, ou celui pour lequel cette valeur de U sera la plus grande, rĂ©pondra au cas oĂč le rapport des nombres m et n approchera le plus possible d’ĂȘtre Ă©gal au rapport des deux probabilitĂ©s p et q. En effet, si l’on considĂšre, au contraire, m et n comme des nombres donnĂ©s et p et q comme des variables dont la somme est l’unitĂ©, mais qui peuvent croĂźtre par degrĂ©s infiniment petits, depuis zĂ©ro jusqu’à l’unitĂ©, on trouvera, par la rĂšgle ordinaire, que le maximum de U rĂ©pond Ă  p = — et q — -. Mais vu le grand nombre des autres Ă©vĂ©nements composĂ©s, moins probables que celui-lĂ , sa probabilitĂ© sera nĂ©anmoins peu considĂ©rable et diminuera Ă  mesure que le nombre des Ă©preuves, que l’on suppose trĂšs grand, augmentera encore davantage. Par exemple, si l’on a p = q =^, et que soit un nombre pair, l’évĂ©nement composĂ© le plus probable re- pondra Ă  m= n =^; et d’aprĂšs la formule 6, sa probabilitĂ© U aura SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 1 79 ' pour valeur U = l/—; V KfA laquelle dĂ©croĂźtra, comme on voit, en raison inverse de la racine carrĂ©e du nombre /x. En prenant /x == i oo, on aura U = 0,07979, 1 — U = 0,92021; en sorte qu’on pourra parier un peu plus de 92 contre 8, qire dans 100 Ă©preuves, les Ă©vĂ©nements contraires E et F, tous les deux Ă©galement probables, n’arriveront pas nĂ©anmoins un mĂȘme nombre de fois. Si l’on eiit conservĂ© le second terme de la formule 3, cette derniĂšre expression de U se trouverait multipliĂ©e par 1 — ^ ; ce qui diminuerait U d’un 4uO e de sa valeur, dans le cas de fx — 100. 70. Non-seulement l’évĂ©nement composĂ© pour lequel les nombres m et n approchent le plus d’ĂȘtre entre eux comme les fractions p et q, est toujours le plus probable, mais dans un nombre /x d’épreuves, donnĂ© et supposĂ© trĂšs grand, les probabilitĂ©s des autres Ă©vĂ©nements composĂ©s ne commencent Ă  dĂ©croĂźtre rapidement que quand le rapport ℱ s’écarte de en plus ou en moins, au-delĂ  d’une certaine limite dont l’étendue est en raison inverse d e\/fx. En effet, prenons encore pour exemple le cas de /> = on aura, par la formule du binĂŽme n° 8, Ă  trĂšs peu prĂšs, et en prenant sous le radical, ft au lieu de — g, il en rĂ©sultera pour la loi du dĂ©croissement de la probabilitĂ© U, dans une petite Ă©tendue, de part et d’autre de son maximum. En faisant, par exemple, fX = 200, on en conclura que dans 200 Ă©preuves, la probabilitĂ© que les Ă©vĂ©nements E et F, dont les chances sont Ă©gales, auront lieu le premier io5 fois et le second 95 fois, est Ă  la probabilitĂ© qu’ils arriveront cha- I cun 100 fois, comme e 4 est Ă  l’unitĂ©, ou Ă  peu prĂšs, comme 3 est Ă  4. La formule 6 suppose que chacun des trois nombres /*, m, n, est trĂšs grand; cette condition Ă©tant remplie, et si le rapport — s’écarte beaucoup de cette formule donne pour U une valeur trĂšs petite relativement Ă  son maximum; mais il est bon d’observer que si l’on suivait une autre mĂ©thode d’approximation, la valeur toujours trĂšs petite de U que l’on trouverait, lorsque la diffĂ©rence ℱ ^ est une trĂšs petite fraction, pourrait 11e pas coĂŻncider avec celle qui se dĂ©duit de la formule 6, de telle sorte que le rapport de l’une de ces valeurs approchĂ©es Ă  l’autre pourrait diffĂ©rer beaucoup de l’unitĂ©. Pour le faire voir, j’observe qu’en vertu d’une formule qui se trouve SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 181 dans l’un de mes mĂ©moires sur les intĂ©grales dĂ©finies *, on a 1 . 2 . 3 . n x dx x cos m m . n y* Quels que soient les nombres m et n, et leur somme /x, on aura donc, d’aprĂšs l’équation 5,. cos'' x cos /n n x dx, dans le cas d e p — q z='~, qu’il nous suffira de considĂ©rer. Or, si fx est un trĂšs grand nombre, et si, dans un calcul d’approximation, on le traite comme un nombre infini, le facteur cos M x de dx sous le signe d’intĂ©gration, s’évanouira dĂšs que la variable x aura une grandeur finie; et l’autre facteur cos m — n x ayant toujours une valeur finie, il s’ensuit qu’on pourra, sans altĂ©rer la valeur de l’intĂ©grale, l’étendre seulement depuis x —o jusqu’à x — a. jgpn dĂ©signant par a une quantitĂ© infiniment petite et positive. Entre ces limites, on aura 1 , ** _ I /* cos x = i- x , cos x — e a 2 et, par consĂ©quent cos m — n x dx. O Mais actuellement, le facteur e a s’évanouissant pour toute valeur finie de a?, on peut aussi, sans altĂ©rer la valeur de cette nouvelle intĂ©grale, l’étendre au-delĂ  de x = a, et si l’on veut jusqu’à x = ce ; et comme on a, d’aprĂšs une formule connue, px _! „ J - - m a 1 ! e * cos m — n x dx =%/ — e , 0 * Journal de F École Polytechnique, 19 e cahier, page 4 go. 182 il en rĂ©sultera RECHERCHES U = m—» n* a f* Cela posĂ©, si l’on fait, comme plus haut, m—n = g y/^, cette valeur de U coĂŻncidera avec celle qui se dĂ©duit de la formule 6, seulement lorsque g sera un trĂšs petit nombre relativement Ă  vV; et pour d’autres valeurs de g, le rapport de l’une Ă  l’autre de ces deux valeurs de U diffĂ©rera beaucoup de l’unitĂ©, et pourra mĂȘme devenir un trĂšs grand nombre. En prenant, par exemple, g = ^ y/y. et m — n = la formule prĂ©cĂ©dente donne I On dĂ©duit de la formule 6 -jr'o-r C'+irv ou bien, Ă  cause que le second facteur est Ă  trĂšs peu prĂšs Ă©gal au troisiĂšme , il en rĂ©sulte Or, ces deux valeurs de U s’accordent en ce sens qu’elles sont toutes deux trĂšs petites, et quelles montrent, en consĂ©quence, que dans un trĂšs grand nombre d’épreuves, il y a une probabilitĂ© U extrĂȘmement faible que les deux Ă©vĂ©nements E et F, dont les chances sont Ă©gales, arriveront des nombres de fois ^ /Ă , et ^ //., ou dont l’un sera triple de l’autre. Mais si l’on divise la derniĂšre valeur de U par la pre- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. i83 miĂšre, on a /3 l 81 J ’ quantitĂ© qui croĂźt indĂ©finiment avec fx ,, et surpasse dĂ©jĂ  800 pour & = 100. 71. Supposons toujours les chances de E et F constantes, mais inconnues. On sait seulement que dans un nombre fx. ou m - n d’épreuves, E et F sont arrivĂ©s m fois et n fois. On demande la probabilitĂ© que dans un nombre jxJ ou m! +‱ n' d’épreuves futures, E et F arriveront m' fois et n! fois. En la reprĂ©sentant par U' ; dĂ©signant par P, le produit des i premiers nombres naturels, de sorte qu’on ait P, = .3 ... . i ; et faisant, pour abrĂ©ger , I 2 ‱ 3 ‱ ‱ ‱ ‱ ^ 1 . 2 . 3 .... m . 3 .... ri 9 nous aurons n° 46 U'=H Pm+m/ Pn-+.»/ P P P r m * n r Quels que soient m' et n', si m et n sont de trĂšs grands nombres, et que l’on rĂ©duise, comme plus haut, la formule 3 Ă  son premier terme, nous aurons P» — n n e " y/ 27 rn > les valeurs des autres produits P n + n ,, P„ + ,, etc., se dĂ©duiront de celle de P. en y mettant n-\-ri, fx-+- 1, etc., au lieu de n; et il en rĂ©sultera m a n*ft +f,'+ 1 * i84 RECHERCHES pour la valeur approchĂ©e de U', dans laquelle on a fait, pour abrĂ©ger, » / m+m'n + n'f* + 1 _ ^ * V mn y + y - t- i On peut aussi mettre cette expression de U' sous une autre forme Ă  cause de la grandeur de /a, on a, Ă  trĂšs peu prĂšs, par la formule du binĂŽme, O+ar-O+.-T? y+y' et ;i cause de pt! — m! -+- n', il en rĂ©sulte U '= HK +ÂŁ>" + Si m" et n' sont de trĂšs petits nombres par rapport Ă  m et n, on aura, ‱ Ă  trĂšs peu prĂšs, soit par la formule du binĂŽme n° 8, soit par la considĂ©ration des logarithmes; on aura Ă©galement, Ă  trĂšs peu prĂšs, fm + m'\ m ' /m\ m ' fn + ri\ /n\* f V y + y ~~\y ’ U + //~W ’ et l’on pojurra aussi remplacer le facteur K par l’unitĂ© dont il diffĂ©rera trĂšs peu. Par consĂ©quent, nous aurons '=» ”";' q 'U 'Jl En la comparant Ă  la formule 5, et dĂ©signant par V' la probabilitĂ© que deux Ă©vĂ©nements dont les chances seraient constantes et Ă©gales aux 2 4.. i8S RECHERCHES chances - et - des extractions d’une boule blanche et d’une boule noire C C a 1 origine des tirages, arriveraient des nombres de fois a' et b' dans un nombre c' ou a' - f- b' d’épreuves, on aura V = V' y/l-, ce qui montre que la probabilitĂ© V est plus grande que Y' dans le rapport de \/c h. \/ p, quel que soit le nombre c' de boules qui restent dans A aprĂšs les tirages, et pourvu seulement que le nombre p de boules qu’on en a tirĂ©es soit trĂšs grand. On peut remarquer que l’on a a' = p'c — p, b' = q'c — fi } de sorte que les nombres a' et U de boules des deux couleurs qui restent dans A, sont entre eux comme les probabilitĂ©s p' et q', ou comme les nombres a et b de pareilles boules que cette urne contenait primitivement. Si l’on a, par exemple, p' — q' = 7, et consĂ©quemment a' — b' = ÂŁ c', on aura n° 69 et Ă  cause de c' = c — p ,, il en rĂ©sultera V — ./_‱ — V Lorsque u.—\c, celte quantitĂ© a pour valeur V = i/i- = wĂ ; d’ou l’on conclut que quand une urne A renferme des nombres trĂšs grands et Ă©gaux, de boules blanches et de boules noires, et qu’on en tire la moitiĂ© de leur nombre total, sans y remettre les boules sorties, la probabilitĂ© d’amener autant de boules blanches que de boules noires, surpasse, dans le rapport de V / 2 Ă  l’unitĂ©, la valeur qu’elle aurait si l’on eĂ»t remis dans l’urne, la boule extraite Ă  chaque Ă©preuve. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 189 78. Je reviens actuellement au cas oĂč les chances p et q des deux Ă©vĂ©nements E et F sont constantes, et je vais considĂ©rer la probabilitĂ© que dans un nombre p, ou m-\-n d’épreuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. Cette probabilitĂ© sera la somme des m premiers termes du dĂ©veloppement de p + qY > ordonnĂ©e suivant les puissances croissantes de q; de sorte qu’en la dĂ©signant par P, on aura n° i 5 p = Y 1 + nf-'q . 4 - - 1 u—I + .... — \ . ..rf— A .. .n 8 -pf~ n q n ; mais sous cette forme, il serait difficile de la transformer en une intĂ©grale Ă  laquelle on puisse ensuite appliquer la mĂ©thode du n° 67 , lorsque m et n seront de trĂšs grands nombres. Cherchons donc d’abord une autre expression de P qui convienne mieux Ă  cet objet. On peut aussi dire que l’évĂ©nement composĂ© dont il s’agit consiste en ce que F n’arrivera pas plus de n fois dans les p, Ă©preuves. En le considĂ©rant de cette maniĂšre, je l’appellerai G. Il pourra avoir lieu dans les n - j- 1 cas suivants i°. Si les m premiĂšres Ă©preuves amĂšnent toutes l’évĂ©nement E; car alors, il ne restera plus que p — m ou n Ă©preuves qui ne pourront pas amener F plus de n fois. La probabilitĂ© de ce premier cas sera p m . 2 0 . Si les 772 —f— 1 premiĂšres Ă©preuves amĂšnent m fois E et une fois F, sans que F occupe le dernier rang, condition'nĂ©cessaire pour que ce second cas ne rentre pas dans le premier. 11 est Ă©vident que les n — 1 Ă©preuves suivantes ne pouvant amener F que n — 1 fois au plus, cet Ă©vĂ©nement n’arrivera pas plus de n fois dans la totalitĂ© des Ă©preuves. La probabilitĂ© de l’arrivĂ©e de m fois E et de une fois F, qui occuperait un rang dĂ©terminĂ©, Ă©tant p m q, et ce rang pouvant ĂȘtre les m premiers, il s’ensuit que la probabilitĂ© du second cas favorable Ă  G, sera mp m q. 3 °. Si les m-f-2 premiĂšres Ă©preuves amĂšnent m fois Eet deux fois F, sans que F occupe le deuxiĂšme rang, ce qui est nĂ©cessaire et suffisant pour que ce troisiĂšme cas ne rentre ni dans le premier, ni dans le second. La probabilitĂ© de l’arrivĂ©e de m fois E et de deux fois F, dans RECHERCHES >9° des rangs dĂ©terminĂ©s, serait p n q tm , en prenant deux Ă  deux les m-f- i premiers rangs pour y placer F, on a-Ăźmm-f-i combinaisons diffĂ©rentes; la probabilitĂ© du troisiĂšme cas favorable h G aura donc j m m -f- i p m q % pour valeur. En continuant ainsi, on arrivera enfin au /i+ i" m 'cas, dans lequel les pi Ă©preuves amĂšneront m fois E et n fois F, sans que F occupe le dernier rang, afin que ce cas ne rentre dans aucun des prĂ©cĂ©dents ; et sa probabilitĂ© sera m. m i ,m -f- 2. .. .m + n — i 1 . 2 . 3 ....n Ces n-f- i cas Ă©tant distincts les uns des autres, et prĂ©sentant toutes les maniĂšres diffĂ©rentes dont l’évĂ©nement G puisse avoir lieu, sa probabilitĂ© complĂšte sera la somme de leurs probabilitĂ©s respectives ĂŒ* io; en sorte que nous aurons + Ăź .m -f- 2 p m [ I -f- mq - f- I . f + ‱‱‱ 9 + i ,m + 2 ...m + — expression qui doit coĂŻncider avec la formule 8, mais qui a l’avantage de pouvoir se transformer aisĂ©ment en intĂ©grales dĂ©finies, dont les valeurs numĂ©riques pourront ĂȘtre calculĂ©es par la mĂ©thode du n° 67, avec d’autant plus d’approximation que m et n seront de plus grands nombres. 74. Pour effectuer cette transformation, j’observe qu’en intĂ©grant n __ 1 fois de suite par partie, et dĂ©signant par C une constante arbitraire, on aura x n n x n ~' x" 1 J 1 l+x'f f*— 1 I /“- 2 E+*/- a — —2... 1 fi — 1 . fi— 2 . fi —3.. .fi— n+i .fi—n , n Comme on a u > n , tous les termes de cette formule, exceptĂ© C, dis' paraissent quand x — 00 ; si donc on dĂ©signe par et une quantitĂ© SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, positive quelconque, ou zĂ©ro, on en conclura I 9 l / ,ĂŻ5 x n dx _ ** , n _ , —i , + *>*+ i4-“ 4 ~ A* — 1 +* * -1 fĂȘ— 27 + - — i .n— 2.. .2. i — — 2 ,ft — 3 ...ft — n-\ 1 a}/*— n Dans le cas de a = o, cette Ă©quation se rĂ©duit Ă  x n dx vf - J o t . n— 1. n —2.. . -f- x* +l et en divisant l’équation prĂ©cĂ©dente par celle-ci, et faisant, pour abrĂ©ger -—-3T=X, !+*/‱+' on obtient facilement f = ° J Xdx J a. _ i p. 0C 75. Appliquons d’abord la mĂ©thode du n°67 Ă  l’intĂ©grale / En appelant, comme dans ce numĂ©ro, h la valeur de oc qui rĂ©pond au maximum de X, et H la valeur correspondante deX, l’équation ^ = 0, qui servira Ă  dĂ©terminer h sera n{ 1 + h — 4 -f 1 h = o; d’ou l’on conclut n-m+ i m+ * h = m -h 1 ’ H; SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Si l’on fait, dans les Ă©quations 2, h* , 9 ĂŻ H =s , + f>r +i ’ et qu’aprĂšs avoir effectuĂ© les diffĂ©rentiations relatives ah, on y mette pour cette quantitĂ©, sa valeur prĂ©cĂ©dente, on en dĂ©duit k’ — \ / 2 *± In “ V m -f- i 3 ’ III _ 2 f* ~ 4 ~ 1 + n 1 — 3 m + 0 * ’ etc. ; efrorsque m, n, /x, seront de trĂšs grands nombres et du mĂȘme ordre de grandeur, il est aisĂ© de voir que ces valeurs des quantitĂ©s h ', h", h'", etc., formeront une sĂ©rie trĂšs rapidement dĂ©croissante, dont le premier terme h' sera du mĂȘme ordre de petitesse que la fraction > \ Vf* le second A" de l’ordre de - , h"' de l’ordre de etain- f* fcVf* si de suite. Cela posĂ©, nous aurons, pour la valeur en sĂ©rie de l’intĂ©grale donnĂ©e, f*Xdx=U\frh' + ~ h' etc., n 76. L expression formule 10 sera diffĂ©rente selon qu’on aura a > h ou a En considĂ©rant k comme une quantitĂ© positive, il faudra donc prendre 0 = k , lorsqu’on aura? >A,et 6 = — k, quand on aura ? h, et f"xdx=f^Xdx — HÆ , K 0 +3A W K,+ 5A'K, + etc. ^ +H 2 A"K 0 '+ 4A"K,' + 6A-K; h- etc., nr 1 p Ch]açtfpe des sĂ©ries contenues dans ces formules aura, en gĂ©nĂ©ral, le mĂȘme degrĂ© de convergence que la sĂ©rie 11 . Les valeurs des intĂ©grales dĂ©signĂ©es par K, ne pourront s’obtenir que par apprqxirçjq^on, lorsque k sera diffĂ©rent de zĂ©ro. Celles qui sont reprĂ©sentĂ©es par K/, s’exprimeront toujours sous forme finie, et l’on aura K',=e — l '’&*'+/ — 1 ,k*~ H - . .. 1 .. .2 ,k*-+ — 1 .. . 2 . 1 . Quand on aura a = k, les formules i3 et 14 devront coĂŻncider. En effet, on aura en mĂȘme temps q n _ n _ m - f- i P m- f-i ’ ^ + ' P “ + > ’ ce qui rendra nulle la valeur de k tirĂ©e de l’équation 12 . Il en rĂ©sultera K,= .2 i- \/jr 2 i+i » . I et d’aprĂšs l’équation 1 i,les formules i3 et 14 se rĂ©duiront l’une 25.. 196 et l’autre Ă  RECHERCHES /; Srfx = H -^ A- + '4 h"’+ V + etc. + H h" - f- 1 , >r — j— .h" - f- etc.. 77. Nous supposerons actuellement les nombres m, n, fi, assez grands pour qu’on puisse nĂ©gliger dans ces diffĂ©rentes formules, les quantitĂ©s h!", h' 1 , etc. D’aprĂšs les valeurs de h’ et h" donnĂ©es plus haut, on aura r V 1 4- n\/1 _ 3t/n m -f- 1 ; -f- i’ et au moyen de l’équation 10 et des formules 11, i5, i4, nous aurons J , w ~ ^$ * 6 ! X, P == f Ɠ e -’ dt + - ^ ± É^ —* ‱ \Z*rJ k 31 /trftmn P = I-^ \/ ir J & 3 y pinn h ou^ p , on aura h = 1 - > h. H- + 2* p Ce sera donc la premiĂšre Ă©quation i5 qu’il faudra employer; cette SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, formule et l’équation 12 deviendront 1/ >g j» 4- 2 2 ?^ + 0 log ^42 _ 2 /> l “+l’ ! t 7 et P exprimera la probabilitĂ© que dans un trĂšs grand nombre pair d’épreuves, l’évĂ©nement F le plus probable n’arrivera cependant pas plus souvent que l’évĂ©nement contraire E. En appelant U la probabilitĂ© qu’ils arriveront tous les deux le mĂȘme nombre de fois, P — U sera la probabilitĂ© que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de p — q = l , il est Ă©vident que P — U sera aussi la probabilitĂ© que E arrivera moins souvent que F; le double de P—-U, ajoutĂ© Ă  la probabilitĂ© U, donnera donc la certitude, ou, autrement dit, aP — U sera l’unitĂ©; d’oĂč l’on conclut u = 4- C e ~ i ' dt — 1 + 4=^ y/ tt J % \/ xp -k>. J et c’est, en effet, ce que l’on peut aisĂ©ment vĂ©rifier. En rĂ©duisant en sĂ©rie, on a / Al0 Srx7=-^ 1 °g 1 +i == - 1 V 4- .f *+2 ^+2 Io g^ =~+2 l °g i -^r 2 = T + et, par consĂ©quent, A* = h + 4 t* 40 + 2 4 - etc. donc en conservant seulement les termes du mĂȘme ordre de petitesse que la fraction nous aurons V f* k = —=, e~ k ' — 1. y/ip *,8 RECHERCHES Nous aurons, en mĂȘme temps, 4 / i=0 /.CO /.* , _ . e~°dt = / e~ l 'dt — / e~''dt — - yV-=; k J O ./O 2 V^ 2 J“ au moyen de quoi la valeur prĂ©cĂ©dente de U se rĂ©duira Ă  U = l/-; V m ce qui coĂŻncide, effectivement, avec celle que l’on dĂ©duit de la formule 6, dans le cas de m = n et p = q. j Si est un nombre impair, que l’on fasse m == j /*-*- i, et qu’on suppose toujours q > p, on aura encore^ > h ; la premiĂšre formule i5 et l’équation 12 deviendront P À* ‱?-= f e~ l 'dt \ /— e~ k ' l/* J k V ** * ft+ 3 V ft— 1 = V log 4 O + ' log + 3 *P /“ 4 0 ’ et P sera la probabilitĂ© que dans un trĂšs grand nombre p. d’épreuves, l’évĂ©nement le plus probable se prĂ©sentera cependant le moins souvent ; car p Ă©tant impair, le cas de l’égalitĂ© des arrivĂ©es de E et F sera impossible. Dans le cas de p — q = cette probabilitĂ© P devra ĂȘtre Ă©gale Ă  j; et c’est aussi ce que nous allons vĂ©rifier. Nous aurons f* — ilog'~ I A* -4 3 log /“-H P+3 >4» “f*-01ogl + ^= -2+^1 - elC -> .^+5logi-^= 2 + ^3 + etc., et, par consĂ©quent, À* = — 1 ft 4 3 -f- etc. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 199 En nĂ©gligeant, comme plus haut, le terme de l’ordre de petitesse de la fraction - , il en rĂ©sultera = e~ k ' = 1 , f e~ i 'dt — -\/7r * ’ J k 2 V — Ćž-"L. 1 1“ ce qui rĂ©duit Ă  j la valeur prĂ©cĂ©dente de P. 78. Supposons maintenant que le nombre n diffĂšre du produit + d’une quantitĂ©p, positive ou nĂ©gative, mais trĂšs petite par rapport Ă  ce produit. A cause de p - f- q = 1 et m - f- n = f*, on aura Ă  la fois n = p -f- 17 — p, m + 1 = h- +‱ ip - H p. La valeur correspondante de h sera h _ fc + iy —c “ *+,/>+,» et, par consĂ©quent, moindre que J, en regardant d’abord p comme une quantitĂ© positive. Si l’on dĂ©veloppe le second membre de l’équation 12 suivant les puissances de p, on trouve A* = [ + p—q f 2 0*+i^yL et, r Ă©tant une quantitĂ© positive, si l’on fait f = r V* ;* + i pq, etc. ; on en dĂ©duit = r[j + P — 9 r 3 l/a {/* + \pq -j- etc. ^J. En excluant le cas oĂč l’une des deux fractions pet q serait trĂšs petite, la sĂ©rie comprise entre les parenthĂšses, est trĂšs convergente, puisqu’elle procĂšde suivant les puissances de —, ou de En ne Vf* - f-i f* T 1 200 RECHERCHES conservant seulement que les deux premiers termes, et faisant, pour abrĂ©ger, P — ' En dĂ©signant par r’ une quantitĂ© positive, et prenant — r' V 2 /U. + ipq pour la valeur de p, celle de n sera n = fi - f- i q 4- r ' Va / * 6 et d’aprĂšs la signification de ces deux probabilitĂ©s P, il est aisĂ© de voir que R sera la probabilitĂ© que l’évĂ©nement F arrivera dans un trĂšs grand nombre fi d’épreuves, un nombre de fois qui n’excĂšdera pas la seconde valeur de n , et surpassera la premiĂšre au moins d’une unitĂ©. 79. Pour simplifier ce rĂ©sultat, soient N le plus grand mgpbre entier contenu dans uq, et f l’excĂšs de pq sur N; dĂ©signons par u , une quantitĂ© telle que u V2 /u-f- 1 pq soit un nombre entier/trĂšs petit par rapport Ă  N; et faisons ensuite q + f — r \/2 p + 1 p? = — v'a O + 1 pq — 1, q + / + d V* fi + T pq = u\/2fi - f- 1 pq. Les limites des valeurs de n auxquelles se rapporte la probabilitĂ© R, deviendront n = N — u \^2 fi -j- 1 pq — 1, n = N + u V2At- 1 pq; par consĂ©quent, la formule 16 exprimera alors la probabilitĂ© que n excĂ©dera au moins d’une unitĂ© cette premiĂšre limite, et ne surpassera pas la seconde, c’est-Ă -dire la probabilitĂ© que ce nombre sera contenu entre les limites N =p u V^fipq, Ă©quidistantes de N, et dans lesquelles on a mis fi au lieu de fi - f- », ou qu’il sera Ă©gal Ă  l’une d’elles. D’aprĂšs les Ă©quations qu’on vient de poser, et les expressions de f et cf', on aura r -f- = -f- e H- . _ _ r' — cf' = — s; f - h OW i Ă©tant une quantitĂ© de l’ordre de petitesse de la fraction —=. Or, ea 303 RECHERCHES dĂ©signant par v une quantitĂ© quelconque de cet ordre, dont on nĂ©gligera le carrĂ©, on a U+ V e~" clt e—dt — ve ~'; si donc on applique cette Ă©quation aux deux intĂ©grales contenues dans la formule 16, et si l’on fait r' = r, dans les termes compris hors du signe f, qui sont dĂ©jĂ  divisĂ©s par \/a, il en rĂ©sultera * R = Ăż l 'dt V e~u' } l l oĂč l’on a aussi mis, dans le dernier terme, f t au lieu de i . Si l’on eĂ»t voulu que l’intervalle des valeurs de n dont la probabilitĂ© est R, ne comprĂźt pas sa limite infĂ©rieure, il aurait fallu augmenter d’une unitĂ© la plus petite des deux valeurs prĂ©cĂ©dentes de n ; ce qui aurait fait disparaĂźtre le dernier terme 1 - — de la valeur ✓ aA*+i pq de r-j-cT, et, par suite, le dernier terme de la formule 17. De mĂȘme, pour que cet intervalle ne comprĂźt pas sa limite supĂ©rieure, on aurait dĂ» diminuer d’une unitĂ© la plus grande de ces deux valeurs de n; ce qui aurait diminuĂ© de — - - la valeur de r' — cf', et encore Vi{r+ipq fait disparaĂźtre le dernier terme de cette formule 17. Enfin, on devrait changer le signe de ce terme, si l’on voulait que l’intervalle des valeurs de n que nous considĂ©rons ne renfermĂąt ni l’une, ni l’autre, de ses deux limites. Il suit de lĂ  que le dernier terme de la formule 17 doit ĂȘtre la probabilitĂ© que l’on ait prĂ©cisĂ©ment n = N +* u s/zppq ; u Ă©tant une quantitĂ© positive ou nĂ©gative, telle que le second terme de n soit trĂšs petit par rapport au premier. C’est aussi ce qui rĂ©sulte de la formule 6. En effet, en nĂ©gligeant les quantitĂ©s de l’ordre de petitesse de la 0 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ao 5 fraction -, on aura d’oĂč l’on conclut ©'ÂŁ=- + J v/f - - * 0 -=\/f ? > ou, ce qui est la mĂȘme chose, -ƒXÏT—-‱O + ĂŻ y/?-»* 0 -} v 7 f - v/^-i»6 v/^]i or, en dĂ©veloppant ces logarithmes, et nĂ©gligeant toujours les ternies de l’ordre de - , on trouve—w*pour la valeur du second membre de cette f* Ă©quation ; par consĂ©quent, nous aurons et comme on a aussi, d’aprĂšs les Ă©quations prĂ©cĂ©dentes, mn ~ — m> la formule 6 deviendra U = — V 2itftpq ce qu’il s’agissait de vĂ©rifier. La premiĂšre valeur de P du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, Ă©tant la probabilitĂ© que le nombre n ne surpassera pas la limite fxq — r y/2/xpq , dans laquelle je mets fx au lieu de p. - f- i, il s’ensuit que si l’on fait u=r dans la valeur de U et qu’on la retranche ensuite de celle de P, la diffĂ©- 26.. RECHERCHES 204 rence P — U sera la probabilitĂ© que n n’atteindra pas cette mĂȘme limite. De mĂȘme, si l’on fait u = r' dans la valeur de U et qu’on la retranche ensuite de la seconde valeur de P du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, la diffĂ©rence P — U sera la probabilitĂ© que n sera au-dessous de la limite fxq-\-r \/2f/.pq. En appelant Q en Q' ces diffĂ©rences, on trouve dt + e~ 1 ' dt + g—g_ e-r* 3 y ixftpq ’ 3 \/ ixfipq — e~ . 8 On se rappellera que, dans ces formules, r et r' sont des quantitĂ©s positives, trĂšs petites par rapport Ă  \/fx; en sorte que les limites de n auxquelles ces probabilitĂ©s Q et Q' se rapportent diffĂšrent peu du produit pq , l’une en plus et l’autre en moins. En mĂȘme temps, les valeurs des quantitĂ©s T et cT' quelles renferment, seront trĂšs petites par rapport Ă  r et r'; et si l’on y met /a Ă  la place de fx - j- 1, on aura j, _ p — qj2 i jv _ p — 9 r \ 3 y i^pq 3 y ippq 80 . En divisant par fx les limites de n auxquelles se rapporte la formule 17, et ayant Ă©gard Ă  ce que U reprĂ©sente, on aura q — \J*ÂŁ 3 . pour les limites du rapport ^, dont la probabilitĂ© est R. Si donc, on nĂ©glige la fraction- , il en rĂ©sultera que cette quantitĂ© R, dĂ©terminĂ©e par la formule 17, est la probabilitĂ© que la diffĂ©rence ^ — q, se trouvera comprise entre les deux limites =F “V/’ qui seront aussi, en changeant leurs signes, avec la mĂȘme probabilitĂ©, celles de la diffĂ©rence ^ — p, puisque la somme - ~^ n — p— q, de ces deux diffĂ©rences, est Ă©gale Ă  zĂ©ro. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 20 5 On pourra toujours prendre u assez grand pour que cette probabilitĂ© R diffĂšre aussi peu qu’on voudra de la certitude. Il ne sera pas mĂȘme nĂ©cessaire de donner Ă  u une grande valeur pour rendre trĂšs petite la diffĂ©rence 1 — R il suffira, par exemple de prendre u Ă©gal Ă  quatre ou cinq, pour que l’exponentielle e~ u ' t l’intĂ©grale J' e~ 1 ’ dt } et par suite la valeur de 1 —R, soient presque insensibles. La quantitĂ© u ayant reçu une pareille valeur et demeurant constante, les limites de la diffĂ©rence — — p se resserreront de plus en plus Ă  mesure que le nom- P* bre p, qu’on suppose dĂ©jĂ  trĂšs grand, augmentera encore davantage; le rapport — du nombre de fois que E arrivera au nombre total des Ă©preuves, diffĂ©rera donc de moins en moins de la chance p de cet Ă©vĂ©nement; et l’on pourra toujours multiplier assez le nombre p des Ă©preuves, pour qu’il y ait la probabilitĂ© R que la diffĂ©rence —— p sera aussi petite qu’on voudra. RĂ©ciproquement, en augmentant continuellement le nombre p, si l’on prend pour chacune des limites prĂ©cĂ©dentes, une grandeur constante et donnĂ©e l, c’est-Ă -dire, si l’on fait croĂźtre u dans le mĂȘme rapport que vV> l a valeur de R approchera indĂ©finiment de l’unitĂ©; en sorte qu’on pourra toujours augmenter assez le nombre p des Ă©preuves, pour qu’il y ait une probabilitĂ© aussi peu diffĂ©rente qu’on voudra de la certitude, que la diffĂ©rence ^—p tombera entre les limites donnĂ©es de Z. C’est en cela que consiste le thĂ©orĂšme de Jacques Bernouilli, Ă©noncĂ© dans le n° 49 - 81. Dans le calcul prĂ©cĂ©dent, nous avons exclu n° 78 le cas oĂč l’une des deux chances petq est trĂšs petite, qui nous reste, en consĂ©quence, Ă  considĂ©rer en particulier. Je suppose que q soit une trĂšs petite fraction, ou que ce soit l’évĂ©- ment F qui ait une trĂšs faible probabilitĂ©. Dans un trĂšs grand nombre p d’épreuves, le rapport - du nombre de fois que F arrivera Ă  ce nombre p sera aussi une trĂšs petite fraction; en mettant p — nk la place de m dans la formule 9, faisant ao6 RECHERCHES et nĂ©gligeant ensuite la fraction -, la quantitĂ© contenue entre les parenthĂšses, dans cette formule, deviendra i + » + ^+'-=-3 +_- ~ ' 1 I .2 1 . .n En mĂȘme temps, on aura on pourra remplacer par l’exponentielle e ~ ", le premier facteur de cette valeur de p m , et rĂ©duire le second Ă  l’unitĂ©; par consĂ©quent, d’aprĂšs l’équation 9, nous aurons, Ă  trĂšs peu prĂšs, \ 1 . 2 . e ta 9 pour la probabilitĂ© qu’un Ă©vĂ©nement dont la chance Ă  chaque Ă©preuve est la fraction trĂšs petite - , n’arrivera pas plus de n fois dans un trĂšs grand nombre p d’épreuves. Dans le cas de n = 0, cette valeur de P se rĂ©duit Ă  e ~ “ ; il y a donc cette probabilitĂ© e~“ que l’évĂ©nement dont il s’agit n’arrivera pas une seule fois dans le nombre p d’épreuves, et consĂ©quemment, la probabilitĂ© 1-e - " qu’il arrivera au moins une fois, ainsi qu’on l’a dĂ©jĂ  vu dans le n° 8. DĂšs que n ne sera plus un trĂšs petit nombre, la valeur de P diffĂ©rera trĂšs peu de l’unitĂ©, comme on le voit, en observant que l’expression prĂ©cĂ©dente de P peut ĂȘtre Ă©crite sous la forme P= 1 I . . . R-f> I \ * A» n -f- 2 + » + ».R + 3 + elC Si l’on a, par exemple, co— 1, et qu’on suppose n=io, la diffĂ©rence 1 — P sera Ă  peu prĂšs un cent-millioniĂšme, de sorte qu’il est presque certain qu’un Ă©vĂ©nement dont la chance trĂšs faible est - Ă  chaque SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 207 Ă©preuve, n’arrivera pas plus de dix fois, dans le nombre fi d’épreuves. 82. L’intĂ©grale contenue dans la formule 17 se calculera, en gĂ©nĂ©ral, par la mĂ©thode des quadratures. On trouve Ă  la fin de Y Analyse des rĂ©fractions astronomiques de Kramp, une table de ses valeurs qui s’étend depuis u = o, jusqu’à u= 3 , et d’aprĂšs laquelle, on a e~ ‱* dt = 0*00001957729.. pour u — 5 . Au moyen de l’intĂ©gration par partie, on trouve 3 , la sĂ©rie comprise entre les parenthĂšses, sera suffisamment convergente, du moins dans ses premiers termes, et cette formule pourra servir Ă  calculer les valeurs de l’intĂ©grale. On a aussi et en dĂ©veloppant l’exponentielle e~ 1 ' suivant les puissances de t % , on aura u’ C -t* j. u , “ 5 1 e dt — u -=-f-— _ J o i .3 3 .7 -f-etc.; sĂ©rie qui sera trĂšs convergente pour les valeurs de u moindres que l’unitĂ©. Si l’on veut calculer la valeur de u pour laquelle on a R = ;, on fera usage de cette derniĂšre sĂ©rie; et d’aprĂšs l’équation 17 on aura u u* 773 u’ .2 5 1. 2 . 3 .7 -f- etc. = y s/it — e— u* 2 1 / 2 ftpq RECHERCHES 208 Eu dĂ©signant par a la valeur de u qui satisfait Ă  cette Ă©quation, abstraction faite du deuxiĂšme terme de son second membre, nous aurons ensuite u = a I 2 y/ inpq ’ aux quantitĂ©s prĂšs de l’ordre de petitesse de -. AprĂšs quelques essais, on trouve a = 0,47^5 pour la valeur approchĂ©e de a; d’oĂč il rĂ©sulte qu’il sera Ă©galement probable que la diffĂ©rence ℱ—p tombera en dehors ou en dedans des limites =to, 4 7 65 . Pour une valeur quelconque de u, il y a la probabilitĂ© R que la diffĂ©rence des deux quantitĂ©s ^— p et ^— q, aura pour limite le double de ± u \f^, si donc on a p =9 = ÂŁ, il y aura une probabilitĂ© Ă©gale Ă  ÂŁ que la quantitĂ© —-, sera comprise entre les limites h , f 0,6739 1 \ V ^ r’ par consĂ©quent, lorsque les Ă©vĂ©nements E et F ont la mĂȘme chance , il sera Ă©galement probable qne la diffĂ©rence m — n entre les nombres de fois qu’ils arriveront, surpassera 0,673g. \/fx —1, ou sera moindre, abstraction faite du signe. Ainsi, quand deux joueurs A et B jouent l’un contre l’autre Ă  jeu Ă©gal, un trĂšs grand nombre de parties, un million par exemple, il y a un contre un Ă  parier que l’un d’eux, sans dire lequel, gagnera 674 parties de plus que l’autre. C’est dans cette diffĂ©rence qui peut Ă©galement favoriser les deux joueurs, que consiste la part du hasard. Mais si, Ă  chaque partie, la chance p de A surpasse la chance q de B, il y SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 209 aura une probabilitĂ© R, toujours croissante avec le nombre p. , que A gagnera de plus que B, un nombre t up — q±iu\/2ppq ; et comme le terme p p — q, qui rĂ©sulte de la diffĂ©rence d’habiletĂ© des deux joueurs, croĂźt proportionnellement au nombre des parties, tandis que le terme ambigu croit seulement dans le rapport de la racine carrĂ©e de ce nombre, il s’ensuit que le joueur le plus habile, ou qui a le plus de chance Ă  chaque partie, finira toujours par l’emporter sur l’autre , quelque petite que soit la diffĂ©rence/? — q. 83 .Dans ce qui prĂ©cĂšde, nous avons supposĂ© connues les chances p et q des Ă©vĂ©nements E et F, et nous avons dĂ©terminĂ©, avec une grande probabilitĂ© et une grande approximation, les rapports — et -, quand le nom- bre u des Ă©preuves est trĂšs grand. RĂ©ciproquement, lorsque ces chances ne seront pas donnĂ©es Ă  priori, et que les rapports — et - auront Ă©tĂ© observĂ©s, les formules que nous avons trouvĂ©es feront connaĂźtre les valeurs trĂšs probables et trĂšs approchĂ©es des inconnues p et q. Ainsi, il y aura la probabilitĂ© R, donnĂ©e par la formule 17» que la chance p de E est comprise entre les limites — ± u \J Si R diffĂšre trĂšs peu de l’unitĂ©, la fraction p sera donc Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement Ă©gale Ă  —, et q Ă  en mettant donc — et - Ă  la place de p et q dans le p p ft ft r 11 terme ambigu de ces limites et dans le dernier terme de la formule 17, qui ont dĂ©jĂ  V/* pour diviseur, il en rĂ©sultera R — 4^ r°° er~“ dt + \J y sr J » — e ~ u% , 2 xmn 9 O9 pour la probabilitĂ© que la chance p de E est comprise entre les limites m u fimn b pyp' Lorsque m , n, p,, seront de trĂšs grands nombres, on pourra, en gĂ©nĂ©ral, se servir des valeurs approchĂ©es — et - de p et q , pour calculer la 27 210 RECHERCHES probabilitĂ© d’uu Ă©vĂ©nement futur, composĂ© de E et F ; par exemple, la probabilitĂ© de l’arrivĂ©e m' fois de E et n fois de F, dans un nombre p! ou de nouvelles Ă©preuves, pourvu que pt! soit trĂšs petit par rapport Ă  u ; et cela Ă©tant, si /x est nĂ©anmoins un trĂšs grand nombre , on pourra employer la formule 17 en mettant fx', —, -, au lieu de fx, p, q , dans cette formule et dans les limites auxquelles elle se rapporte, elle deviendra R = 1 dt - 4- ==. e~ u V/ 27 Tfl' 20 et elle exprimera la probabilitĂ© c^ue le nombre n' sera compris entre les limites * ft. n u ,—-,— — z+z - V2U mn, U 1 fA oĂč l’on a mis — au lieu du plus grand nombre entier contenu dans ce rapport. Quelque approchĂ©es que soient ces valeurs — et -de/? et q, fA fA comme elles ne sont que probables et non pas certaines, on n’en pourra plus*faire usage, ainsi qu’on l’a vu prĂ©cĂ©demment n° 71 , quand le nombre fx des Ă©preuves futures aura une grandeur comparable Ă  celle du nombre /x. C’est pourquoi, nous allons considĂ©rer d’une autre maniĂšre la question des chances p et q de E et F, dĂ©duites des Ă©vĂ©nements observĂ©s, et appliquĂ©es ensuite Ă  la probabilitĂ© des Ă©vĂ©nements futurs. 84. On suppose toujours que l’évĂ©nement observĂ© soit l’arrivĂ© m fois de E et fois de F, dans un trĂšs grand nombre /tou m - f- n d’épreuves, pendant lesquelles les chances p et q de E et F n’ont pas variĂ©. Il y aura alors, d’aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde, une’trĂšs grande probabilitĂ© que ces chances inconnues diffĂ©raient trĂšs peu des rapports — et - que l’on pourra prendre, en consĂ©quence, pour les valeurs approchĂ©es de p et q. Ces chances Ă©tant d’ailleurs susceptibles d’une infinitĂ© de valeurs croissantes par degrĂ©s infiniment petits, la probabilitĂ© d’une valeur exacte de p et de la valeur correspondante de q sera une quantitĂ© in- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. an finimefit petite, qu’il s’agira de dĂ©terminer, du moins pour chacune des valeurs de p et 9, qui s’écartent peu de - et - et que nous aurons seule- H" t* ment besoin de connaĂźtre. La quantitĂ© Q, dĂ©terminĂ©e par la premiĂšre formule 18, Ă©tant la probabilitĂ© que le nombre n est infĂ©rieur Ă  fiq — r\/’ elle est Ă©galement la probabilitĂ© que la chance inconnue q de l’évĂ©nement F, arrivĂ© n fois dans p Ă©preuves, est supĂ©rieure Ă  ^ + r y~- t ou bien Ă  -f. - \/ —2. en substituant dans le second terme de cette limite, Ă  la ^ fi V fi place de p et q, leurs valeurs approchĂ©es — et -. Si l’on met r— -dr au lieu de r dans cette formule, et que l’on conserve seulement les infiniment petits du premier ordre, Q— ^dr sera donc aussi la probabilitĂ© n r / a mn / 2mn dr , . dQ que q surpasse y —- y —— ; par consĂ©quent,— ^ex- primera la probabilitĂ© infiniment petite que l’on a prĂ©cisĂ©ment n , r /zmn = Z+ZVlT’ pour toutes les valeurs de r positives et trĂšs petfĂźes par rapport Ă  vV> comme le suppose l’expression de Q. De mĂȘme, la seconde formule 08 exprimera la probabilitĂ© Q' que la chance q est supĂ©rieure a2 — 2 ^2122 en y mettant r'-\-dd au lieu de r , on aura donc Q' + ^ dd pour la probabilitĂ© que la valeur de q surpasse - — - —22 — par consĂ©quent, dd sera la probabilitĂ© que q est supĂ©rieure Ă  la seconde limite sans l’ĂȘtre Ă  la premiĂšre, ou que l’on a prĂ©cisĂ©ment n r / = ï—*v- arnn 212 RECHERCHES r' Ă©tant aussi une quantitĂ© positive et trĂšs petite par rapport Ă  V/ 4 * Mais par les rĂšgles connues de la diffĂ©rentiation sous le signe f, e t en substituant — et - Ă  la place de p et q dans les derniers termes des for- J** ^ mules 18, on a dQ ^ f 1 - f- d '/' e-r+/*-j 2 n — m r dr V* V dr J n 3 1/ 2 Kftmn do; = -i=i f \ d ’fe-r-*-‱- 2 n — mr dr V * K dr J 3 V iTrftmn D’aprĂšs les valeurs de T et S 1 ', et en y faisant les mĂȘmes substitutions, on a aussi _ 2 m — ri r 1 _ 2 m — ri ri d r 3 j/ iftmn ’ dri 3 \/ ifimn ’ d ailleurs, en bornant, comme prĂ©cĂ©demment, l’approximation aux termes de l’ordre de petitesse de la fraction et nĂ©gligeant, en consĂ©quence, ceux qui ont [/. pour diviseur, nous aurons Ç — Cr+fJ* - e~ ’ ? = ? + V En les substituant dans la valeur de n, il vient n — u ' C 1 — ÂŁ' + ÂŁ' ‱ t t Les quantitĂ©s et Ă©tant de l’ordre de petitesse de la fraction —L ou — 1 =, on aura, en sĂ©ries trĂšs convergentes, Vf* Vf* '°s0 -ÂŁ = -ÂŁ-0-0-. d’oĂč l’on dĂ©duit ‱ - *’ = , + v 1 ' ='‱"- » 3m » e etc., t*'* 1 ',* in' 3 n' e etc. Mais Ă  cause du facteur U r de n', qui est dĂ©jĂ  de l’ordre de petitesse de j^r,'on pourra nĂ©gliger les quantitĂ©s de cet ordre dans les deux autres facteurs ; ce qui permettra de rĂ©duire toutes les exponentielles Ă  l’unitĂ©, Ă  partir de la troisiĂšme, dans chacun de ces 216 RECHERCHES deux produits. A ce degrĂ© d’appi'oximation, on aura donc n = U'e 2rrfn' Par la mĂȘme raison, on pourra nĂ©gliger le second terme de la formule 21; au moyen de quoi la formule 22 deviendra n '=7-; u '/ t 1 V , dv. Quoique cette intĂ©grale ne doive s’étendre qu’à des valeurs de v trĂšs petites par rapport Ă  Vp; si l’on observe qu’à raison du facteur exponentiel, le coefficient de dv sous le signe f devient tout- à—fait insensible pour les valeurs de v comparables Ă  y/f*» on en conclui’a que sans altĂ©rer sensiblement cette intĂ©grale, on peut l’éteudre Ă  de semblables valeui’s de v, et la prendi’e, comme nous le ferons effectivement, depuis v — — 00 jusqu’à v = 00 . Or, en mettant mh et nk au lieu de m' et n! dans la valeur de v /t on a imn v ' \Z-im n n cela Ă©tant, si l’on fait vy^i+Zi- Mft z= x, dv=.—^=^, y/ 2 m'ri 1 -f -h \/1 + h les limites de l’intĂ©grale l’elative Ă  la nouvelle variable x seront encore ± oc, et il en rĂ©sultera a’// * n' = — l=r U' e 2mVI+6 , 1 / 1 +h pour la probabilitĂ© qu’il s’agissait de dĂ©terminer. Dans le cas de a = o, on aui’a simplement 23 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 217 ce qui coĂŻncide, d’aprĂšs ce que U' reprĂ©sente, avec le rĂ©sultat qu’on a trouvĂ© d’une autre maniĂšre dans le n° 71. 186. Pour le second exemple de l’application des formules 21 et 22, nous supposerons que n' soit la probabilitĂ© que la diffĂ©rence ^ — - n’excĂ©dera pas la quantitĂ© —quelle devait atteindre f* f* Ćž f* dans l’exemple prĂ©cĂ©dent. La quantitĂ© ÜI sera en fonction des chances p et q de E et F, la probabilitĂ© que dans les p' Ă©preuves futures, F n’arrivera pas plus d’un nombre n ' de fois, Ă©gal Ă  — + a vV> et que E aura lieu f* un nombre m! de fois, au moins Ă©gal Ă  — — a \/i. Sa valeur sera donc donnĂ©e par l’une ou l’autre des formules 15, en y mettant p ', m, n , au lieu de p , m , n. Pour ces valeurs extrĂȘmes de m' et n', on aura —— aft ' \ m’+, m\ mny/ĂŻ' en bornant toujours l’approximation aux quantitĂ©s de l’ordre de petitesse de ou de D’aprĂšs les valeurs de p et q dn numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, on aura, en mĂȘme temps, == — C1 -J- v \J—\ ; m \ 1 V mn si donc on limite la variable v de maniĂšre qu’on ait v — — , selon m - 1 p ^ m 1 que la constante a sera positive ou nĂ©gative; par consĂ©quent, 28 RECHERCHES 218 dans le premier cas, nous aurons n = 1-~ r e-“dt {/* J k 2 ri+ri o—k 1 3 \A infini n' en vertu de la seconde Ă©quation i 5 , et dans le second cas, \/wJ k + 3 l/a wft’m’n' ’ eu vertu de la premiĂšre ; k Ă©tant une quantitĂ© positive donnĂ©e par l’équation 12, ou dont le carrĂ© est 4 k * = ri log - 7 + rri + 1 log 1 . Des valeurs extrĂȘmes de rri et ri, et de celles de p et q, qui doivent ĂȘtre employĂ©es les unes et les autres dans ces formules, il rĂ©sulte ri , m' 4 1 1 P=yir + -', en faisant, pour abrĂ©ger, ri/ Vri y fi riri+ 0 v. Cette quantitĂ© v' sera de l’ordre de - ; on aura donc, en sĂ©ries trĂšs VP convergentes, log}= logT^-; , ri + 0 v ' _ l ri + »* /* _ 1 ri+ QV 3 ri 2 n' 3 3 ri 6 etc., loe D — loe m + 1 - 4- + — I * , 1 ri-h QV 3 ^ ri- f-1 ^ m' 4-1 2 m' 4. 1* ’ 3 m'-f-i s etc., d’oĂč l’on dĂ©duit, au degrĂ© d’approximation oĂč nous nous arrĂȘtons, rifi'4y * 2m' ri 3 m' a ri* ! et ensuite . IJ I 2 rri — rik’ ~J SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, en ayant Ă©gard Ă  la valeur de v', et faisant, pour abrĂ©ger, 2, 9 a fi ^ iniri v f*W mn fit \/ fitiri ri A cause de la limite cju’on vient d’assigner Ă  v, cette quantitĂ© k! sera de mĂȘme signe que a; pour que la valeur de k soit positive, il faudra donc prendre le signe supĂ©rieur ou infĂ©rieur devant son expression, selon que a sera une quantitĂ© positive ou nĂ©gative. Le second terme de cette valeur de k sera aussi de l’ordre de petitesse de — Vf par consĂ©quent, nous aurons e~ l 'dt ± 2 m' rik'* e _ k .,' 3 ipt'm’ri En mĂȘme temps, les valeurs prĂ©cĂ©dentes de n deviendront n n V/ I Z '* 00 -=. I e~°dt - f- n J K I /' oĂŽ 7%f-^" d,+ in' l/ infini ri o-K' V infini ri A'*. et, eu vertu des formules ai et 22, les valeurs correspondantes de n' seront n' = f e~ v, dv —- r° f e- t, — v 'dtAv -{- 2W - f^'- V 'dv ĂżnJ n J k' J inpim'ri J _ , r , vrfp _ . r y 3 ]/ QTTftmn \J Ăż * J K J / 9 uri n' = - r° f’T V - V 'dtdv 4 - f n J —i J y/ infini ri J - a m -"L P fe - 3 n y/ iftmnJ — KJ dv Les exponentielles e ~ v ', er- t '— v ' t rendant insensibles les 38.. 220 RECHERCHES coefficients de dv sous les signes f, au-delĂ  de la limite assiguee Ă  v, il s’ensuit que sans altĂ©rer sensiblement les intĂ©grales relatives Ă  cette variable, on pourra les Ă©tendre, comme plus haut, depuis v = — oo jusqu’à v = oo . Soit, en outre, -4ÂŁ===fcC, -rf 0 rf„ *‱ J c J —oo 2n ' e - c ' + ^ - > + y>'dv V/ l’x^rriri J — + r r e-o'+^-i'+yy'sdWv, 3r\/ immn J C J — 00 ^=i r r e - * + i rj C J — oo 4- in _ Ç g — C' — iyCv—d + >' v 'd v m ri J — oo V/ 2 ^rrii -^=irr , - s — 3 ry iumn J C J — » 22 r SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. Les intĂ©grations relatives Ă  v s’effectueront sans difficultĂ© , en sorte que la probabilitĂ© 11' qu’il s’agissait de dĂ©terminer ne renfermera plus qu’une intĂ©grale simple relative Ă  0 . A cause de a = rfc S V imri la premiĂšre valeur de II' sera la probabilitĂ© que le nombre n' n’excĂš- dera pas — -f- ÂŁ \J -, qui surpasse trĂšs peu — , et sa seconde valeur exprimera la probabilitĂ© que n! n’excĂšdera pas n — — € ^/- m , n qui est un peu moindre que 87. On peut remarquer qu’à raison des limites dh 00 , relatives Ă  v, les deux premiĂšres intĂ©grales sont les mĂȘmes dans les deux valeurs de n', et la troisiĂšme est la mĂȘme au signe prĂšs. Il en rĂ©sulte qu’en appelant 'dWv ; ‱* j c J — » et cette quantitĂ© * yt f/ ^ = les limites relatives Ă  la nouvelle variable z seront toujours ±03, et nous aurons , —p = c f-j- - t/ ‹» jl m,n, f *i V l*i en dĂ©signant cette diffĂ©rence par z, on en dĂ©duira p,, jyr , v . V %mji K p p Tn et si ÂŁ est une petite fraction positive, et qu’il s’agisse de dĂ©terminer la probabilitĂ© que p, excĂ©dera p d’une quantitĂ© au moins Ă©gale Ă  e, il ne faudra donner Ă  la variable z que des valeurs positives qui ne soient pas moindres que Ă©. Cela posĂ©, les probabilitĂ©s infiniment petites des valeurs prĂ©cĂ©dentes de p et p,, seront Y dv et le coefficient V Ă©tant donnĂ© par la formule 21, et V, dĂ©signant ce que cette formule devient quand on y met m,, n,, v,, au lieu de ft, m, n, v. La probabilitĂ© du concours de ces deux valeurs sera le produit de V dv et V,dv t ; et si l’on appelle À la probabilitĂ© demandĂ©e, elle sera exprimĂ©e par une intĂ©grale double, savoir * = ff\V,dvdv,. Pour plus de simplicitĂ© je nĂ©gligerai le second terme de la formule 2 9 226 RECHERCHES 21; et il en rĂ©sultera X—-ÇÇe - v '- v * dvdv t . Si l’on veut substituer, dans cette intĂ©gration, la variable z Ă  c,, il faudra prendre pour dv x la diffĂ©rentielle de la valeur prĂ©cĂ©dente de v,, relative Ă  z; et, la variable p, Ă©tant ici supposĂ©e croissante, il faudra, pour que z le soit aussi, changer le signe de dv t ; en sorte que l’on aura On aura, en outre, dv x p 1 V/2 m,n, dz. V % - f V,* P a ft^m n\ %v t—z , *, 3 y/ mn m,n,ft\/ 2 fi , 3 2 m t n. L’intĂ©grale relative*Ă  v pourra s’étendre, comme dans les questions prĂ©cĂ©dentes, depuis p = — co jusqu’à v = 00. En faisant - - - - - - —— — _. — - ' tX 3 ft[/y im x n x y pĂŻmjii+itfmn dv = ^ y'fimji , dx » % les limites relatives Ă  la nouvelle variable x seront encore ± oc ; l’intĂ©grale relative Ă  z ne devra s’étendre que depuis z = jusqu’à z = 30 ; et comme on aura * n faisons aussi e — g, et non pas qu’on ait p, — p > t, ou p, — p = e. Dans le cas de g = cP, la quantitĂ© u est nulle, et les deux valeurs de A sont A= i, c’est-Ă -dire, qu’il y a un contre un Ă  parier que p, excĂšde p d’une quantitĂ© plus grande que J'. Les formules 26 serviront aussi Ă  calculer la probabilitĂ© que la chance inconnue p , surpasse une fraction donnĂ©e. Pour cela , ie fais, dans l’équation 25 , w * m _ ^ _ ni, ^ _ ft ’ ’ p= 30 » 29.. 228 RECHERCHES ce qui la change en celle-ci vVi . y' 2 m,n, Mais le nombre p Ă©tant supposĂ© infini, la chance p est certainement Ă©gale au rapport — ou Ă  la fraction ; par consĂ©quent, A est alors la H" probabilitĂ© qu’on ap, > g + a. En prenant, pour plus de simplicitĂ©, a au lieu de 6 -f- et mettant aussi p, m, n, Ă  la place de p, , m,, n„ on aura u r-l m\ u y p /*/ y/imn ' 3 7 et selon que la diffĂ©rence a -sera positive ou nĂ©gative, la pre- miĂšre ou la seconde formule 26 exprimera la probabilitĂ© que la chance inconnue d’un Ă©vĂ©nement arrivĂ© m fois, dans un trĂšs grand nombre p ou m + n d’épreuves, excĂšde la fraction donnĂ©e a>. 89. Afin de donner une application numĂ©rique des diverses formules qu’on vient d’obtenir, je prendrai pour exemple l’expĂ©rience de Buffon qui nous a dĂ©jĂ  servi dans le n° 5o. L’évĂšnement E sera alors l’arrivĂ©e de croix, et F l’arrivĂ©e de pile, dans une longue sĂ©rie de projections d’une mĂȘme piĂšce. D’aprĂšs cette expĂ©rience, on a eu m = 2048, =1992, p = pour les nombres de fois m et n que E et F sont arrivĂ©s dans le nombre pt, d’épreuves successives. En substituant ces nombres dans la formule 19 5 et prenant u = 2, on aura 2 y 7T dt — 0,00468, On tro en mĂȘme temps, R = o,99555. 0,50693 3= 0,02225, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 229 pour les limites de la valeur de p, auxquelles cette formule se rapporte ; en sorte qu’il y a la probabilitĂ©' o,g9555, ou Ă  trĂšs peu prĂšs 224 Ă  parier contre un, que la chance inconnue p de l’arrivĂ©e de croix, est comprise entre 0,48468 et o,52gi8. Si l’on veut connaĂźtre la probabilitĂ© qu’elle surpasse ^, ou que la chance de croix est supĂ©rieure Ă  celle de pile, on substituera les valeurs prĂ©cĂ©dentes de , m, n, dans la formule 27, et l’on y fera co = en prenant le signe infĂ©rieur, et par consĂ©quent la seconde formule 26, on aura m = 0,62298, A =o,8io43, 1—A = 0,18957; ce qui montre qu’il n’y a pas tout-Ă -fait cinq contre un Ă  parier que la chance de croix soit plus grande que L’expĂ©rience dont nous nous occupons peut ĂȘtre divisĂ©e en deux parties, l’une composĂ©e de 2048 Ă©preuves, l’autre en contenant 1992 ; dans la premiĂšre partie, croix a eu lieu 1061 fois et pile 987" fois ; dans la seconde partie, croix est arrivĂ© 987 fois et pile ioo5 fois or, d’aprĂšs le rĂ©sultat de l’expĂ©rience totale, et au moyen de la formule 24, on peut aussi calculer la probabilitĂ© que les nombres des arrivĂ©es de croix ou de pile ont dĂ» ĂȘtre compris entre des limites donnĂ©es, dans les deux expĂ©riences partielles. Pour cela, on fera, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle rĂ©pond, J — ^ — o, 5 o 6 9 3, ^ = ^=o,4 9 3o 7 ; , . , , m ' . n cest-a-dire que Ion y mettra pour les rapports -y et -7, qui ne sont pas censĂ©s connus, leurs valeurs approchĂ©es, rĂ©sultantes de l’expĂ©rience totale; ce qui est permis, attendu que m' et n' n’entrent que dans des termes qui sont de l’ordre de petitesse de On y mettra Vf* aussi pour f*le nombre total 4040. Relativement Ă  la premiĂšre partie 23 o recherches de l’expĂ©rience, on aura , en outre , fi ’ — 2048; et si l’on prend , comme plus haut, u = 3 , on trouvera ^ = 0,99558, pour la probabilitĂ© que le nombre n' des arrivĂ©es de pile a dĂ» ĂȘtre compris entre les limites 1001 =p79^ ce qui a eu lieu effectivement, puisque pile s’est prĂ©sentĂ© 987 fois dans cette premiĂšre partie. Relativement Ă  la seconde partie, on aura p ! = 1992; et en prenant toujours u = 2, on trouvera 956. Si l’on fait, par exemple, € = 0,02, il faudra prendre le signe infĂ©rieur, et faire usage de la seconde formule 26; on aura de cette maniĂšre = o, 11553, A = o,5658g, 1— A = 0,43411; de sorte qu’il y aurait Ă  peine quatre Ă  parier contre trois, que la chance de croix serait plus grande d’un cinquantiĂšme, dans la premiĂšre partie de l’expĂ©rience que dans la seconde. En faisant €=o,025, on devra prendre le signe supĂ©rieur et employer la premiĂšre formule 26 ; on aura alors = 0,10925, A = o,4386i, 1— A = o, 56 i 39; et il y aurait moins de un contre un Ă  parier, que l’excĂšs dont il s’agit surpasserait un quarantiĂšme. 90. Je placerai ici la solution d’un problĂšme, susceptible d’une application intĂ©ressante, et qui sera fondĂ©e sur les formules prĂ©cĂ©dentes et sur un lemme que je vais d’abord Ă©noncer *. Une urne A renferme un nombre c de boules, dont a boules blanches et b boules noires, de sorte qu’on ait a-i- b = c. On en extrait d’abord au hasard un nombre l de boules, successivement et sans les remettre, ou toutes Ă  la fois ; ensuite, on en extrait de mĂȘme * Depuis que la note de la page 61 est imprimĂ©e, on m’a fait remarquer que la proposition qu’elle renferme est comprise dans ce lemme, dont j’avais dĂ©jĂ  fait usage pour la solution du problĂšme du trente-et-quarante, citĂ©e Ă  la page 70. 232 RECHERCHES un nombre /m ou ra -f- n d’autres boules; je dis que dans cette seconde opĂ©ration, la probabilitĂ© d’amener ra boules blanches et n boules noires, est indĂ©pendante du nombre et de la couleur des boules sorties dans la premiĂšre, et la mĂȘme que si / Ă©tait zĂ©ro. En effet, supposons que l’on effectue les l - f- fM tirages successifs; soient i le nombre total des combinaisons diffĂ©rentes de /+ f* boules qui pourront arriver, i' le nombre de ces combinaisons dans lesquelles les iM derniĂšres boules se composeront de ra blanches et de n noires , /', le nombre de celles dans lesquelles ce seront les f i premiĂšres boules qui en renfermeront ra blanches et n noires ; la chance d’amener ra boules blanches et n boules noires, aprĂšs une extrac- tion de l boules quelconques , sera j , et la chance d’amener ra boules blanches et n boules noires, avant qu’aucune boule ait Ă©tĂ© extraite de A , aura j pour valeur; or, les deux nombres i' et i, sont Ă©gaux; car, en gĂ©nĂ©ra, une combinaison qui se compose de Z boules dĂ©terminĂ©es, suivies de ju boules aussi dĂ©terminĂ©es, et celle oĂč ces /m derniĂšres boules prĂ©cĂšdent, au contraire, les l premiĂšres, sont toutes deux Ă©galement possibles; et, en particulier, pour chaque combinaison dans laquelle les jm derniĂšres des boules extraites de A renferment ra blanches et n noires, il y a toujours une autre combinaison dans laquelle ce sont les u premiĂšres boules qui contiennent ces nombres de blanches et de noires, et rĂ©ciproquement. Lesfractions l - et j , et consĂ©quemment les probabilitĂ©s qu’elles expriment, sont donc aussi Ă©gales; ce qu’il s’agissait de dĂ©montrer. On peut vĂ©rifier cette proposition de la maniĂšre suivante. Les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans A Ă©tant a et b, la chance d’amener m boules blanches et n noires dans les m -f- premiers tirages, est une fonction de a , b, m , n, que je reprĂ©senterai par f{a, b , m, n. Celle d’amener g boules blanches et h noires dans les g-h b premiers tirages sera de mĂȘme f{a , b, g, h ; ces tirages ayant rĂ©duit ara — g et n — h, les nombres de boules blanches et dĂ©boules noires que A renferme , la chance d’en extraire ensuite m blanches et n noires dans ra+ ou /m nouveaux SUR LA PROBAbILITÉ DES JUGEMENTS. a& tirages, aura pour expression fa — g, b — h, m, n; le produit de ces deux derniĂšres fonctions sera donc la chance d’amener m boules blanches et n noires, aprĂšs avoir dĂ©jĂ  extrait de A, g boules blanches et h boules noires; par consĂ©quent, si l’on fait la somme des /-f- i valeurs de ce produit, qui rĂ©pondent Ă  toutes les valeurs entiĂšres ou zĂ©ro de g et h, dont la somme est l, on aura l’expression complĂšte de la chance d’amener m boules blanches et n noires, aprĂšs avoir extrait de A un nombre l de boules quelconques. Cela Ă©tant, il s’agira de faire voir que cette chance est indĂ©pendante de l, et Ă©gale Ă  Ja, b, m , n, c’est Ă -dire de montrer que l’on a jci,b, rn, n= t g,hJ{a—g,b — h, m, n ; la somme 2 s’étendant depuis g = o et h = /, jusqu’à g = L et / b if {a — g, b — h ’ ou, ce qui est la mĂȘme chose, / » b, g, h f a — g , b—h, m, n = i pm, n 3o € 254 RECHERCHES en supprimant le facteur , commun Ă  tous les termes de scs deux membres; et comme a et b sont des nombres quelconques, on y pourra, si l’on veut, mettre a-J-n et b-\~m au lieu de a et b; ce qui la changera en celle-ci a — g, b — h. Or, son premier membre est le coefficient de \ dans le dĂ©veloppement de {x -\-y c ' , son second membre est le coefficient de x a j l , dans le produit des dĂ©veloppements de x +j 1 et x ou dans le dĂ©veloppement de x-f-j- 1 , comme le premier membre; par consĂ©quent, les deux membres de cette Ă©quation sont identiques; ce qu’il s’agissait de vĂ©rifier. 91. Supposons actuellement que les nombres a, b, a — m, a—n , soient trĂšs grands; les valeurs approchĂ©es de ' r e - *0. En mettant pour m etn leurs valeurs prĂ©cĂ©dentes, cette formule devient ensuite \ /Ă»y7Vy r _ b'a—bc> ✓c -i -S \c*/ Vt»/ L 3ft*a'b* J 6 3o.. 236 On trouvera, de mĂȘme RECHERCHES a{c— H \ ~ m bc— n \ l -*r , 6 3 a - 6c , Ă» ^ ou bien, en faisant ] on aura, plus simplement J fi, h, m, n = H fi 4,' n t [/2 [ c — fifĂ©abc C* 2 9 Selon que le nombre ser% pair ou impair, la diffĂ©rence n—m sera aussi paire ou impaire. Si l’on dĂ©signe par i un nombre entier et positif, et qu’on reprĂ©sente l’excĂšs de n sur m par 2/ ou 2/— 1, l’expression correspondante de t devra ĂȘtre, d’aprĂšs ces Ă©quations 29,, t = 2t"ef y , en faisant, pour abrĂ©ger, c 5 A- ĂŻ^ac — ptuabc SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMElNTS. ĂŒ 5 7 et dĂ©signant par y l’une de ces deux quantitĂ©s a — b fie {a — l>fti 2 y/ 2 r — ft fiabc savoir la premiĂšre quand fi sera pair, et la seconde quand il sera impair. La formule 28, aprĂšs qu’on y aura substituĂ© celte valeur de t, exprimera donc la probabilitĂ© que dans les ft tirages successifs, le nombre des boules noires surpassera celui des boules blanches, d’un nombre d’unitĂ©s Ă©gal Ă  2 i ou 2/ — 1; consĂ©quent, si l’on y fait successivement r = 1, = 2, = 3 ,. . . jusqu’à ce que l’exponentielle e ~*’ soit devenue insensible, ou, si l’on veut, jusqu’à i = 00, et que l’on prenne ensuite la somme des rĂ©sultats ; cette somme sera la probabilitĂ© que dans ces fi tirages, le nombre des boules noires excĂ©dera celui des blanches, d’un nombre pair ou impair quelconque d’unitĂ©s. En la dĂ©signant par s, nous aurons 4 i s a — b c — 2 ] = 2H[i — s 3 \/2 c — pfiabc 2 indiquant une somme qui s’étend Ă  toutes les valeurs de t, comprise» depuis t = y - f- 2cf jusqu’à t — 00 , et croissantes par des diffĂ©rences constantes et Ă©gales Or, 2cf Ă©taiat, par hypothĂšse, une trĂšs petite fraction, la somme 2 pourra s’exprimer en sĂ©rie trĂšs convergente, ordonnĂ©e suivant les puissances de cette diffĂ©rence. En effet, si l’on reprĂ©sente par T la fonction de t contenue sous le signe 2, et si l’on observe que cette fonction et toutes ses diffĂ©rentielles s’évanouissent Ă  la limite t = ao, on aura, au moyen d’une formule due Ă  Euler, fc' kl, k"', etc., Ă©tant les valeurs de T, —, etc., qui rĂ©pondent k t = x y. D’aprĂšs les Ă©quations 29, on a d’ailleurs, au mĂȘme degrĂ© RECHERCHES 238 d’approximation que prĂ©cĂ©demment, t/*a — b 1/2 c — /xftabi , ^ , L _ N c—ftYab ic — fta — b \/2 {a — ni {b — n — -ÂŁ — t c — fi a — b ^ 2 c — fiftabc _ en ayant Ă©gard Ă  la valeur de T, il en resuite — H = —=rfi — l ~ a ~ ^ c — **> ' v/*- L . t/ 2 c — fi fiabc G- V/2xc — fifiabc. les termes dĂ©pendants de k', k" 1 , etc., Ă©tant multipliĂ©s par H dans l’expression de s , auront Ă©, etc., pour facteurs, et devront ĂȘtre nĂ©gligĂ©s; et Ă  cause de on conclura de ces diverses valeurs s = — r* e-dt — re->*, V*J y en faisant, pour abrĂ©ger, a — b c — Sfi 7-1-4 >* + 3c 3 _ r 6 2sr c— a* Soit ^ une quantitĂ© positive; selon que la quantitĂ© sera positive ou nĂ©gative, prenons v = zhy; Ă  cause de e~dt, e~°dt SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, nous aurons finalement a5 9 5 ° la premiĂšre valeur de s ayant lieu quand on a y o. En faisant t = y dans la formule 28, et dĂ©signant le rĂ©sultat par cr, on aura 50 iw c — fi fiabc ’ pour la probabilitĂ© que dans le nombres de tirages, les nombres m et n de boules des deux couleurs seront Ă©gaux entre eux, et Ă  la moitiĂ© de p; ce qui n’est possible que quand p est un nombre pair. 92. AprĂšs avoir extrait p boules de A, supposons que l’on en extraie p' autres, puis p" autres, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait Ă©puisĂ© le nombre c de boules que cette urne renferme, de sorte qu’on ait c = P + P' + p" + f*'" -t- etc. ; supposons, de plus, que chacun de ces nombres p', p", etc, soit trĂšs grand , ainsi que p; et dĂ©signons par s’, /' ,etc., ce que devient j, en y mettant successivement p', p", etc., au lieu de p, et faisant usage de la premiĂšre ou de la seconde formule 5o, selon qu’à l’origine des tirages, le nombre b des boules noires sera plus grand ou plus petit que le nombre a des boules blanches , contenus l’un et l’autre dans A ; ce qui rendra la quantitĂ© y nĂ©gative ou positive. D’aprĂšs le lemme du n° go, les chances d’amener plus de boules noires que de blanches, dans ces tirages successifs des nombres de boules p, p', p", etc., seront les quantitĂ©s s, s', s", etc.; eu sorte quelles ne varieront qu’à raison de l’inĂ©galitĂ© de p, p', p", etc., et seraient toutes Ă©gales, si ces nombres Ă©taient Ă©gaux. Soit r la moyenne des valeurs ' de s, s', s", etc., c’est-Ă -dire, r =-s+ /+ s " + etc, r4o RECHERCHES en reprĂ©sentant par a. le nombre total des tirages. Si Ton suppose encore que a soit trĂšs grand, et si l’on appelle j le nombre de ces a tirages dans lesquels les boules noires excĂ©deront les blanches, la probabilitĂ© que j se trouvera compris entre des limites donnĂ©es, sera la mĂȘme, en vertu de la premiĂšre proposition du n° 52 , que si toutes les chances s , s', s", etc., Ă©taient Ă©gales entre elles et Ă  leur moyenne r. Par consĂ©quent, en mettant a, r, i — r, au lieu de a, q , p , dans la formule 17, nous aurons R = 1- - - f e~'dt H- - e ~ u ', \/ ir J u \/ nrar{ 1 — r pour la probabilitĂ© que le nombre j sera contenu entie ar us/zar 1 — r , ou Ă©gal Ă  l’une d’elles; u Ă©tant un petit nombre par rapport k \ u. Telle est la solution du problĂšme que nous nous proposions de rĂ©soudre. L’application dont elle est susceptible sc rapporte aux Ă©lections des dĂ©putĂ©s dans un grand pays, comme la France, par exemple. Voici en quoi elle consiste. Le nombre des Ă©lecteurs, dans la France entiĂšre, est reprĂ©sentĂ© par c; celui des Ă©lecteurs qui ont une opiniou, par a; celui des Ă©lecteurs de l’opinion contraire, par Z» ou c — a. On partage le nombre total c en un nombre a de collĂšges Ă©lectoraux, dont chacun Ă©lit un dĂ©putĂ©, de telle sorte que le dĂ©putĂ© Ă©lu dans un collĂšge soit de la seconde on de la premiĂšre opinion, selon que le nombre des Ă©lecteurs appartenant Ă  l’une ou Ă  l’autre y sera prĂ©pondĂ©rant. Cela Ă©tant, on demande la probabilitĂ© R que le nombre j des dĂ©putĂ©s qp appartiendront Ă  la seconde opinion, sera compris entre des limites donnĂ©es, en supposant que le partage des Ă©lecteurs en un nombre a de .colleges, soit fait au hasard, c’est-Ă - dire en supposant qu’on prenne au hasard sur la liste gĂ©nĂ©rale, un nombre p d’électeurs pour former un premier collĂšge, un nombre p' pour former un second collĂšge, un autre nombre p'' pour SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 24 1 en former un troisiĂšme, etc. ; et si l’on prend pour les limites de j celles que l’on vient d’écrire, la probabilitĂ© demandĂ©e R s’exprimera par la formule prĂ©cĂ©dente. Quoique chaque collĂšge Ă©lectoral se compose des Ă©lecteurs d’un mĂȘme arrondissement, et non pas d’électeurs pris au hasard sur la liste gĂ©nĂ©rale, ainsi que nous le supposons, il peut ĂȘtre utile cependant de savoir ce qu’il arriverait dans cette hypothĂšse; c’est ce que nous allons montrer par des exemples. {93. En France, le nombre des collĂšges Ă©lectoraux, Ă©gal Ă  celui des dĂ©putĂ©s, est 4^9» et l’on peut Ă©valuer Ă  environ 200000 le nombre total des Ă©lecteurs. Je supposerai que tous les nombres ft, /, etc., soient Ă©gaux; en prenant pour p un nombre impair, je ferai a = 4 5 9> f* = 4 35 > c = ap= 199665. Je supposerai aussi qu’on ait a = 94835, b — io483o; de sorte que la diffĂ©rence entre la majoritĂ© et la minoritĂ© soit Ă  trĂšs peu prĂšs le vingtiĂšme du nombre total des Ă©lecteurs. La quantitĂ© y sera nĂ©gative; on fera donc v = — y; en prenant la seconde des deux valeurs de y du n° 91, il en rĂ©sultera = 0,77396, -~r f e—'dt = 0,1 3684 V V J u et, en vertu de la premiĂšre formule 3o, on aura s = 0,85426, 1 — s= o,i 4574- La chance d’une Ă©lection dans le sens de la majoritĂ© des Ă©lecteurs surpasserait donc fj; et la minoritĂ©, quoiqu’elle ne diffĂšre pas beaucoup de la majoritĂ©, ne pourrait guĂšre espĂ©rer d’élire plus des des dĂ©putĂ©s. En mettant ces valeurs de s et 1 — s Ă  la place de ret 1 — r dans l’expression de R du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, 3i 242 RECHERCHES faisant a = 4^9» et prenant u = 2, ou trouve R = 0,99682', pour la probabilitĂ© que le nombre des dĂ©putĂ©s Ă©lus par la majoritĂ©, serait compris entre les limites 3g2 ^=21, et ceux de la minoritĂ© entre les nombres 67 ±21. L’amplitude de ces limites est considĂ©rable relativement au nombre a, parce que a n’est pas extrĂȘmement grand. Je suppose toujours que la diffĂ©rence b — a soit Ă  peu prĂšs le vingtiĂšme de c ; mais je prends pour fx un nombre pair. Je fais, en consĂ©quence, a — 4^9, p = 436, c = afJL = 200124, et, en outre, a = g5o64, b = io5o6o. On aura toujours v = — y ; mais il faudra prendre pour y la premiĂšre valeur du numĂ©ro 91. De cette maniĂšre, on trouvera 1 r e = 0,74006, —^ / e~ l 'dt = 0,14764; y * J v et il en rĂ©sultera s = 0,84279, 1 —s = 0,15721. Mais p Ă©tant un nombre pair, le cas de m = n est possible; d’aprĂšs la formule ^3i, sa chance est a = 0,02218; et si l’on en ajoute la moitiĂ© Ă  la valeur de s, on a s = o,85388; quantitĂ© trĂšs peu infĂ©rieure Ă  celle qui a lieu quand f* est impair. Afin de montrer l’influence de l’inĂ©galitĂ© des nombres d’électeurs SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 245 dans les diffĂ©rents colleges, je supposerai que la moitiĂ© du nombre total des Ă©lecteurs soit rĂ©partie Ă©galement dans le tiers des collĂšges, et l’autre moitiĂ© dans les deux autres tiers. Pour appliquer les formules prĂ©cĂ©dentes au premier tiers, je ferai alors i=i 55, f* = 654, ji= 100062; et, pour les appliquer aux deux derniers, ja=3o6, fx= 327, 3 af* = 100062. Je supposerai, en outre, a =g5o6;?, b= io5oÔ2, c = 200124; de maniĂšre que la diffĂ©rence entre la majoritĂ© et la minoritĂ© soit toujours Ă  peu prĂšs un vingtiĂšme du nombre total des Ă©lecteurs. Dans le premier cas, oĂč f* est un nombre pair, on trouve s = 0,89429, = 0,01376, s - f- i o" = 0,90 Ăź 17; dans le second, oĂč p est impair, on obtient s = 0,81981 ; il en rĂ©sulte donc r = j 0,90117 + 0,81981 = 0,86049, pour la chance moyenne d’une Ă©lection dans le sens de la majoritĂ©; laquelle surpasse un peu, comme on voit, celle qui a lieu quand tous les collĂšges sont composĂ©s d’un mĂȘme nombre d’électeurs. Lorsque la diffĂ©rence b — a entre la majoritĂ© et la minoritĂ© vient Ă  augmenter, la chance des Ă©lections dans le sens de la minoritĂ© diminue trĂšs rapidement, de telle sorte qu’elle est bientĂŽt presque nulle. Pour le faire voir, je suppose les Ă©lecteurs rĂ©partis en nom- 3i.. 2 44 RECHERCHES bres Ă©gaux dans tous les colleges; je prends pour a, jx, c, les mĂȘmes nombres que dans le premier exemple ; et je fais, en outre, a = 8 g 835 , b= 109830; ce qui rend la diffĂ©rence b — a Ă  trĂšs peu prĂšs le dixiĂšme du nombre c, et double de ce qu’elle Ă©tait dans cet exemple. Je trouve alors 5 = 0,98176, 1 — 5 = 0,01824; en sorte que la chance d’une Ă©lection dans le sens de la minoritĂ© n’est plus que d’à peu prĂšs un soixantiĂšme. A cause de la petitesse de s, c’est Ă  la formule du n" 81 qu’il faudra recourir pour dĂ©terminer la probabilitĂ© P que le nombre de fois qu’une telle Ă©lection aura lieu dans le nombre total des collĂšges Ă©lectoraux, ne surpassera pas un nombre donnĂ© n. En faisant, dans cette formule , oĂč = a 1 — 5 = 8,3715, n = i 5 , on en dĂ©duit P = 0,98713 , 1 — P = 0,01287 ; ce qui fait voir qu’il y aurait Ă  peu prĂšs cent Ă  parier contre un que la minoritĂ© n’élira pas plus de i5 dĂ©putĂ©s. En Ă©levant la diffĂ©rence entre la majoritĂ© et la minoritĂ© Ă  3oooo, c’est-Ă -dire aux trois vingtiĂšmes du nombre total des Ă©lecteurs, on trouve que la chance 1 — 5 s’abaisserait au-dessous d’un milliĂšme, et qu’il serait fort probable que la minoritĂ© n’élirait pas un seul dĂ©putĂ©. S’il en Ă©tait ainsi, le gouvernement reprĂ©sentatif 11e serait plus qu’une dĂ©ception, puisqu’une minoritĂ© de 90000 sur 200000 Ă©lecteurs ne serait reprĂ©sentĂ©e que par un trĂšs petit nombre de dĂ©putĂ©s, et qu’une minoritĂ© de 85ooo n’aurait plus qu’une trĂšs faible chance d’avoir un interprĂšte dans la chambre Ă©lective. Il suffirait que dans l’intervalle de deux sessions, trois vingtiĂšmes de la totalitĂ© des Ă©lecteurs changeassent d’opinion, pour que la chambre entiĂšre passĂąt de la SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 24 ^ droite Ă  la gauche, d’une opinion Ă  l’opinion contraire. Mais les Ă©lecteurs dont chaque college est composĂ© ne sont pas pris au hasard, comme notre calcul le suppose, sur la liste des Ă©lecteurs de toute la France; et dans chaque arrondissement, l’opinion prĂ©pondĂ©rante se forme et se maintient par des causes particuliĂšres, telles que les intĂ©rĂȘts de la localitĂ©, l’influence du Gouvernement et celle de quelques citoyens. Toutefois, il Ă©tait bon de signaler l’extrĂȘme mobilitĂ© que le hasard pourrait produire dans la composition de la chambre Ă©lective, pour de trĂšs petits changements dans la proportion des Ă©lecteurs qui ont une opinion et de ceux qui appartiennent Ă  l’opinion contraire. 246 RECHERCHES v\> vvn u\wv\\wwv\^wsm\>\w\\\wwv\>ww vvvv\uv\wu\\vn\\>\V'\\w\+q % = 1,... p^+q^i— 1. Appelons U la probabilitĂ© que E et F arriveront suivant un ordre quelconque, m fois et n fois. D’aprĂšs la rĂšgle du n° 20 , U sera le coefficient de u m o“ dans le dĂ©veloppement du produit up, -h vq Y up t + vqj. .. i up f + vq^ . Or, si l’on fait u = e?ƾ—' f v=e~ X V—> f le terme U"V" de ce produit deviendra Ue m ~ n x V—' f et tous les autres termes renfermeront des exponentielles diffĂ©rentes de e m — n *V— d’oĂč l’on conclut qu’en dĂ©signant ce produit par X, en le multipliant, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. ’ 247 ainsi que son dĂ©veloppement, par e~ - n x V '~ 1 dx , et intĂ©grant ensuite depuis x = — jusqu’à x = 7 T, tous ces autres termes disparaĂźtront, et l’on aura simplement [" Xe — m — ^ = 27rU ; ce qui rĂ©sulte de ce que si i et V exprimant deux nombres entiers, positifs, nĂ©gatifs ou zĂ©ro, dont le premier sera i =zm — n , on aura ƾ—>dx=zJ' [ cosj'-t'.r-f- smi'-ix \/— i~\dx~ o, quand i et i' diffĂ©reront l’un de l’autre, et, en particulier, e ixV—' dx = 27 r, dans le cas de i' = i. Nous aurons, en mĂȘme temps, u Pi + V ii — cos x - f- p, — q t sinxy/—1 ; et si nous faisons cos 1 x + p, — qtfsln'x = p,', il y aura un angle rĂ©el r if tel que l’on ait — cos x = cos r„ H ’ q, sin Æ , =sinr j ; d’oĂč il rĂ©sultera up t + vq, = f> t . Le signe fi sera ambigu ; pour fixer les idĂ©es, nous regarderons cette quantitĂ© comme positive. En faisant, pour abrĂ©ger, P./ = Y > , ’>+ r »+ / a+-‱ ‱ +r fl —Tt \ 248 ‱ RECHERCHES le produit dĂ©signĂ© par X deviendra X = Ye>Ćž~; et nous aurons, en consĂ©quence, U = — Ç Y cos [j-—m — nx\dx- 1 -——-T Y sin [> — m — nx]dx. Pour des valeurs de x Ă©gales et de signes contraires, lesvaleursde le seront aussi, et celles de p, seront Ă©gales ; par consĂ©quent, la seconde intĂ©grale dĂ©finie s’évanouira, comme Ă©tant composĂ©e d’élĂ©ments deux Ă  deux Ă©gaux et de signes contraires; et cela devait ĂȘtre, en effet, puisque U est une quantitĂ© rĂ©elle. Pour des angles x supplĂ©ments l’un de l’autre, les angles r t le seront Ă©galement, d’aprĂšs les expressions de cosr, et sinr,; la somme des deux valeurs de y — m — nx qui leur correspondront, sera donc pi7r — m — ou imr, et consĂ©quemment le cosinus de jr — m — rix ne changera pas il en sera de mĂȘme Ă  l’égard des valeurs de Y ; en sorte que les Ă©lĂ©ments de la premiĂšre intĂ©grale dĂ©finie, correspondants Ă  x et w — x > seront Ă©gaux, aussi bien que ceux qui rĂ©pondent Ă  a et — x. En supprimant donc la deuxiĂšme intĂ©grale, rĂ©duisant les limites de la premiĂšre Ă  zĂ©ro et -j tt, et quadruplant le rĂ©sultat, nous aurons simplement U = Y cos[^— m — nx\dx. i L intĂ©gration indiquĂ©e s’effectuera toujours sous forme finie, parles rĂšgles ordinaires. Mais quand ^ ne sera pas un grand nombre, cette formule ne pourra ĂȘtre d’aucune utilitĂ© pour calculer la valeur de U; quand, au contraire, ce nombre sera trĂšs grand, on dĂ©duira de cette formule, comme on va le voir, une valeur de U aussi approchĂ©e qu’on voudra. 95 . Chacun des facteurs de Y se rĂ©duit Ă  l’unitĂ© pour x = o, et est moindre que l’unitĂ© pour toute autre valeur de x, comprise / 4 - SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 349 dans les limites de l’intĂ©gration ; il s’ensuit que ^uand /a. sera un trĂšs grand nombre, ce produit sera gĂ©nĂ©ralement une trĂšs petite quantitĂ©, pour toutes les valeurs de x qui ne seront pas trĂšs petites, et que Y' s’évanouirait, pour toutes les valeurs finies de x , si /x devenait infini. Il n’y aurait d’exception que si les facteurs de Y convergeaient indĂ©finiment vers l’unitĂ©; car on sait que le produit d’un nombre infini de semblables facteurs, peut avoir pour valeur une quantitĂ© de grandeur finie. A cause de sin\r cette circonstance supposerait que l’une des chances des deux Ă©vĂ©nements E et F, ou leur produit p,q lf dĂ©crĂ»t indĂ©finiment pendant la sĂ©rie des Ă©preuves. En excluant ce cas particulier, on pourra donc, dans le cas oĂč fx est un trĂšs grand nombre, considĂ©rer la variable x comme une trĂšs petite quantitĂ©, et nĂ©gliger la partie de l’intĂ©grale prĂ©cĂ©dente, qui rĂ©pond aux autres valeurs de x. de l’intĂ©grale prĂ©cĂ©dente, qui rĂ©pond En dĂ©veloppant alors suivant les puissances de x *, on aura, en sĂ©rie trĂšs convergente, Fi = 1 — *PiqtX + 7 pfH — — etc., et, par consĂ©quent, lo g fi = — ipfh*' + f Pfl, — ^P'qt x * A — etc.; d’oĂč l’on conclut logY == — fxk % x % - f* fx j k* — k u x* — etc., en faisant, pour abrĂ©ger, l’Zptli = 4 2 />iV = pk'\ etc., et Ă©tendant la somme 2 depuis aussi Si l’on fait Z 3a RECHERCHES a 5 o que l’on considĂšre la nouvelle variable z comme une quantitĂ© trĂšs petite par rapport Ă  VV > et qu’on nĂ©glige les quantitĂ©s de l’ordre de petitesse de -, il en rĂ©sultera Y = D’api’ùs les valeurs de p, et de sinr,-, on aura de mĂȘme n = Pt — Ptqi= h - En conservant seulement les quantitĂ©s de l’ordre de petitesse de on en dĂ©duira d’abord z'h y = z p — q W + —r =, et ensuite cos[7 — m — nx ]=cos zg VT*— sin zg V/*, V,“ oĂč l’on fait, pour abrĂ©ger, ‱ m / n\ P*-ĂŻ-\5-ĂŻ = 6' Je substitue ces valeurs de Y et cos [y — ni — 7ix] dans ^ a ^ or " SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 25 l mule i , et j’y mets -d— dz au lieu de dx; il vient Vf* ĂŒ = cos Z S v/ ^ t -^ f s5n z & vW s J- Le cas oĂč les valeurs de p t et q t dĂ©croĂźtraient indĂ©finiment ayant Ă©tĂ© exclu, k % ne peut ĂȘtre une trĂšs petite quantitĂ©; pour des valeurs de z comparables Ă  s/p, l’exponentielle er~ k ' s ' sera donc insensible ; et quoiqu’on ne doive donner Ă  cette variable que des valeurs trĂšs petites par rapporta s/p, on pourra maintenant, sans altĂ©rer sensiblement l’intĂ©grale, l’étendre au-delĂ  de cette limite, et la prendre, si l’on veut, depuis z= ojusqu’à z=oo . D’aprĂšs une formule connue, on aura alors / Me' e —k’f C os zg vV dz — e ^ k ' > en diffĂ©rentiant successivement par rapport Ă  g et Ă  k, on en dĂ©duit _ MS 2 n zg VÏJz=S^f. 5 + f 6 et au moyen de ces valeurs, celle de U devient fig* f4g* U - **— 3 + ?Ç\e~\ k^iru liPĂżrfi V 2 k 2 / —— A raison de l’exponentielle e , cette probabilitĂ© sera insensible dĂšs que g ne sera pas de l’ordre de la fraction -L-j-mais Ă  cause de Vf* P + 9 = i et m-\- n = ft, cette quantitĂ© g ne peut ĂȘtre de cet ordre de petitesse, Ă  moins que cela n’ait lieu sĂ©parĂ©ment pour p — — etq — ~, A* A* qui sont d’ailleurs des quantitĂ©s Ă©gales et de signes contraires; si donc 3a.. 252 on fait RECHERCHES m ki n k& _ 2 kS p - T = ~ v%' q ~ Ă« ~Vï’ . la probabilitĂ© U n’aura de valeurs sensibles que pour des valeurs de 0, positives, nĂ©gatives ou zĂ©ro, ruais trĂšs petites par rapport Ă  yV, et il en rĂ©sultera finalement u = n 75 e -^ 3 + ^ e -*‱‱ W pour la probabilitĂ© que les nombres m et n auront pour valeurs m — pp — 0 ÆvV> n = qp - f- 0 Æ \/p, c’est-Ă -dire, des valeurs qui s’écarteront trĂšs peu d’ĂȘtre proportionnelles aux chances moyennes p et q et au nombre p des Ă©preuves. 96. Pour que metn soient des nombres entiers, il faudra que 0 soit un multiple de —* 7 = ou zĂ©ro. En faisant 0= o dans la formule 2, kV on aura — x -= pour la probabilitĂ© que m et n seront prĂ©cisĂ©ment entre ky eux comme p et q. En dĂ©signant par t une quantitĂ© positive, multiple de faisant successivement dans cette formule 0 = — e t "deux exposants de t pris, l’un dans la premiĂšre et l’autre dans la seconde somme 2, il est Ă©vident que la valeur ma de A pourra arriver d’autant de maniĂšres diffĂ©rentes que l’équation n' -\-n" = m aura de solutions distinctes, en prenant pour n' et n" des nombres compris depuis a jusqu’à Ă© ; la probabilitĂ© de chacune de ces maniĂšres sera le produit des valeurs de N, et N,, qui rĂ©pondent Ă  chaque couple de nombres n' et n"; par consĂ©quent, la probabilitĂ© totale de s = ma> aura pour expression le coefficient de tℱ dans le produit des deux premiĂšres sommes 2. Ce raisonnement s’étendra sans difficultĂ© aux cas de t = 3, = 4 , etc. Lorsque toutes les quantitĂ©s N,, N a , N s , etc., sont Ă©gales, leur produit se change dans la puissance p de l’un des polynĂŽmes qui rĂ©pondent aux sommes 2 , et ce cas a Ă©tĂ© considĂ©rĂ© dans le n° 17 . Cela Ă©tant, par une considĂ©ration semblable Ă  celle qu’on a employĂ©e plus haut, si nous faisons t* = e*V —>, et si nous dĂ©signons par X ce que deviendra le produit des sommes 2 , nous aurons n = - f* 2 w J — Soient actuellement iet i' deux nombres donnĂ©s, et P la probabilitĂ© que la somme s sera comprise entre ia et i'a, ou Ă©gale Ă  l’une de ces limites; la valeur de P se dĂ©duira de celle de 17 en y faisant successivement ro = i, = i + i,=i + 2 ,.... = i'; et la somme des valeurs correspondantes de e~ V — ayant pour expression 2 sin ^ 0 il en rĂ©sultera RECHERCHES a 5 6 Pour simplifier cette formule, je supposerai que u> soit un infiniment petit; je prendrai, en mĂȘme temps, pour i et i' des nombres infinis; et je ferai ioĂč = c — g, i'cĂč = c - f- ĂȘ, 0 = ax , dĂ» = cadx ; ce te Ă©tant des constantes donnĂ©es, dont la seconde sera positive, afin qu’on ait i' > i, comme le suppose l'expression de P. Les limites de l’intĂ©grale relative Ă  la nouvelle variable x seront =b oo . On aura sin 7 0 = j ax; et en nĂ©gligeant ±7 par rapport Ă  i et Ă  i', cette valeur de P deviendra P = - Xe — c *V—i sin ex —. 4 IC — 00 X ' Les valeurs possibles de A croissant actuellement par degrĂ©s infiniment petits, il faudra supposer leur nombre infini, et la probabilitĂ© de chacune d’elles infiniment petite; en dĂ©signant par a et b des constantes donnĂ©es, et par z une variable continue, on fera donc eta> = a, €cj = b, nu = z; on aura, en mĂȘme temps, et l’on fera aussi. t na — i; N, = a>/,z, N, = Ă»/,z, N 3 = af jz, etc. Chacune des sommes 2 contenues dans X se changera en une intĂ©grale dĂ©finie, dont a et b seront les limites; et en prenant a pour la diffĂ©rentielle de z, on en conclura X f.U . /V ,,/=r /, te, 5 pour le produit de /a facteurs qu’on devra substituer dans la formule 4 Ă  la place de X. 98. Cette formule exprimera la probabilitĂ© que dans le nombre /u SLR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2 5 7 d’épreuves, la somme des valeurs de A se trouvera comprise entre les quantitĂ©s donnĂ©es c — t et c - f- e. A la n in “ Ă©preuve, la chance infiniment petite d’une valeur z de A estf n zdz-,et toutes les valeurs possibles de A Ă©tant, par hypothĂšse, comprises entre a et b, et l’une d’elles devant avoir lieu certainement Ă  chaque Ă©preuve, il faudra qu’on ait ‱ f!j' uiz = 1 > ‱ la fonction f t z pourra d’ailleurs ĂȘtre continue ou discontinue, pourvu qu’entre ces limites a et b, elle soit une quantitĂ© positive. Si la chance de chaque valeur de z ne change pas pendant les Ă©preuves, la fonction f % z sera indĂ©pendante den; et en la reprĂ©sentant par fz on aura x = fi** = 1 ‱ Si, de plus les valeurs de A sont Ă©galement probables, fz sera une constante qui devra ĂȘtre - ^ , pour satisfaire Ă  la derniĂšre Ă©quation. En faisant a —h — g, b = h + g, on aura donc J * g J J g* ’ au moyen de quoi la formule 4 deviendra ou simplement p _ 2 r * 0 / s\ngx-f . , . , p — *Jo \~^r -cos&k-c^dx, 6 35 a 58 RECHERCHES parce que la seconde intĂ©grale s’évanouit comme Ă©tant composĂ©e d’élĂ©ments qui sont,deux Ă  deux Ă©gaux et de signes contraires, et que ceux de la premiĂšre sont^ deux Ă  deux Ă©gaux et de mĂȘmes signes. L’exposant pĂ©tant uu, nombre entier je vais faire voir que cette valeur de P s’obtiendra toujours sous forme finie, en rĂ©duisant la puissance ^ de singx, en sinus u cosinus des multiples degx, au moyen des formules connues, savoir sin? — f* cos/* — 2 gx - f- fl — - ~ cos —4 gx .. L- 1,2 * — *' * 7 . 1 '. 3 ~ C0S ^ 6 + etc -]* . s\of i gx = — i a >i Qinpgx—^sinf/—2^+^=^ sin — 4 g X — 7 .7 7 3 sinfx — \ qui sont composĂ©es chacune d’un pombre fini de termes, et dont la premiĂšre a lieu quand le nombre p est pair, et la seconde lorsqu’il est impair. 99. Pour cela, j’observe que l’on a, comme on sait, J o x 2 7 en preuaut le signe supĂ©rieur ou le signe infĂ©rieur, selon que la constante y sera positive ou nĂ©gative. Soient a et 6, deux autres quantitĂ©s positives; mettons Çx et €dx Ă  la place de x et dx, ce qui ne changera rien aux limites de l’intĂ©grale ; nous aurons J O X 2 " et en multipliant par d€, et intĂ©grant ensuite depuis ÂŁ= 1 jusqu’à a5g SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. f ÂŁ = a, il en rĂ©sultera / o °°co S >* — cos a?x ^ = =F I * 1 — a y- 8 Cette Ă©quation subsistera Ă©videmment pour y — o, quoique celle dont elle est dĂ©duite n’ait pas lieu dans ce cas particulier. Son premier membre est la diffĂ©rence des deux intĂ©grales J' cos etyx ^ et / cos^r^, dont chacune a une valeur infinie. Pour cette raison, il n’est pas permis de les considĂ©rer isolĂ©ment, et de changer la variable x dans l’une, sans la changer dans l’autre. Ainsi, en mettant y djC ‱ ‱ jet — Ă  la place de x et dx dans la premiĂšre, elle deviendrait r’° dx a / cos yx — ; et en divisant les deux membres de l’équation prĂ©cĂ©dente par i — a, on aurait / dx cos yx— — ce qui serait absurde. La mĂȘme remarque s’applique Ă  toute intĂ©grale, comme le premier membre de l’équation 8, qui a une valeur finie, rĂ©sultante delĂ  diffĂ©rence de deux intĂ©grales infinies. Je j^^iplie cette Ă©quation 8 par - dy ; puis j’intĂšgre ses deux membres, en assujĂ©tissant leurs intĂ©grales Ă  s’évanouir quand y = o ; ce qui donne 2 /'° 0 / ‱ sin*yx\ dx , . y* En intĂ©grant une seconde fois de la mĂȘme maniĂšre, il vient 33 .. 2 ÔO RECHERCHES une troisiĂšme et une quatriĂšme intĂ©gration donneront de mĂȘme 2 /'"r . si il etyX . i —dx , j ±-. a - +-if I . . ./* ’ . . .p la premiĂšre rĂ©pondant au cas oĂč /tt est un nombre pair, et la seconde au cas oĂč fx est impair. Les quantitĂ©s C et C' sont des constantes dĂ©terminĂ©es, qui dĂ©pendent de a et ^, et dont les expressions, faciles Ă  former, nous seront inutiles Ă  connaĂźtre. Je mets successivement, dans chacune de ces Ă©quations, y-{-1 ety—t au lieu de y; et par la soustraction des rĂ©sultats, j’en dĂ©duis 4 f 00 r „ ‱ C0S>x sin IX . 1 dx 1 , *Ăź = * '— HJ.'.J t>+.ng — O'*] i E et E' dĂ©signant aussi des constantes diffĂ©rentes de D et D\ En donnant Ă  n les valeurs successives o , 1 , 2 , 3, etc. ; faisant, pour abrĂ©- g er > u=^cospgx—/ cosft — 4gx t s-\ 1 . ~ 1 cos y- T s ' n tX cos p — 6 gx + etc. I —— ; —2 v ==^j,in fzgx —Wsin/A — agjr-{- —sin^t — 48 X — —2 . , . , ~ 1 cos yx sintx - sm g - bgx + etc. J ^fï—ü ; et dĂ©signant par ' et v' ce que deviennent u et v, quand on y change x en , on dĂ©duit des Ă©quations prĂ©cĂ©dentes ? fT- B '+Si=fn^ = Ăź^^{r+r_r,-r;, KJ O L x**- 1 J X’ ...fi v ' 8 r-r. ,.> , i- a F -i^x_ d- a -i a;!-* Jx’ ;/*- r—r—r y +r;; RECHERCHES 262 F et F' Ă©tant encore des constantes diffĂ©rentes de E et E'. On a fait, dans ces derniĂšres Ă©quations, r=±>-B*g+*r=FK> +f*g — *g+0 Mzi = fl ~y+f*-g— 4 g-ht ,t > + Pg — % + e T + etc. ; et l’on a dĂ©signĂ© par T', ce que T devient quand on y change le signe de g, et par r, et r', ce que deviennent T et T' par le changement du signe de e. Or, en renversant l’ordre des termes de T' et r/, qui sont en nombre fini, il est facile de voir que l’on a T'= T et Y' — T, quand fi est pair, T' = — T et T/ = — r, quand fi est impair; au moyen de quoi les Ă©quations prĂ©cĂ©dentes deviennent plus simplement i rVu- + H= 4 T\ jfrg 1 » — a r ~ Ă©z— 1——o a r— r, *J o L T Jx*— ‱ 9 Dans chacune des deux quantitĂ©s T et T, que ces Ă©quations renferment, on devra, d’aprĂšs l’origine des doubles signes de leurs diffĂ©rents termes, prendre le signe supĂ©rieur ou le sigue infĂ©rieur d’un terme quelconque, selon que la quantitĂ© qui s’y trouve Ă©levĂ©e Ă  la puissance fx sera positive ou nĂ©gative. Maintenant, en vertu des Ă©quations 7, on a r Udx , J* r r, = =*= ^ + g — c — e zsp h — g — C — * ‱ Dans le premier des cinq cas qu’on vient d’énoncer, on aura c-j-€> Æ-f-getc — g c-f-eetA — g c - f- g; on devra prendre les signes supĂ©rieurs dans T et dans T, ; ce qui donnera r = 2g, r y =2g, P = o. On pourra aussi avoir, dans ce troisiĂšme cas, h-\- g h — g, c —g h-\- g; il faudra prendre les signes infĂ©rieurs des deux termes de Y /} le signe supĂ©rieur du premier terme de T, et le signe infĂ©rieur de son second terme ; d’oĂč il rĂ©sultera r= 2Ù— 2C-f-2Ă©, I\ = — 2g, P = * ±g —£ + !. Enfin, dans le cinquiĂšme cas, on aura c — g — g,c-f-g>Ăč— g, c + Ă© cos x z — z'dzdz; quantitĂ© moindre que J' J' f n zf K z'dzdz, ou que J' j t zdz. J' f n z'dz', pour toute valeur de x diffĂ©rente de l’unitĂ©; et, par consĂ©quent, moindre que l’unitĂ©, puisqu’on doit avoir J' f m zdz= i et pf n z'dz' = i. Cela posĂ©, le nombre p Ă©tant trĂšs grand, il s’ensuit que dĂšs que la variable x ne sera plus trĂšs petite, le produit Y, Ă©gal Ă  l’unitĂ© pour .r = o, se rĂ©duira, en gĂ©nĂ©ral, Ă  une trĂšs petite fraction qui serait lout-Ă -fait nulle si /x pouvait devenir infini. En faisant abstraction, comme dans le n° g 5 , du cas particulier oĂč Y convergerait vers une quantitĂ© diffĂ©rente de zĂ©ro *, nous pourrons donc ne donner Ă  x, dans l’intĂ©grale que contient la formule 11, que de trĂšs petites valeurs, Ă  la limite desquelles la valeur de Y soit insensible; de sorte qu’en faisant Y = e-S’, la variable 0 pourra ĂȘtre supposĂ©e infinie Ă  cette limite; et qu’en substituant cette variable Ă  x dans l’intĂ©gration, on devra prendre zĂ©ro et l’infini pour les limites de l’intĂ©grale relative Ă  0. Pour exprimera et dx au moyen de G et d9, je dĂ©veloppe les valeurs prĂ©cĂ©dentes de p. cosr, et p. sinr„ suivant les puissances de x. En * Pour l’examen de ce cas particulier et des singularitĂ©s qu’il prĂ©sente, je renverrai Ă  mon mĂ©moire insĂ©rĂ© dans la Connaissance des Tems, de 1827, et que j’ai dĂ©jĂ  citĂ© n° 60 . SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, mettant la lettre z au lieu de z. sous les signes/, et faisant 269 f b = k,, f b z%zdz = k ',, j'\%zdz = k \, etc. nous aurons, en sĂ©ries convergentes, f. cos r - = 1 — fi *' + 7X34 *'"‱ ~ etc ’ x i U sin r„ = xk, — k" n + etc. En faisant aussi ^ k' x — A*. = A., g A". — + 2 k 3 n = g., etc. on dĂ©duira de ces sĂ©ries f u — 1 — x*h m x*l m — etc., r. = — x i g u - f- etc.; et de cette valeur de f, on dĂ©duira ensuite logp. = — x*h m + x\l a — ĂŻ h\ — etc. Faisons encore 2 A»^=f dt , 2 h m — gA, 2 g. — gg, 2 /. 7 ^ — etc. ; les sommes 2 s’étendant, ici et dans tout ce qui va suivre, depuis nz= r jusqu’à n = ; nous aurons logY = — ĂŽ* = — x*ph + x* — etc.; x = _ĂŽ_ Vfth /Ă  3 \/ fth == -f- etc. ; dx _ c?j x ~~~ 6 /Ă  1 + etc.; d’oĂč l’on tire 2 7 o RECHERCHES et l’on aura en mĂȘme temps et 1 y — ax = — cx -2__ _j_ etc., hĂżfth eosj — ex = cos pk — cx - f- -^= sin fik —car+ etc. h y feh Au moyen de ces diverses valeurs, la formule i i devient P = - f e— s cos fik — cx sin ex — n J o 6 + ^W7hf e - > 'MtJ-cxsmexM, ^ en nĂ©gligeant les termes qui seraient divisĂ©s par f*, et conservant x Ă  la place de sa valeur sous les sinus et cosinus. Si nous prenons C = idc, cette formule se rĂ©duira Ă  t» 2 C , ‱ fl d6 P = - / e-s sin-= —, * J o \/uh fl y/ uh en supposant que le rapport de € Ă  s/p ne soit pas un grand nombre , ce qui permet de rĂ©duire la valeur de ex Ă  son premier terme Or, u Ă©tant une constante indĂ©terminĂ©e, on a, d’aprĂšs une forts y/fch mule connue, f e~ s * cos io 5 . Quoique nous ayons supposĂ© n° 97 la chose A susceptible de toutes les valeurs comprises entre les limites a et b, mais inĂ©galement probables; les formules que nous avons obtenues n’en sont pas moins applicables au cas oĂč le nombre de valeurs possibles de A est limitĂ©; et pour cela, il suffira de considĂ©rer comme des fonctions discontinues , les fonctions^ z, f t z,fsZ , etc., qui expriment les lois de probabilitĂ© des valeurs de A dans les fi Ă©preuves successives. Soient, en effet, c ,, c,, c Sf ... c,, un nombre v de valeurs de z comprises entre a et b; supposons que la fonction f m z soit nulle pour toutes les valeurs de z qui ne sont pas infiniment peu diffĂ©rentes de l’une de ces quantitĂ©s c, f c t , c tt ... c,; en dĂ©signant par cf un infiniment petit, supposons aussi qu’on ait SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a 7 5 de cette maniĂšre, A ne sera susceptible que des v valeurs donnĂ©es c,, c,, c s ,... c, , dont les probabilitĂ©s respectives seront y,,y t , y 3 ,...y y Ă  la ri ,me Ă©preuve, et pourront varier d’une Ă©preuve Ă  une autre, c’est- Ă -dire avec le nombre n. Mais l’une de ces valeurs devant avoir lieu certainement Ă  la n ltm ' Ă©preuve, il faudra que l’on ait y, + >. 4- y 3 -+-‱ ‱ ‱ -f- y, = i, pour toutes les vĂ leurs de n, depuis rc = i jusqu’à nz=fz. Cette somme des quantitĂ©s y,, y t , y 3 , etc., sera d’ailleurs la valeur de l’intĂ©grale J * j n zdz, et cette Ă©quation remplace la condition J' i f,zdz = i. Pour un indice quelconque i t on a identiquement fzf n zdz = c,ff n zdz + fz — cĂčf„zdz, fz'j H zdz — c*ff R zdz - f- 2 c,/z— c,f,zdz - f-/z— c t ' Si l’on prend ces intĂ©grales entre les limites c t =p ÂŁ, celles qui renferment le facteur z — c, sous le signe f s’évanouiront, puisque entre ces limites, ce facteur est infiniment petit, et les autres auront y t pour valeur. On aura donc f c c Zl z J* zdz ~ y,Ci > f'-Î Z S ' zdz ~ y ' C ' ; d’oĂč l’on conclut f a z f*zdz = y l c I - f- y M c t - f- y& 3 — j—. - . —f- y t c,, / »& a z%zdz= y,c, % -j- y t c a + y 3 c J + ...+ y,c\i au moyen de quoi les quantitĂ©s dĂ©signĂ©es par k et h dans le n° ioi, deviendront k = '- 2y l c t + .+ y T c,, h = i 2 +>. exprimera la probabilitĂ© infiniment petite que s aura piecisement 3ÂŁ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, pour valeur. Je fais aussi 2 ÂŁ = 2^ VW*> di = \ / dv ; 279 dP je dĂ©signe par BQ 3 dĂŒ, et Ă  cause de ^ e~ 5 * cosafQd9 = S/it e~ ^ e~ 8 ’sina'06 3 cf6= ^ Zv — 4v*e- cette valeur de rme ardv = -4=i -ĂŻ e-*dvi V* \ J V dĂ©signant un polynĂŽme qui ne contient que des puissances impaires de v, et qui n’influera pas, quel qu’il soit d’ailleurs, sur le rĂ©sultat de nos calculs. Cette expression de s>* ‱ -y, y leurs probabilitĂ©s respectives, dont la somme sera Ă©gale Ă  l'imitĂ©, et dont chacune aurait une valeur infiniment petite, si le nombre de ces causes possibles Ă©tait infini. Les valeurs possibles de A Ă©tant toutes celles qui sont comprises entre a et b, et> consĂ©quemment, en nombre infini, la chance de chacune d’elles, provenant de chacune de ces causes, sera infiniment petite. Je reprĂ©senterai par Zjdz la chance que C, donnerait, si cette cause Ă©tait certaine, Ă  la valeur zde A. L’intĂ©grale J' zf n zdz, relative Ă  la n Um Ă©preuve, sera donc une chose susceptible des v valeurs J' zZÂz,^ zZ % dz,...j' zZ,dz, dont les probabilitĂ©s seront celles des causes correspondantes ; en sorte jue y, exprimera, Ă  une Ă©preuve quelconque, la chance de la valeur J zZflz. Par consĂ©quent, la probabilitĂ© infiniment petite d’une valeur de la moyenne - zf,zdz , se dĂ©terminera par la rĂšgle prĂ©cĂ©dente, qui convient Ă  la moyenne ^ des valeurs d’une chose quelconque, dans un trĂšs grand nombre [i d’épreuves g sera alors la somme des p valeurs inconnues de J' zf n zdz, qui auront lieu dans cette sĂ©rie d’épreuves, et les quantitĂ©s qu’on devra prendre pour k et h, se dĂ©termineront d’aprĂšs les v valeurs possibles de cette intĂ©grale, Or, en prenant ces v valeurs J* zZ t dz, J' zZ 3 dz,... J* zZ,dz, pour celles que l’on a dĂ©signĂ©es par c,, c,, dans le n* io3, et faisant, pour abrĂ©ger, y — Sy,y^zZ,efe, ÂŁ S y, ÇJ'*zZflz — ^ Sy, ^ zZ,dz t oĂč la caractĂ©ristique S indique une somme qui s’étend Ă  tous les indices i depuis i = i jusqu’à i = v , ce sont, d’aprĂšs les formules de ce numĂ©ro, les quantitĂ©s y et 6, indĂ©pendantes de ^ ,qu’il faudra prendre pour k et h. Si donc on dĂ©signe par v, une quantitĂ© positive ou nĂ©- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2 8i gative, trĂšs petite par rapport Ă  vV ; que V, soit un polynĂŽme qui ue contienne que des puissances impaires de v t ; et que l’on fasse cet infiniment petit '& l dv / sera la probabilitĂ© de l’équatiou =>+ En considĂ©rant de mĂȘme la quantitĂ© comme une chose susceptible des v valeurs correspondantes aux causes C,,C,,...C, , et dont les probabilitĂ©s, Ă  chaque Ă©preuve, seront celles de ces causes mĂȘmes; dĂ©signant par v u une quantitĂ© positiveou nĂ©gative, telle que le rapport soit une trĂšs petite fraction, et par VP \ n un polynĂŽme qui ne contienne que des puissances impaires de v n ; faisant ensuite / sr dv — i _ _Lv \ dv et, pour abrĂ©ger, a == Ăź S>i / W- l - S y, cette expression de f Sf,fĂźv ll sera la probabilitĂ© que la moyenne des p. valeurs de la quantitĂ© dont il s’agit, savoir i * - />*']. ne diffĂ©rera de a que d’une quantitĂ© dĂ©terminĂ©e, de l’ordre de peti- 56 28a RECHERCHES tesse de , et qu’il nous sera inutile de connaĂźtre. D’ailleurs cette Vf* * moyenne n’est autre chose que la quantitĂ© h du n° ioi ; si donc on nĂ©glige les quantitĂ©s de l’ordre de -, il suffira de mettre a au lieu de h, dans le second terme de la valeur prĂ©cĂ©dente de -, qui est dĂ©jĂ  de l’or- J** dre de — de cette maniĂšre, on aura Vf* \ - = k + 21>l/ © Ă©tant un polynĂŽme qui ne contient que des puissances impaires de 0. Il s’agira actuellement d’éliminer l’inconnue a ĂȘ de cette Ă©quation 14; ce qui sera possible, comme on va le voir, parce que l’expression de a -f- G se rĂ©duit Ă  a j Sy, J' z'Zidz — ^ ^ Sy, J' zZ/dz , et se trouve indĂ©pendante de la somme S y, Ç Ç h z 2 ,/lz^ , qui Ă©tait contenue dans chacune des quantitĂ©s a. et ÂŁ. 106. En appliquant Ă  ^ J' z*f n zdz le mĂȘme raisonnement qu’à cette quantitĂ© diminuĂ©e, comme dans le numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, de ~ > et dĂ©signant par ^ f z'Zflz de la valeur prĂ©cĂ©- 2 ’ï J a dente de a, - f- €, sans rien changer Ă  la probabilitĂ© »c /0 de cette Ă©quation. L’autre partie de la valeur de a - € Ă©tant exactement la quantitĂ© { y % , on aura donc * + € = ĂŻ *; au moyen de quoi l’équation 14 deviendra d’abord Cela posĂ©, soit Z une fonction donnĂ©e dez. L’analyse des n* 97 et 101, etpar suite, l’expression de rsdv du numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, s’étendront sans difficultĂ© Ă  la somme des valeurs de Z qui auront lieu dans les fi Ă©preuves que nous considĂ©rons. Il suffira de prendre au lieu de A , une autre chose A, dont les valeurs soient celles de cette fonction Z. La probabilitĂ© infiniment petite d’une valeur quelconque de A, sera la mĂȘme que celle de la valeur correspondante de z, et s'exprimera, en consĂ©quence, par J m zdz Ă  la n in “ Ă©preuve;, et si l’on dĂ©signe par k /t h t , g t , etc., ce que deviennent relativement Ă  A / les quantitĂ©s k, h, g, etc., du n* 101 , qui se rapporteut Ă  A, on aura fAk'—lj' Zj m zdz, v-h = 2 Z%zdz —^ J' ZJ n zdz^ J , etc. Donc, en appelant s,, la somme des valeurs de A / qui auront lieu a 86 RECHERCHES dans la sĂ©rie d’épreuves, l’infiniment petit = y + VÏ Or, on conclut de lĂ  que si l’on dĂ©signe par u une quantitĂ© positive et donnĂ©e, l’intĂ©grale de la probabilitĂ© de cette Ă©quation, prise depuis Q== h jusqu’à 0=— u, exprimera la probabilitĂ© que la valeur de - tombera entre les limites y = f ul ' En appelant T cette derniĂšre probabilitĂ©, et ayant Ă©gard Ă  l’expression de xrf0, on aura r dS ; et comme © est un polynĂŽme qui ne contient que des puissances impaires de 0, la seconde intĂ©grale sera nulle, et l’on aura simplement rĂ©sultat qui coincide avec la probabilitĂ© P donnĂ©e par la formule i 3 . Ainsi, cette formule exprime la probabilitĂ© que les limites -^ 4 , Vf qui ne renferment plus rien d’inconnu aprĂšs les Ă©preuves, comprendront la diffĂ©rence entre la moyenne - des valeurs de Aet la quantitĂ© spĂ©ciale y, dont cette moyenne approche indĂ©finiment, et qu’elle atteindrait si devenait infini, sans que les causes C,, C», Cj,... C,, des valeurs possibles de A changeassent jamais. 107. Supposons actuellement que l’on fasse deux sĂ©ries d’un grand nombre d’épreuves, qui sera reprĂ©sentĂ© par /u, dans l’une de ces sĂ©ries et par f/ dans l’autre. Soient .v et s' les sommes des valeurs de A 288 RECHERCHES dans ces deux sĂ©ries ; soient aussi A. et \' M les valeurs de A qui aurout ou qui ont eu lieu Ă  la n iim Ă©preuve; et faisons - 2A. = A, ' 2 A. — A* = fC P -42A'„== V, -42 A'.-— A'J* = les sommes 2 s’étendant Ă  toutes les Ă©preuves de chaque sĂ©rie, c’est- Ă -dire, les deux premi?res depuis n = Ăź jusqu’à n — /j., et les deux derniĂšres depuis n = i jusqu’à n = f/,'. Si les causes C,, C,, C 3 ,. .. C, , ne changent pas d’une sĂ©rie d’épreuves Ă  l’autre, la quantitĂ© y du n° io5 ne changera pas non plus ; en dĂ©signant alors par 0 et 0' des variables positives ou nĂ©gatives, mais trĂšs petites par rapport Ă  jx et S/'fJtl, les Ă©quations relatives aux valeurs moyennes de A dans ces deux sĂ©ries , seront s * > bl s ' , vr , - , ; = > + w ? = y + 5> et leurs probabilitĂ©s respectives rdĂŽ et n'dty auront pour expressions >% db, = © et 0' Ă©tant des polynĂŽmes qui ne contiennent que des puissances impaires de 0 et 0 '. De plus, si les sĂ©ries se composent d’épreuves diffĂ©- S S* rentes, on pourra considĂ©rer ces valeurs de - et —, comme des Ă©vĂ©- f* * nements indĂ©pendants l’un de l’autre; et par la rĂšgle du n° 5 , la probabilitĂ© de leur arrivĂ©e simultanĂ©e sera le produit de W 0 et ndtf. Ce sera aussi la probabilitĂ© d’une combinaison quelconque des deux Ă©quations i 5 , et, par exemple, de l’équation que l’on obtient en les retranchant l’une de l’autre, savoir / t_ _ ÂŁT_ _ tl * * ~~ Vf Ainsi, en dĂ©signant par 4 / le produit M'dQdQ', et nĂ©gligeant le terme SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 389 qui aurait \/ 1 pour diviseur, nous aurons pour la probabilitĂ© de l’équation prĂ©cĂ©dente, relativement Ă  chaque couple de valeurs de 0 et 0 '. Pour suivre ici, la mĂȘme marche que dans le n° io5, je fais 67' . 61 _ 1 t/f> +/ y V1 *" Vf* V h* ’ ce qui change cette Ă©quation en celle-ci fl _ i _ ? t* V H* Je remplace 0 dans 4 j par la nouvelle variable t ; et pour cela, je fais Ă»/ _ 1 V + /y 1 6l_Vft rVÏ* + rV? ’ d& V y*? + W7* dt; d’oĂč il rĂ©sulte / i*// = g _ n e "V *7r T! ^ ft ri/ĂŻ n Ă©tant un polynĂŽme dont chaque terme renferme une puissance im- s' s paire de t ou de 0. La valeur de - —ne renfermant plus que la variable t , sa probabilitĂ© sera l’intĂ©grale de 4 Ă©tendue Ă  toutes les valeurs que l’on pourra donner Ă  l’autre variable 0 ; et Ă  cause de l’exponentielle contenue dans 4 » cette intĂ©grale pourra s’étendre, sans en altĂ©rer sensiblement la valeur, depuis 0 = — 00 jusqu’à 0= 00. En faisant alors, + p? = ,, ' ĂŻ Vf* 1 Vf* v V f* 3 7 RECHERCHES 290 et dĂ©signant par IT ce que n deviendra , nous aurons + = ÂŁi' — U' e- 1 ''-' 1 ’ dt'dt; ' les limites de l’intĂ©grale relative Ă  t 'seront encore t' = r rp 00 ; et si l’on reprĂ©sente par Çdt la probabilitĂ© infiniment petite de la valeur prĂ©cĂ©- y s 1 dente de —-, on aura / r ÂŁdt = — Te-* dt; T Ă©tant un polynĂŽme qui ne contient que des puissances impaires de t . Enfin, si nous reprĂ©sentons par u une quantitĂ© positive et donnĂ©e, et par A la probabilitĂ© que cette diffĂ©rence s — — - tombera entre les li- f u mites = 1 = - 77=r -* Vh*’ nous aurons = -ÂŁ= f tt e-"dt ,* y/w ./ ce qui coĂŻncide avec la valeur de P donnĂ©e par la formule 1 3 . Par consĂ©quent, cette quantitĂ© P est la probabilitĂ© que la diffĂ©rence entre les valeurs moyennes de A dans deux longues sĂ©ries d’épreuves, tombera entre ces limites qui ne contiennent rien d’inconnu. AprĂšs avoir pris pour u une valeur suffisante pour reudre celle de P trĂšs peu diffĂ©rente de l’unitĂ©, si l’observation donne pour cette diffĂ©- s' s rence —, — -, une quantitĂ© qui tombe en dehors des limites prĂ©cĂ©dentes, on sera fondĂ© Ă  en conclure que les causes C,, C», C 3 ,... C,, des valeurs possibles de A, ne sont pas restĂ©es les mĂȘmes dans l’intervalle des deux sĂ©ries d’épreuves, c’est-Ă -dire qu’il sera survenu quelque changement, soit dans les probabilitĂ©s y,, y % , y a ,. . .y, , de ces causes, soit dans les chances quelles donnent aux diffĂ©rentes valeurs de A. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. agi D’aprĂšs ce qu’on a vu dans le numĂ©ro prĂ©cĂ©dent, chacune des quantitĂ©s l et /' devra diffĂ©rer trĂšs probablement fort peu d’une mĂȘme quantitĂ© 2 y/ = 1 et dg' = — dg> on en dĂ©duira IV _ * *> + />' * r* “ * f* et les limites les plus Ă©troites de y seront celles-ci sr 4 + s p + zy ^ \/i'u 4. zy ' dont la formule i3 exprimera toujours la probabilitĂ©. On peut facilement gĂ©nĂ©raliser ce rĂ©sultat, et l’étendre Ă  un nombre quelconque de sĂ©ries d’un grand nombre d’observations, faites avec des instruments diffĂ©rents pour mesurer une mĂȘme chose A. Les trois quantitĂ©s f/., s, l , rĂ©pondant Ă  la premiĂšre sĂ©rie, si l’on dĂ©signe les quantitĂ©s analogues par /*', s' , l', dans la seconde sĂ©rie ; par /a", s", E' f SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 29 3 dans la troisiĂšme; etc.; et si l’on fait, d’abord ? + ÂŁ + ÂŁ + etc. =D*, et ensuite f* „ ±_ „/ f*' . — a " e t c DT a — Ăź ’ U*/'* — ^ ’ DT» — ^ * 6tC ’ * la formule i 3 exprimera la probabilitĂ© que la valeur inconnue de A est comprise entre les limites f* S q“ f*" 4* etc. =p ^, rĂ©sultantes de la combinaison la plus avantageuse des observations. Et comme on pourra rendre cette formule i 3 trĂšs peu diffĂ©rente de l’unitĂ©, en prenant pour u un nombre peu considĂ©rable, il s’ensuit que la valeur de A diffĂ©rera trĂšs probablement fort peu de la somme s s r s ,r des moyennes-,—,, etc., multipliĂ©es respectivement parles quan- titĂ©s q, q , q ', etc. Le rĂ©sultat de chaque sĂ©rie d’observations influera d’autant plus sur cette valeur approchĂ©e de A et sur l’amplitude de ses limites, que celui des quotients etc., qui se rapporte Ă  cette sĂ©rie, aura une plus grande valeur. Lorsque toutes les sĂ©ries d’observations auront Ă©tĂ© faites avec un mĂȘme instrument, on pourra les considĂ©rer comme une seule sĂ©rie , composĂ©e d’un nombre d’observations Ă©gal Ă  + + etc. Ainsi qu’on l’a dit plus haut, les quantitĂ©s Z, l', l\ etc., seront Ă  trĂšs peu prĂšs et trĂšs probablement Ă©gales ; en Ă©tendant les sommes 2 Ă  la sĂ©rie totale, ou depuis n == 1 jusqu’à n — fjt, - f- -f- etc., et faisant f*+* + *'+* te. — À, ft+etc. 2 A.—X* = on pourra prendre Z, pour la valeur commune de /, Z', Z', etc. ; au moyen de quoi les limites prĂ©cĂ©dentes de l’inconnue y, et dont la 394 RECHERCHES formule i 3 exprime la probabilitĂ©, deviendront s -t- / -f- s" 4 - etc. __ f* + f* + f*" +‱ etc- ft-h ’ ce qui coĂŻncide avec le rĂ©sultat du n° 106, relatif Ă  une seule sĂ©rie d’épreuves. 109. La question indiquĂ©e Ă  la fin du n° 104 se rĂ©soudra par des considĂ©rations semblables Ă  celles dont on vient de faire usage. Soit m le nombre de fois que l’évĂ©nement E, de nature quelconque, arrivera dans un trĂšs grand nombre jx d’épreuves. La chance de E variant d’une Ă©preuve Ă  une autre, soit p m celle qui aura lieu Ă  la n imt Ă©preuve. Faisons l -Ep n = p, '-Xp'^q; dĂ©signons par v une quantitĂ© positive ou nĂ©gative, mais trĂšs petite par rapport Ă  \/fi ; et reprĂ©sentons par U la probabilitĂ© de l’équation m v , - V2 p - 2 ?- Eu nĂ©gligeant, pour simplifier les calculs, le second terme de la formule 2 ; ayant Ă©gard Ă  ce que reprĂ©sente la quantitĂ© k qu’elle renferme ; et y mettant v au lieu de 6, on aura U = 1 e~ v '. Comme dans le n° 104, appelons C,, C a , ... C,, toutes les causes possibles de l’évĂ©nement E, qui peuvent ĂȘtre en nombre fini ou infini; y, , y % , ... y, , leurs probabilitĂ©s respectives; c,, c % , ... c, t les chances qu’elles donnent Ă  l’arrivĂ©e de E. En considĂ©rant p n comme une chose susceptible de ces v valeurs c,, c t ,.. .c ,, dont y, , y, ,... y,, sont les probabilitĂ©s ; faisant y> c t +‱ yaP % + .... - f- = r, >.*.*+ yj t '+ — + y,c,'= n SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. a 9 5 et dĂ©signant par v t une variable .positive ou nĂ©gative, trĂšs petite par rapport Ă  s/pt>, la probabilitĂ© infiniment petite que l’on aura prĂ©cisĂ©ment p = r 4- rVv — Vf* sera la quantitĂ© *+ 2K0 tfr —r* r — p - f- 8» r — r»] ,-r eu ayant Ă©gard Ă  ce que T reprĂ©sente. Mais l’expression de r ne renfermant pas v, sa probabilitĂ© en est aussi indĂ©pendante ; elle est Ă©gale Ă  la somme des valeurs de e correspondantes Ă  toutes celles que l’on peut donnera v, et qui doivent croĂźtre par des diffĂ©rences Ă©gales Ă  J', dont v est un multiple ; Ă  cause de la petitesse de eT, on obtiendra une valeur approchĂ©e de cette somme en mettant dv au lieu de P dans , et remplaçant la somme par une intĂ©grale cette valeur sera exacte aux quantitĂ©s prĂšs de l’ordre de T ou de Quoique la variable v doive Vt* _ ĂȘtre une trĂšs petite quantitĂ© par rapport Ă  \/ft, on pourra, Ă  raison de l’exponentielle contenue dans e, Ă©tendre l’intĂ©grale, sans en altĂ©rer sensiblement la valeur, depuis v = — oo jusqu’à v = oo . Alors, si SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 97 l’on fait v/^+Vr^= e '- les limites de l’intĂ©grale relative Ă  9 y seront aussi zfc 00 ; et en dĂ©signant par ÇdĂŽ la probabilitĂ© infiniment petite de l’expression de r, on aura ÇdO = - e-* C e~»s A. = 4= e-8* S. Donc u Ă©tant nne quantitĂ© positive et donnĂ©e, la probabilitĂ© que la valeur inconnue de r tombera entre les limites m u \/im fi — m f* ^ P * coĂŻncidera avec la quantitĂ© P donnĂ©e par la formule i3, puisque cette probabilitĂ© sera Ainsi, P est la probabilitĂ© que la quantitĂ© spĂ©ciale r dont s’approche indĂ©finiment le rapport —, Ă  mesure que le grand nombrep aug- A* mente encore davantage, ne diffĂšre de ce rapport que d’une quantitĂ© comprise en les limites u \/im {fi — ni ^ f*V P * qui ne contiennent rien d’inconnu. Dans une seconde sĂ©rie composĂ©e d’un trĂšs grand nombre p! d’épreuves, soit m 'le nombre de fois que l’évĂ©nement E arrivera. En dĂ©signant par 6* une variable positive ou nĂ©gative, mais trĂšs petite par rapport a\/x,', la probabilitĂ© infininjent petite de l’équation t' y/ im' {fi — m' fc Ăż t* ; 38 29 8 RECHERCHES sera —^ e -5 '* d§' ; celle de l’équation m' m __ —m' Sj/ 2m / t — m m t /*— m d t PĆž ftm'ifi — m 7 ’ et ensuite > yft 3 m'fi— m' + — m ^ tpi \/p mft — m ft ft y pm'ft—m fiy ptm {ft — m' y yℱ! {p — m' +pc 3 m ft — m ^ __ ^ *y t*m\ y— ℱ r c’est-Ă -dire, si l’on remplace d’abord la variable 0' par t sans changer 0, et ensuite 0 par i'sans changer t, cette probabilitĂ© de l’équation prĂ©cĂ©dente deviendra l dtdt!. V Cette Ă©quation devenant, en mĂȘme temps, m' m _ t yiftĂŻni ft — ni 2ft' , m ft — m f* P ftfi y ftft et ne contenant plus que la variable t, sa probabilitĂ© totale sera l’intĂ©grale relative Ă  t' de cette expression diffĂ©rentielle; intĂ©grale que l’on pourra Ă©tendre, sans en altĂ©rer sensiblement la valeur, depuis ÂŁ = — oc jusqu’à t' = oo , ce qui donnera e~ 1 ' dt ; d’oĂč l’on SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 2 99 I u conclura enfin que J e~ t% dt, ou la quantitĂ© P donnĂ©e par la formule 1 3 , exprimera fa probabilitĂ© que la diffĂ©rence ℱ — — est f* f 4, comprise entre les limites u y/2fi 3 rri {fi — m' - f- ifĂź m {fi — m dans lesquelles u sera une quantitĂ© positive et donnĂ©e, et qui ne contiennent que des nombres connus. Ces limites coĂŻncident avec celles que nous avons trouvĂ©es dans le n* 87 , d’une maniĂšre beaucoup plus simple, mais pour le cas seulement oĂč la chance de l’évĂ©nement E est constante et la mĂȘme dans les deux sĂ©ries d’épreuves. Toutefois la formule 24 de ce numĂ©ro contient un terme de l’ordre de ~ ou , qui ne se trouve pas V'f* dans la formule i 3 ; ce qui tient Ă  ce que, dans le calcul que nous venons de faire, nous avons nĂ©gligĂ© les termes des probabilitĂ©s que nous avons considĂ©rĂ©es, qui seraient de cet ordre de petitesse. 110. Je ne me propose pas de traiter, dans cet ouvrage, les nombreuses questions auxquelles on peut appliquer les formules prĂ©cĂ©dentes, et dont les principales ont Ă©tĂ© indiquĂ©es dans le n° 60 et les suivants *;. Je me bornerai Ă  prendre pour exemple de ces applications. une question connue qui se rapporte aux orbites des planĂšles et des comĂštes. Dans les quantitĂ©s qui ont Ă©tĂ© dĂ©signĂ©es prĂ©cĂ©demment par T et T n’gg, si nous faisons h = g, y = dg—c, C —i = 2gct, C = {* Je puis encore indiquer la probabilitĂ©' du tir Ă  la cible, que j’ai conside're'e dans un mĂ©moire Ă©crit avant cet ouvrage, et qui paraĂźtra dans le prochain numĂ©ro du MĂ©morial de l'artillerie. 38 .. 3oo nous aurons RECHERCHES ^_r =±f — '* q=f - — *Y ' =fc=F =*= etc - » —r ; =±o—0' i =F/ A /* — i—e'* db a*- a- cr = F ^-^ -1 ft _5_ĂȘ^db etc., 1*2 oĂč l’on prendra le signe supĂ©rieur ou le signe infĂ©rieur de chaque terme, selon que la quantitĂ© qui s’y trouve Ă©levĂ©e a la puissance /4 sera positive ou nĂ©gative. Cela Ă©tant, en reprĂ©sentant dans ces deux formules, par S et T les sommes des termes qui devront ĂȘtre pris avec leurs signes supĂ©rieurs, et par S 7 et T, les sommes de ceux qu on devra prendre avec leurs signes infĂ©rieurs, on aura donc r =.'“ s —s,, r,= w 'T-T, ; mais quelle que soit la quantitĂ© T, on a, d’aprĂšs une formule connue et facile Ă  vĂ©rifier, , - JT + At-a- JT — ^—5 — ^ 4* etc. rsa'- 1 j si donc on fait successivement tf = a et sibles depuis zĂ©ro jusqu’à go*, il faudrait donc prendre pour a et €, dans la formule 16, des nombres peu diffĂ©rents de 75 en plus et en moins, ce qui rendrait le calcul numĂ©rique de cette formule tout-a-fait inexĂ©cutable; par consĂ©quent, pour connaĂźtre, dans cette mĂȘme hypothĂšse, la probabilitĂ© P que la somme des inclinaisons des orbites de toutes les comĂštes observĂ©es, doit ĂȘtre comprise entre des limites donnĂ©es, il faudra recourir Ă  la formule i 5 . Je suppose donc que la chose A soit l’inclinaison d’une orbite comĂ©- taire sur le plan de l’écliptique. Les limites des valeurs possibles de A, que l’on a dĂ©signĂ©es gĂ©nĂ©ralement par a et b, Ă©tant alors a = o et b — 90°, et toutes ces valeurs Ă©tant regardĂ©es comme Ă©galement pro- 54 RECHERCHES bables, la formule 13 exprimera la probabilitĂ© P que la moyenne d’un grand nombre d’inclinaisons observĂ©es, tombera n° 10a entre les nombres de degrĂ©s 45 q= 9OU Eu prenant u= 1,92, et faisant /* = i38, il en rĂ©sultera P = 0,99338, pour la probabilitĂ© que dans l’hypothĂšse d’une Ă©gale chance de toutes les inclinaisons possibles, l’inclinaison moyenne des 138 comĂštes observĂ©es ne sortirait pas des limites 45“q=6*; en sorte qu’il y aurait Ă  peu prĂšs i5o Ă  parier contre un, que cette moyenne devrait ĂȘtre comprise entre 5g° et 5i°; et, en effet, on a trouvĂ© 48°55' pour sa valeur; en sorte qu’il n’y a pas lieu de croire que la cause inconnue de la formation des comĂštes ait rendu inĂ©galement probables leurs diverses inclinaisons. Sans faire aucune hypothĂšse sur la loi de probabilitĂ© de ces inclinaisons, la formule i3 exprimera aussi la probabilitĂ© que l’inclinaison moyenne d’un grand nombre fx de comĂštes que l’on observera par la suite, ne s’écartera de la moyenne 48 0 55 , relative aux i38 comĂštes dĂ©jĂ  conuues, que d’un nombre de degrĂ©s compris entre les limites n° 107 ul \/ iZQ /a V t 38 f* On dĂ©duit*des inclinaisons calculĂ©es de ces 138 comĂštes, une valeur de la quantitĂ© l que ces limites renferment, Ă©gale Ă  34 0 49 , *; et en faisant p'=fi, par exemple, et prenant, comme plus haut, = 1,92, il y aura i5o Ă  parier contre un que la diffĂ©rence entre l’inclinaison moyenne de i58 nouvelles comĂštes et celles des i38 comĂštes observĂ©es, tombera entre les limites rp 8 2i'. Le nombre des comĂštes * Le calcul en a Ă©tĂ© fait par le neveu de M. Bouvard. SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 o 5 existantes Ă©tant sans doute extrĂȘmement grand par rapport Ă  celui des comĂštes dont on a pu calculer les orbites; si l’on prend pour p' le nombre des comĂštes inconnues, les limites prĂ©cĂ©dentes se rĂ©duiront Ă  trĂšs peu prĂšs Ă  de sorte qu’elles seront plus Ă©troites que pour — dans le rapport de l’unitĂ© Ă y/ajet, en prenant toujours ,5o 1,92, il y aura encore a trĂšs peu prĂšs la probabilitĂ© y^, ou i 5 o Ă  parier contre un, que la diffĂ©rence entre l’inclinaison moyenne des comĂštes inconnues et celle des comĂštes connues, est comprise entre les limites rp 5 ° fa'. Si l’on divise la totalitĂ© des comĂštes observĂ©es en deux sĂ©ries Ă©gales en nombre, dont l’une comprenne les 6g plus anciennes, et l’autre les 6g plus modernes, on trouve 49° 12' pour l’inclinaison moyenne dans la premiĂšre sĂ©rie, et 48° 38 ' dans la seconds, de sorte que ces deux moyennes diffĂšrent Ă  peine d’un demi degrĂ©. Cet exemple est trĂšs propre Ă  montrer que les valeurs moyennes d’une mĂȘme chose s’accordent entre elles, lors mĂȘme que les nombres d’observations ne sont pas extrĂȘmement grands, et quoique les valeurs observĂ©es soient trĂšs inĂ©gales, comme ici oĂč la plus petite inclinaison comĂ©- taire est i° 4 ri et la plus grande 89° 48 '. Les inclinaisons moyennes des 71 comĂštes directes et celle de 67 comĂštes rĂ©trogrades s’écartent davantage l’une de l’autre ; la premiĂšre est de 47 ° 3 ', et la seconde de 5 o° 54 ’. Par le centre du Soleil, si l’on Ă©lĂšve dans l’hĂ©misphĂšre borĂ©al, une perpendiculaire au plan de l’écliptique, elle ira rencontrer le ciel au pĂŽle borĂ©al de l’écliptique ; de mĂȘme, si l’on Ă©lĂšve, dans cet hĂ©misphĂšre et par ce centre, une perpendiculaire au plau de l’orbite d’une comĂšte, elle rencontrera le ciel au pĂŽle borĂ©al de cette orbite la distance angulaire de ces deux pĂŽles sera l’inclinaison de cette orbite sur celui de l’écliptique; mais il 11e faut pas confondre, comme l’a fait l’estimable traducteur du TraitĂ© d'astronomie de M. Herschel , la supposition que tous les points du ciel puissent ĂȘtre, avec une mĂȘme probabilitĂ©, des pĂŽles d’orbites comĂ©taires, avec l’hypothĂšse d’une Ă©gale probabilitĂ© des inclinaisons comĂ©taires de tous les degrĂ©s. 39 jo6 RECHERCHES En effet, soient a et b deux zones du ciel, circulaires, contenues dans l’hĂ©misphĂšre borĂ©al, d’une mĂȘme largeur infiniment petite, ayant pour centre commun le pĂŽle borĂ©al de l’écliptique, et dont les distances angulaires Ă  ce pĂŽle seront reprĂ©sentĂ©es par a. et G ; soient aussi p la probabilitĂ© qu’un point du ciel, pris au hasard dans cet hĂ©misphĂšre, appartiendra Ă  la zone a, et q la probabilitĂ© qu’il appartiendra Ă  la zone b; il est Ă©videut que ces fractions p et q seront entre elles comme les Ă©tendues a et b des deux zones, et, par consĂ©quent, comme les sinus des angles a et G. Or, dans l’hypothĂšse d’une Ă©gale aptitude de tous les points du ciel Ă  ĂȘtre des pĂŽles d’orbites comĂ©taires, p et q exprimeront les chances des distances a et G de deux de ces pĂŽles Ă  l’écliptique, ou, autrement dit, les chances des deux inclinaisons comĂ©taires, Ă©gales Ă  ces distances a et G; donc, dans l’hypothĂšse dont il s’agit, les chances des diffĂ©rentes inclinaisons, au lieu d’ĂȘtre Ă©gales , seraient proportionnelles aux sinus des inclinaisons mĂȘmes la chance d’une inclinaison de 90° serait double de celle d’une inclinai- sou de 3 o*, et toutes deux seraient infinies par rapport Ă  la chance d’une inclinaison infiniment petite *. 11a. Voici, en terminant ce chapitre, l’ensemble des formules de * Il paraĂźt qu’un nombre, qui semble inĂ©puisable, d’autres corps trop petits pour ĂȘtre observĂ©s, se meuvent dans le ciel, soit autour du Soleil, soit autour des planĂštes, soit peut-ĂȘtre mĂȘme autour des satellites. On suppose que quand ces corps sont rencontrĂ©s par notre atmosphĂšre , la diffĂ©rence entre leur vitesse et celle de notre planĂšte est assez grande pour que le frottement qu’ils Ă©prouvent contre l’air, les Ă©chauffe au point de les rendre incandescents, et quelquefois, de les faire Ă©clater. La direction de leur mouvement, modifiĂ©e par cette rĂ©sistance, les prĂ©cipite souvent sur la surface de la terre; et telle est l’origine la plus probable des aĂ©roliihes. Telle est aussi l’explication la plus naturelle d’un phĂ©nomĂšne trĂšs remarquable, que l’on a dĂ©jĂ  observĂ© plusieurs fois, depuis quelque temps, en des lieux sĂ©parĂ©s par de grandes distances, et toujours Ă  la mĂȘme Ă©poque de l’annĂ©e. Dans la nuit du ia au i3 novembre, diffĂ©rents observateurs, en AmĂ©rique et ailleurs, ont vu dans le ciel un nombre extrĂȘmement grand de corps semblables Ă  des Ă©toiles filantes. Or, on peut supposer que ces corps appartiennent Ă  un groupe encore bien plus nombreux, qui circule autour du Soleil, et vient rencontrer le plan de l’écliptique en un lieu dont la dis- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3o 7 probabilitĂ© qui y sont dĂ©montrĂ©es, ainsi que dans le prĂ©cĂ©dent. Le nombre des Ă©preuves, supposĂ© trĂšs grand, est reprĂ©sentĂ© par p; il se compose de deux parties m et n que l’on suppose aussi de trĂšs grands nombres; les formules sont d’autant plus approchĂ©es que ce nombre p. est plus considĂ©rable; et elles seraient tout-Ă -fait exactes, si pĂ©tait infini. i ". Soient p et q les chances constantes pendant toute la durĂ©e des Ă©preuves, des deux Ă©vĂ©nements contraires E et F, de sorte qu’on ait p-\-q=i. Appelons U la probabilitĂ© que dans le nombre p ou m -h n d’épreuves, E arrivera m fois et F aura lieu n fois. On aura n° 69 0?V i*mn Cette formule se rĂ©duit n° 79 Ă  V Ixfipq tance au Soleil est e'gale Ă  celle de la terre Ă  cet astre, Ă  l’époque oĂč la terre se trouve en ce mĂȘme lieu notre atmosphĂšre traversant ce groupe de corps Ă  cette Ă©poque, agira sur une partie d’entre eux comme sur les aĂ©rolithes ; ce qui produira le phĂ©nomĂšne dont il s’agit. Si ce groupe n’occupe pas une Ă©tendue trĂšs considĂ©rable sur la longueur de son orbite, c’est-Ă -dire, si son diamĂštre apparent, vu du Soleil, n’est j>as beaucoup plus grand que celui de la terre, il sera nĂ©cessaire, pour que le phĂ©nomĂšne ait toujours lieu Ă  la mĂȘme Ă©poque de chaque annĂ©e, que la vitesse de cette sorte de planĂšte brisĂ©e s’écarte peu de celle de la terre; ce qui n’empĂȘche pas le grand axe et l’excentricitĂ© de son orbite, de diffĂ©rer beaucoup du grand axe et de l’excentricitĂ© de notre orbite ; et alors les perturbations du mouvement elliptique ont pu rendre la rencontre du groupe et de la Terre, possible depuis quelque temps, et pourront la rendre impossible par la suite. Si, au contraire, le groupe que nous supposons forme un anneau continu autour du Soleil, sa vitesse de circulation pourra ĂȘtre trĂšs diffĂ©rente de celle de la Terre ; et ses dĂ©placements dans le ciel, par suite des actions planĂ©taires , pourront encore rendre possible ou impossible, Ă  diffĂ©rentes Ă©poques, le phĂ©nomĂšne dont nous parlons 3 o 8 lorsqu’on prend RECHERCHES m = — v \Zwpq, n =z nq + v\/ v Ă©tant une quantitĂ© positive ou nĂ©gative, mais trĂšs petite par rapport Ă  \/p; et sous cette forme, elle subsiste Ă©galement quand les chances de E et F varient d’une Ă©preuve Ă  une autre, en prenant alors, d’aprĂšs la formule 2 du n° g 5 , pour p et q les moyennes de leurs valeurs dans la sĂ©rie entiĂšre desp Ă©preuves successives. 2 0 . Les Ă©vĂ©nements E et F ayant eu lieu effectivement m et n fois dans les p. Ă©preuves, et leurs chances p et q Ă©tant inconnues, soit U' la probabilitĂ© qu’il arriveront dans [i ou m' -{-n' Ă©preuves futures, des nombre de fois m' et n', proportionnels Ă  m et n , ou tels que l’on ait , fcm , un m = -—, » = — . Quelque soit le nombre p', on aura n° 71 u ' = v/ife C* en repi’ésentant par U' la probabilitĂ© de l’évĂ©nement futur qui aurait lieu si les rapports — et - Ă©taient certainement les chances de F et F, c’est-Ă -dire en faisant, pour abrĂ©ger, 1 .. . . ry'?y' = 0,.. i . .m'. 1 . .n \pj \p/ 3 °. Les chances constantes p et q de E et F Ă©tant donnĂ©es, soit P la probabilitĂ© que dans /a ou m-\-n Ă©preuves, E arrivera au moins m fois et F au plus n fois. On aura n° 77 P P I z’» e ~" dt - 1 /»» 1 ~ r + "Wl ^ 3 Ćž wftmn e~ l ’dt *+*_t / 2 c _„. 3 y xfimn SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. k Ă©tant une quantitĂ© positive dont le carrĂ© est ooq , i n . , .ni m -+ i k = nlog —— T— + »» + log —, —-77—; ; ^ q ft+l v ” P /‱* + O et en employant la premiĂšre ou la seconde formule selon que 1 on q ^ n q n aura - >-— ou - ? = d’oĂč l’on dĂ©duit u = py ‱+ ? i — y, pour une expression de la probabilitĂ© que le jurĂ© ne se trompera pas, qu’il est facile de vĂ©rifier. En effet, cela aura lieu de deux maniĂšres diffĂ©rentes parce que l’accusĂ© sera condamnĂ©, et qu’étant condamnĂ©, il sera coupable, ou bien parce qu’il sera acquittĂ©, et qu’étant acquittĂ©, il sera innocent. Or , par la rĂšgle du n° 9 relative Ă  la probabilitĂ© d’un Ă©vĂ©nement composĂ© de deux Ă©vĂ©nements simples, dont les chances respectives influent l’une sur l’autre, la probabilitĂ© de la premiĂšre maniĂšre 'est le produit de y et de p , et celle de la seconde, le produit de 1 — 7 et de q. Donc aussi n° 10, la valeur complĂšte de u est la somme de ces deux produits. AprĂšs que la dĂ©cision du jurĂ© est prononcĂ©e, la probabilitĂ© qu’il ne s’est pas trompĂ©, n’est autre que p, s’il a condamnĂ©, ou q s’il a acquittĂ©. Si l’on n’a pas k = j f elle ne peut ĂȘtre Ă©gale Ă  u, comme auparavant, que quand on a u = o ou u=i. Ces formules renferment la solution complĂšte du problĂšme dans le cas d’un seul jurĂ©; problĂšme qui n’est, au reste, que celui de la probabilitĂ© d’un fait attestĂ© par un tĂ©moin, dont nous nous sommes oc- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5ai cupĂ©s dans le n° 56. La culpabilitĂ© de l’accusĂ© est ici le fait qui peut ĂȘtre vrai ou faux; avant que le jurĂ© ait prononcĂ©, on avait une certaine raison de croire que ce fait Ă©tait vrai, rĂ©sultante des donnĂ©es qu’on possĂ©dait alors A Ă©tait sa probabilitĂ©, et i — k celle de la non-culpabilitĂ©; aprĂšs la dĂ©cision du jurĂ©, on a eu sur le fait une nouvelle donnĂ©e; ce qui a changĂ© k en une autre probabilitĂ© p, si le jurĂ© a dĂ©cidĂ© ou attestĂ© que l’accusĂ© soit coupable, et i — k en une probabilitĂ© q, s’il a attestĂ© que l’accusĂ© ne soit pas coupable. Dans l’un et l’autre cas, il est Ă©vident que les probabilitĂ©s antĂ©rieures k et i — k ont dĂ» ĂȘtre augmentĂ©es, s’il j a plus de chance pour que le jurĂ© ne se trompe pas, qu’il n’y en a pour qu’il se trompe, et diminuĂ©es, dans le cas contraire, c’est-Ă -dire augmentĂ©es ou diminuĂ©es selon qu’on a u > - j ou u ou 1 — A, selon qu’on aa>ou= A>-f-i — k 1 — >; et puisque le premier membre de celte Ă©quation est Ă©gal Ă  m, on a donc aussi u = ky-\- 1 — k 1 — >; ce qui servirait Ă  calculer la probabilitĂ© que le jurĂ© ne se trompera pas, si l’on connaissait Ă  priori, par un moyen quelconque, la chance y de la condamnation, outre la probabilitĂ© A de la culpabilitĂ©. C’est aussi ce que l’on vĂ©rifie en observant que le jurĂ© 11e se trompera pas, si l’accusĂ© est coupable et condamnĂ©, ou bien s’il est innocent et acquittĂ© or, les probabilitĂ©s de ces deux cas, avant la dĂ©cision du jurĂ©, 4 1 5 2 2 RECHERCHES sont les produits ky et i — k i — y, dont la somme forme la valeur complĂšte de u. Quand on auraÆ=-j, les premiĂšres valeurs de pelq se rĂ©duiront immĂ©diatement Ă  p=u et q= w, et, en effet, puisqu’on n’a Ă  priori aucune raison de croire plutĂŽt Ă  la culpabilitĂ© qu’à l’innocence de l’accusĂ© f notre raison de croire Ă  l’une ou Ă  l’autre, aprĂšs la dĂ©cision du jurĂ©, ne peut diffĂ©rer de la probabilitĂ© qu’il ne se trompe pas. Si l’on a A = i, c’est-Ă -dire si la probabilitĂ© de la culpabilitĂ© est regardĂ©e comme certaine Ă  priori, on aura p = i et q = o; et quelle que soit la dĂ©cision du jurĂ©, et sa chance u de ne pas se tromper, cette culpabilitĂ© sera encore certaine aprĂšs cette dĂ©cision. Il en sera de mĂȘme Ă  l’égard de l’innocence de l’accusĂ©, si l’on a k = o, c’est-Ă -dire si elle est certaine Ă  priori. Mais dans les deux cas, il n’est pas certain que l’accusĂ© sera condamnĂ© ou acquittĂ© on aura y = u , dans le premier, et y = i — u dans le second, pour la chance de sa condamnation, qui sera donc Ă©gale, comme cela doit ĂȘtre, Ă  la probabilitĂ© que le jurĂ© ne se trompera pas quand k= i, et se trompera lorsque k = o. i i5. Supposons actuellement qu’aprĂšs la dĂ©cision de ce jurĂ©, l’accusĂ© soit soumis au jugement d’un second jurĂ© dont la probabilitĂ© de ne pas se tromper sera reprĂ©sentĂ©e par u!. Il s’agira de dĂ©terminer les probabilitĂ©s que l’accusĂ© sera condamnĂ© par les deux jurĂ©s, absous par l’un et condamnĂ© par l’autre, absous par l’un et l’autre; probabilitĂ©s que je dĂ©signerai respectivement par c, b , a. Soit y' la probabilitĂ© que l’accusĂ© ayant Ă©tĂ© condamnĂ© par le premier jurĂ©, le sera aussi par le second. En observant que y est la chance de la premiĂšre condamnation , on aura c = yy, pour la probabilitĂ© de deux condamnations successives. Mais en paraissant devant le second jurĂ©, il y a la probabilitĂ© p , rĂ©sultant de la dĂ©cision du premier, que l’accusĂ© est coupable; la valeur de y' se dĂ©duira donc de la formule i, en y mettant p et u' au lieu de k et w; ce qui donne y' = pu' - f- i — p i — u'; 5a5 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, d’oĂč l’on dĂ©duira, en verlu des formules i et a, c = kuu - j- i — Æ i — i — u '- Par un raisonnement semblable, on trouvera a = ki — u i — ĂŒ ' -4^i — kuu\ ‱‱ En ajoutant ces deux formules, il eu rĂ©sulte a + c — uu! + 1 — u j — u, pour la probabilitĂ© que les deux jurĂ©s dĂ©cideront de la mĂȘme maniĂšre, soit qu’ils condamnent, soit qu’ils absolvent; et l’on peut remarquer que cette probabilitĂ© totale est indĂ©pendante de celle de la culpabilitĂ© de l’accusĂ© avant le double jugement. Si l’accusĂ© a Ă©tĂ© absous par le premier jurĂ©, et qu’on appelle y, la probabilitĂ© qu’il sera condamnĂ© par le second, le produit i — yy, exprimera la probabilitĂ© que ces deux jugements contraires auront lieu successivement et dans cet ordre. D’ailleurs i — q sera la probabilitĂ© que l’accusĂ© est coupable, quand il paraĂźt devant le second jurĂ© apres avoir Ă©tĂ© acquittĂ© par le premier; la valeur de y t se dĂ©duira donc de la formule i, en y remplaçant k et u par i — q et r/; ce qui donne y , = C 1 — ?“' + 91 — '» ou bien, en vertu des valeurs de 1 — y et q donnĂ©es par les formules 1 et 3 , , __ yy t —ki 1 —k 1 — Il est Ă©vident qu’en permutant les lettres u et u' dans cette expression, on aura la probabilitĂ© que les jugements des deux jures seront contraires, mais dans l’ordre inverse de celui qu’on vient de supposer. En 4i. 3 a 4 RECHERCHES ajoutant cette probabilitĂ© Ă  la prĂ©cĂ©dente, il en rĂ©sultera b = i — uu + 1 — uu , pour la probabilitĂ© complĂšte de deux jugements contraires, rendus dans un ordre quelconque. On voit qu’elle est indĂ©pendante de k, comme celle de deux jugements semblables. Dans le cas de u == ^ et u! = i, l’une et l’aulre%ont aussi J. Dans tous les cas, leur somme a + b + c est l’unitĂ©, comme cela devait ĂȘtre. La probabilitĂ© que l’accusĂ© est coupable aprĂšs qu’il aura Ă©tĂ© condamnĂ© par les deux jurĂ©s, sera donnĂ©e par la formule 2, eu y mettant/j et u! au lieu de k et u; et la probabilitĂ© de son innocence, quand il aura Ă©tĂ© absous par les deux jurĂ©s, se dĂ©duira de la formule 3 , par le changement de k et u en 1 — q et u'. En dĂ©signant par/?' et q' ces deux probabilitĂ©s, on aura donc ,__ pu_ _ ,_ _ qy! P pu + I — p 1 — u' % qu' + 1 — q I — u ’ et d’aprĂšs les valeurs de p et q, donnĂ©es par ces mĂȘmes formules 2 et 5 , ces valeurs de p' et q ' deviendront , kuu , 1— kuu' P — k 1 — u 1— u '’ ^ 1— kuu'-yk{ 1—ui— u '* Soient encore p t la probabilitĂ© que l’accusĂ© est coupable, aprĂšs qu’il aura Ă©tĂ© absous par le premier jurĂ© et condamnĂ© par le second, et q, la probabilitĂ© qu’il est innocent, quand il aura Ă©tĂ© condamnĂ© par le premier jurĂ© et acquittĂ© par le second. La valeur de p t se dĂ©duira de la formule 2, en y mettant u' au lieu de , et y remplaçant k par la probabilitĂ© 1 — q que l’accusĂ© n’est pas innocent, aprĂšs qu’il a Ă©tĂ© acquittĂ© parle premier jurĂ©; celle de q t s’obtiendra de mĂȘme en changeant et k dans la formule 3 , en u et p; on aura donc p _ _ _ U—pW 1— qu - j- qi— u'* *1 1— pu'-\-pi —11'’ 3 a 5 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS, ou bien, en vertu de ces mĂȘmes formules 2 et 3 , _ jt-1— uu' n 1—Æi — u u ' P* * — uu - f-i *i— uu' 1 ' = 1— k 1 — uu'-t- / 1— u’u' La probabilitĂ© que l’accusĂ©, condamnĂ© par le premier jurĂ© et acquittĂ© par le second est coupable, sera 1 —i, et qu’on fasse n — 2i = m, l’accusĂ© aura Ă©tĂ© condamnĂ© Ă  la majoritĂ© de m voix. Lorsque i jurĂ©s l’auront condamnĂ© et que les n — i autres l’auront absous , il aura Ă©tĂ© acquittĂ© Ă  cette majoritĂ© de m voix ; la probabilitĂ© de cet acquittement, que je dĂ©signerai par Tj , se dĂ©duira de la valeur de y t en y permutant les nombres n — i et i, ce qui ne changera rien au coefficient N ; . On aura doue cfi = N* [ku i — u'~ + i — ku'~ i — ']. 5 En ajoutant ces deux derniĂšres Ă©quations, il vient y, 4- J'i = Ni \u n ~ i i — ii - j- u l i — il" -1 ] ; SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5 2 g quantitĂ© indĂ©pendante de k; de sorte que la probabilitĂ© d’un jugement rendu Ă  une majoritĂ© donnĂ©e m, soit qu’il condamne, soit qu’il absolve, ne dĂ©pend pas de la culpabilitĂ© prĂ©sumĂ©e de l’accusĂ© avant cette dĂ©cision. Dans le cas particulier de les probabilitĂ©s y t et sont sĂ©parĂ©ment indĂ©pendantes de A, et ont pour valeur commune Elles sont aussi Ă©gales Ă©Btre elles, quelle que soit la valeur de u, lorsque l’on a k = 7. 118. Soit c, la probabilitĂ© que l’accusĂ© sera condamnĂ© par n—i voix au moins et absous par i voix au plus, c’est-Ă -dire la probabilitĂ© d’une condamnation Ă  la majoritĂ© de m voix au moins. Soit aussi c?, la probabilitĂ© que l’accusĂ© sera acquittĂ© par n — i voix au moins et condamnĂ© par i voix au plus. D’aprĂšs la rĂšgle du n° 1 o, on aura 'i c i = y» + y, + % + ‱ ‱+ y» d-i = T» -H T,+ cT a +...-f- cf.; et au moyen des formules prĂ©cĂ©dentes, il en rĂ©sultera = k\Ji -h 1 - kU„ } d ; = Wi + 1 - À'U„ j 6 en faisant, pour abrĂ©ger, N 0 m"+ N,k— i —u + N,— +... + m'=U I N..i—'+N 1 i—m—+N.i—»—‹+.. — —*= V b de maniĂšre que U, soit une fonction donnĂ©e de u, et Y,, ce ue devient cette fonction, quand on y met 1 — u an lieu de u. On aura, en mĂȘme temps, ^ + di = U, + V„ 42 33 o RECHERCHES pour la probabilitĂ©, indĂ©peudaate de k, que l’accusĂ© sera, ou condamnĂ©, ou acquittĂ©, Ă  la majoritĂ© d’au moins m voix. Si l’on met n — i— i au lieu de i dans l’expression de d ,, on en conclura U, + V, c i + d n et, en effet, si un nombre de voix au moins Ă©gal an — i est nĂ©cessaire pour la condamnation, l’accusĂ© sera acquittĂ© lorsqu’il y aura n — i — i voix au plus qui lui seront contraires; en sorte que l’un des deux Ă©vĂ©nements dont les probabilitĂ©s sont c. et * devra certainement arriver. Si n est un nombre impair, et qu’on ait n = ai + i et consĂ©quemment m = i, on aura Uf + V, = \u + i — ]" =i, Ci~hdj = i; en sorte que l’accusĂ© sera certainement condamnĂ© ou acquittĂ© Ă  la majoritĂ© d’une voix au moins; ce qui est Ă©vident en soi-mĂȘme. Si n est un nombre pair, la plus petite majoritĂ© possible sera m = 2, et rĂ©pondra Ă  n = ai -f- 2. On aura alors U, + V, = [ + 1 — ]‱ — N i+I i+ ' 1 — u i+ '; d’oĂč il rĂ©sultera A + 1 . 21. . ,i - f- 2 [i-or*- c,- -f- di = 1 1 . 1 .3... i + 1 11 ne sera donc pas certain que l’accusĂ© sera condamnĂ© ou absous Ă  la majoritĂ© d’au moins deux voix ; ce qui est Ă©vident, et tient au cas possible du partage Ă©gal des voix pour l’acquittement et pour la condamnation. La probabilitĂ© de ce cas unique s’obtiendra en retranchant de l’unitĂ©, la valeur prĂ©cĂ©dente de c, -f- dr, elle sera indĂ©pendante de k-, SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 331 et en la dĂ©signant par H ; , son expression pourra s’écrire sons cette forme u _ i . .21 + ’ [“ i — + i* Le maximum du produit u i — u rĂ©pond Ă  u = Ăź, et est Ă©gal Ă  Cette probabilitĂ© H ; diminuera donc Ă  mesure que s’écartera davantage de ÂŁ. Elle diminuera aussi continuellement Ă  mesure que i augmentera ; car on dĂ©duit de son expression lr _ 2» -f- + 4 ‱ “ 1 - U II —-7+Tp et d’aprĂšs le maximum, ÂŁ de u i — u, on en conclut que le rapport de H l+ , Ă  H; sera toujours moindre que l’unitĂ© la plus grande valeur de H, rĂ©pondra Ă  u = { et i = o, et sera Ă©gale Ă  i. Quand i-f- i sera un grand nombre, on aura n° 67 . .i+i=i+i pour la valeur approchĂ©e de H,, qui sera, comme on voit, une trĂšs petite fraction, lorsque u diffĂ©rera notablement de y, ou 4 1 —-m de l’unitĂ©. Dans le cas de = i, et en prenant pour exemple f-f-i = 6 ou n = 12, cette formule, rĂ©duite Ă  ses deux premiers termes , donne - 3 -_» 94- pour cette valeur; ce qui diffĂšre trĂšs peu de la valeur 1024 23l exacte 1024* I uo * o ou k > , on aura aussi c, 1 — uy _ i — ku*- t — u 1 + ki — u n -u r Si l’on suppose k—j, on aura p i =q i ; et, en effet, lorsqu’à priori, on n’a pas de raison de croire plutĂŽt Ă  la culpabilitĂ© qu’à 1 innocence de l’accusĂ©, il est Ă©vident que la bontĂ© des jugements rendus Ă  la mĂȘme majoritĂ©, a aussi une Ă©gale probabilitĂ© dans les deux cas de la condamnation et de l’acquittement. Pour u— j, on a — uf — i — uf~ l iĂ  , et, par consĂ©quent, comme cela doit ĂȘtre, p t = k et q t = i — k, quels que soient les nombres n et i. En faisant, dans les formules 7 et 8, u 1 + t> u 1 et observant que n = m -f- ai, on aura _ k,m Pi A *" 1 - J- 1 — k ’ _ 1 — kt m 1 _ k t m + k ’ ce qui montre que la probabilitĂ© de la bontĂ© d’un jugement, ue dĂ©pend, toutes choses d’ailleurs Ă©gales, que de la majoritĂ© m Ă  laquelle il est rendu, et nullement du nombre total n des jurĂ©s; et, effectivement, les votes contraires et en nombres Ă©gaux, dans le cas d’une mĂȘme chance d’erreur pour tous les jurĂ©s, ne sauraient augmenter ni diminuer la raison de croire que le jugement soit bon ou mauvais. Mais ce rĂ©sultat suppose essentiellement la chance u que les jurĂ©s ne se tromperont pas, donnĂ©e avant le jugement; et il n’en serait plus de mĂȘme, comme on le verra plus loin, si cette chance devait ĂȘtre conclue, aprĂšs le jugement, des nombres de voix qui ont eu lieu pour et contre. Pour une valeur donnĂ©e de m, un jugement rendu Ă  la majoritĂ© d’une seule voix, par exemple, ne mĂ©rite donc ni plus ni moins de confiance, quel que soit le nombre impair des jurĂ©s, que s’il y avait un seul jurĂ©; mais la probabilitĂ© qu’un tel jugement, de condamna- RECHERCHES 334 tion ou d’acquittement, sera rendu, diminue Ă  mesure que le nombre total des jures devient plus grand. En effet , cette probabilitĂ© sera la somme des formules 4 et 5, dans laquelle on fera n = 21+1 ; en la dĂ©signant par , et q lt indĂ©pendantes du nombre total n des jurĂ©s, et dĂ©pendantes seulement de m ou n — 2/. Pour les ’ comparer numĂ©riquement les unes aux autres, je prends k = 4; ce qui rend Ă©gales les quantitĂ©s P, et Q , ainsi que p, et q lf et suppose qu’avant le jugement, l’innocence de l’accusĂ© avait la mĂȘme probabilitĂ© que la culpabilitĂ©. Je fais aussi = ; en sorte qu’il y ait trois Ă  parier contre un que chaque jurĂ© ne se trompera pas. En prenant pour n le nombre ordinaire des jurĂ©s, et faisant n = 12 et i=. 5, on trouve d’abord 9 1 Pi = —, 1 — Pt = — ; r 10 r IO 7 on trouve, en outre, 37 U,=7254.^7, V, = 239122.^; et l’on en dĂ©duit, Ă  trĂšs-peu prĂšs, P, ce qui montre que dans cet exemple, la probabilitĂ© 1 —P ; de l’erreur d’une condamnation prononcĂ©e Ă  la majoritĂ© de deux voix au moins, est Ă  peine un septiĂšme de la probabilitĂ© 1 — p t de l’erreur Ă  craindre dans un jugement rendu Ă  cette majoritĂ© de deux voix prĂ©cisĂ©ment, ou par sept voix contre cinq. Les formules 4, 5 , 6, 7, 8, 9, 10, s’appliqueront sans difficultĂ© au cas oĂč l’accusĂ© traduit devant le jury que nous considĂ©rons, aura dĂ©jĂ  Ă©tĂ© condamnĂ© ou acquittĂ© par un autre jury y on prendra alors pour la quantitĂ© k que ces formules renferment, la probabilitĂ© que l’accusĂ© est coupable, rĂ©sultant du premier jugement, et que l’une de ces formules aura servi Ă  dĂ©terminer. 121. Lorsque n—i et i seront de trĂšs grands nombres, on sera obligĂ© de recourir aux mĂ©thodes d’approximation, pour calculer les valeurs de U et V,. 536 RECHERCHES Pour cela , j’observe qu’en faisant 1 —u = v, la quantitĂ© U; est la somme des t + i premiers termes du dĂ©veloppement de n-v", ordonnĂ© suivant les puissances croissantes de i>; elle devra donc coĂŻncider avec la formule 8 du n° en mettant dans celle-ci, u, v, i, n, au lieu d ep, q, n, par consĂ©quent, d’aprĂšs les formules i 5 du n° 77, nous aurons U ; = U,= n-fĂŻ l/a r _ fl . 3 \/ xni n — i * 3 [/ uni n — — e i - 6 ». 9 00 6 Ă©tant une quantitĂ© positive dont le carrĂ© a pour valeur G* = i log ‱ i Kn-f i + n + i — i log n -f i — i et en employant la premiĂšre ou la seconde de ces deux expressions de U ; , selon que ^surpassera le rapport - ou sera moindre. Si l’accusĂ© a Ă©tĂ© condamnĂ©, et que toutes les majoritĂ©s puissent avoir eu lieu, depuis la plus petite, de une ou deux voix, jusqu’à l’unanimitĂ©, le nombre n + i et le rapport ^ * j — . , seront Ă  trĂšs peu prĂšs double de i et l’unitĂ© ; on devra donc employer la premiĂšre ou la seconde formule i i, selon que l’on aura v > u ou v v, et l’unitĂ© dans le cas de u u. Dans le cas de u = v = j, et en faisant n = ai -J- i ou n — 21 + 2 , selon que n sera impair ou pair, le rapport ^ * —. sera un peu V 4 moindre que -, ou que l’unitĂ©; il faudra donc employer la premiĂšre formule 11 ; et comme la valeur de 0 sera une trĂšs petite fraction, on aura, Ă  trĂšs peu prĂšs, U ‱ 2. 11 en rĂ©sultera u 1 2 en sorte que la chance moyenne ne pourra par excĂ©der ni ĂȘtre moindre que 7, qui rĂ©pondent Ă  a = 2 et a = o. Supposons encore que X varie en progression gĂ©omĂ©trique, pour des accroissements Ă©gaux de x; et prenons X = SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 543 valeur qui satisfait Ă  la condition J' %dx — i , quelle que soit la constante a, et dans laquelle e est, Ă  l’ordinaire, la base des logarithmes nĂ©pĂ©riens. Nous aurons i i d’oĂč l’on conclut qu’en faisant croĂźtre a depuis a = — oo jusqu’à a = 2 Ă  cause de J' Xdx = i, on aura donc 1 fl_ fodx = i — ĂŻg; ce qui exigera que g ne surpasse pas a, puisque fx ne peut avoir RECHERCHES 3 44 que des valeurs positives. Dans l’intĂ©grale J, xfxdx, on pourra, 2 ' en-dehors de Jx, regarder x comme une constante Ă©gale Ă  j; on aura donc aussi fl_ t xfxdx = 7 — i g; Ăą et en observant qu’on a - — ‱ 1 / o xfxdx = f o xfxdx - f- H xfxdx - f- f t xfxdx , ° J 3~ * J l on en conclura ou bien, en rĂ©duisant, B = ĂŻ + i?' Par consĂ©quent, dans ce cas, la chance moyenne ne pourra pas excĂ©der u — , qui rĂ©pond Ă  g = a, ni ĂȘtre moindre que u = - j, qui rĂ©pond ag= o. On pourrait faire ainsi une infinitĂ© d’hypothĂšses diffĂ©rentes sur la forme de la fonction X. Si l’une d’elles Ă©tait certaine, la valeur correspondante de la chance moyenne u le serait aussi ; si, au contraire, elles sont toutes possibles, leurs probabilitĂ©s respectives seront infiniment petites, et il en sera de mĂȘme Ă  l’égard des diverses valeurs de la chance moyenne qui rĂ©sulteront de ces hypothĂšses. Le dernier cas aura fieu, lorsque les valeurs diffĂ©rentes dont est susceptible la chance qu’uu jurĂ© ne se trompera pas, nous seront inconnues, et que nous ne connaĂźtrons mĂȘme pas la loi de leurs probabilitĂ©s, de sorte que nous puissions faire sur cette loi toutes les suppositions possibles, qui donneront Ă  la chance moyenne des valeurs inĂ©galement probables. Alors en reprĂ©sentant par , et de p t , nous aurons k J u a ~\ — ufudu —FT— - — - Tx -. .3 k Jo u *~i — uçudu - J-1 — k J ui — ii *- 1 çudu Cette probabilitĂ© sera zĂ©ro ou l’unitĂ© en mĂȘme temps que k. Eu mettant son expression sous la forme = k - f- A-i — k f 1 — liyçudu — J* ni — w n-, ^iirfi^j k J' u* _i i — uYfudu -f- i— k J' u' 1— u tt ~ipudit on voit que pour toute autre valeur de k, la probabilitĂ© que l’accusĂ© est coupable, aprĂšs le jugement, sera plus grande ou plus petite qu’auparavant, selon que la premiĂšre des deux intĂ©grales J ' m’ - ' 1 — u il faut supposer une personne qui ait, avant le jugement du jury, une certaine raison de croire l’accusĂ© coupable, exprimĂ©e par la probabilitĂ© k; qui ne connaisse aucun des n jurĂ©s, ni l’affaire qu’ils ont eu Ă  juger; et qui sache seulement qu’on les a pris au hasard sur la liste gĂ©nĂ©rale. Pour cette personne, la probabilitĂ© qu’un jurĂ© ne s’est pas trompĂ© dans son vote, est Ă©gale pour tous les jurĂ©s n° 122, mais inconnue; avant le jugement elle peut supposer Ă  cette inconnue u, toutes les valeurs possibles depuis u = o jusqu’à u = i par des considĂ©rations quelconques que nous n’examinons point ici, la probabilitĂ© infiniment petite que la personne attribue Ă  la variable u est exprimĂ©e par qĂčdu ; et a, on prendra le signe supĂ©rieur devant le second radical et le signe infĂ©rieur devant le premier, afin que la valeur de X soit nĂ©gative et que celle de A' soit positive. Pour exprimer u en sĂ©rie ordonnĂ©e suivant les puissances de x , ‱soient y, y', y", etc., des coefficients constants, et faisons u = u-t-yx -Ăź- y'x % - f- y"x 5 - f- etc. ; en ayant Ă©gard aux valeurs de et, 6, x, il en rĂ©sultera = 2 in—i > x + y' x% + y" x 5 *+* etc * + y x + y' x% + Ăż' x ' + etc. 5 4- etc.; en Ă©galant les coefficients des mĂȘmes puissances de x dans les deux membres de cette Ă©quation, on en dĂ©duira les valeurs de y , y', y", etc., au moyen desquelles, on aura / 2/ft — i u — a-t-x \J et, en mĂȘme temps, n — 2 l 3 n* “j - etc., 4 xn — il , . + e,c - Si la fonction — j etc. En nous arrĂȘtant Ă  son premier terme, et y^n’ nĂżn’ n' y'n observant que l’intĂ©grale J e~ x 'dx est Ă©gale Ă  \Ar, nous aurons, i'{n — ixin — i /n — i V n J' u*~ i — utpudu — d’oĂč l’on conclut aussi P 1 .. » i n — i* — ' y'lxin — i /i\ par la permutation des nombres i et n — i. Si l’on dĂ©signe par f une quantitĂ© positive et trĂšs petite par rapport a\/n; que l’on fasse n V n et qu’on dĂ©veloppe en sĂ©ries les logarithmes contenus dans les expressions de A et A', on trouvera A= — le second cas sera exclu , et l’on pourra regarder comme Ă  peu prĂšs certain que la valeur de u s’est trĂšs peu Ă©cartĂ©e du rapport , ou, autrement dit, que les chances u et 1 — u de ne pas se tromper et de se tromper, ont Ă©tĂ© entre elles comme les nombres n — i et i des voix de condamnation et d’acquittement. Il semblerait, d’aprĂšs cela, que la probabilitĂ© au lieu de se rĂ©duire sensiblement Ă  l’unitĂ©, devrait diffĂ©rer trĂšs peu de la valeur de p t relative Ă  u = - * . Mais il faut remarquer que la probabilitĂ© p t rĂ©pondant au cas oĂč^a chance u n’a certainement qu’une seule valeur possible ; pour faire rentrer ce cas dans celui auquel rĂ©pond l’expression de Ti, il faudrait supposer que Qu=-Qac. Le radical y/ , * sera susceptiblu double signe db; on prendra le signe supĂ©rieur dans les intĂ©grales oĂč la variable 0 est croissante, et le signe infĂ©rieur dans celle oĂč elle est dĂ©croissante ; en changeant ensuite le signe de ces derniĂšres, et intervertissant l’ordre de leurs limites, nous aurons &.IB- SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMElNTS. 35 9 J' U t ‱ a,et que l’on reprĂ©sente par b et b t les valeurs positives de A qui rĂ©pondent Ă u = a et u — a t , on aura, au degrĂ© d’approximation oĂč nous nous arrĂȘtons, fl /„! i /7—Ü*d8. Par le procĂ©dĂ© de l’intĂ©gration par partie, on a d’ailleurs f f d e - X ’ dx d9 = b f b e ~ x ' dcc ~\~\ — \ e ~ h ’ fXJ7^' dx m = et, par consĂ©quent, />-*‱ + i -{** . fl Uwdu=fyudu - ,» v /Ăź^i4,y^ e—dx+'- Je mets actuellement V,- Ă  la place de U, dans les formules 11, et j’y change,en consĂ©quence, en 1—wn° j 18.La premiĂšre aura lieu quand surpassera ~ ^ c est-a-dxre depuis =1 — a jusqu a u = 1, en prenant n pour n - f- 1, et faisant toujours a = -—La seconde sub sistera depuis u = o jusqu’à u= 1 — a. En reprĂ©sentant par ĂŽ' ce que devient 0 par le changement de u en 1 — n, et continuant de nĂ©gliger 36o RECHERCHES les termes de l’ordre de petitesse de -, nous aurons d’abord f' = ^, les limites des iutĂ©grales que renferme la formule i3 se rĂ©duiront Ă u=o et u= i; on pourra faire sortir pu hors des signes f ; et comme on a I J', u i— ĂŒ n -du= Ç 2 u n ~[ i— ufdu, cette formule deviendra 46.. 364 RECHERCHES k i— udu Cr- k J'* u*-i—ujdu 4- i— k —u j du en supprimant le facteur constant = 5, la formule i5 donne les fractions . 1 14 92 378 1093 238 o 8192’ 8192’ 8192’ 8192’ 8192’ 8192’ pour la probabilitĂ© de l’erreur des condamnations prononcĂ©es par les 12 jurĂ©s, par 11 contre 1, par 10 contre 2, par 9 contre 3, par 8 contre 4> par 7 contre 5. A la plus petite majoritĂ©, la probabilitĂ© de l’erreur serait presque Ă©gale Ă  ^ ; de sorte que sur un trĂšs grand nombre d’accusĂ©s, condamnĂ©s Ă  la majoritĂ© de sept voix contre cinq, il serait trĂšs probable que les deux septiĂšmes n’auraient pas dĂ» l’ĂȘtre ; ce serait Ă  peu prĂšs un huitiĂšme Ă  la majoritĂ© de huit voix contre quatre. En appliquant l’hypothĂšse de Laplace Ă  la formule 12; dĂ©signant par eT une quantitĂ© positive et qui n’excĂšde pas et faisant k = Z = ^, Z' = ^-f-cf, on trouve J o n_ 1 —ujdu r a *u n - i 1— Ăč j i-t pour la probabilitĂ© que la chance u de ne pas se tromper, qui n’a pas pu, suivant l’hypothĂšse, s’abaisser au-dessous de -, a Ă©tĂ© comprise entre ^ et ^ -f- cf, dans une condamnation prononcĂ©e par n — i contre 36b RECHERCHES . i jurĂ©s. Les intĂ©grations s’effectueront sans difficultĂ©. Dans le cas de i = o, ou de l’unanimitĂ©, on aura Si l’on prend, par exemple, =12 et T = 0 , 448 , on trouve, Ă  trĂšs peu prĂšs A, = de sorte qu’il y a un Ă  parier contre un que la chance u a Ă©tĂ© comprise entre o,5, et 0 , 948 . En faisant eT= et ne supposant pas 1 = o, on a C = pr, [ 3" + - * + ^ - 3 + 3— - 5 + .. - -+- n - f- 1 .n. [ . - 3-^*-30], pour la probabilitĂ© que la chance u a Ă©tĂ© comprise entre ^ et , ou plus rapprochĂ©e de que de l’unitĂ©. Pour n = 12 et i'=5, la valeur de cette quantitĂ© est 0 , 915 ....; en sorte qu’il y a un peu plus de dix Ă  parier contre un, que dans le cas de la plus petite majoritĂ©, cette 3 chance u a Ă©tĂ© au-dessous de 4 ^ 1 33. Puisque la formule i5 est dĂ©duite d’une autre dans laquelle la chance u de ne pas se tromper Ă©tait la mĂȘme pour tous les jurĂ©s, cette quantitĂ© ne saurait ĂȘtre, quoique Laplace ait omis de le dire, la chance propre Ă  chacun des n jurĂ©s qui ont jugĂ© l’accusĂ©; elle doit reprĂ©senter la chance moyenne relative Ă  la liste gĂ©nĂ©rale sur laquelle ces n jurĂ©s ont Ă©tĂ© pris au hasard n° 122. Sur cette liste, il y a sans doute des personnes pour lesquelles la chance de ne pas se tromper, au moins dans les affaires difficiles, est au-dessous de - , ou moindre que la chance de se tromper. L’hypothĂšse de Laplace exige donc que leur nombre soit assez peu considĂ©rable pour ne pas empĂȘcher la chance moyenne d’ĂȘtre toujours plus grande que L’illustre gĂ©omĂštre suppose, en outre , qu’au-dessus de 1 2 les valeurs de cette SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 567 chance, depuis “ = ~ jusqu’à u = 1, sont toutes Ă©galement probables. La seule raison qu’il donne de cette double supposition est que l’opinion du juge a plus de tendance Ă  la vĂ©ritĂ© qu’à l’erreur. Mais, en partant de ce principe, on en conclurait seulement que la fonction L’hypothĂšse que nous examinons n’est donc pas suffisamment motivĂ©e Ă  priori; et, comme on va le voir, les consĂ©quences qui s’en dĂ©duisent la rendent tout-Ă -fait inadmissible. En effet, la formule i 5 , qui est une de ses consĂ©quences nĂ©cessaires, ne renferme rien qui dĂ©pende de la capacitĂ© des personnes por- tĂ©ĂȘ§ §ur lĂą liste gĂ©nĂ©rale des jurĂ©s ; quelqu’un qui saurait, par exemple, que deux condamnations ont Ă©tĂ© prononcĂ©es Ă  une mĂȘme majoritĂ©, et par des jurys d’un mĂȘme nombre de jurĂ©s, mais pris sur deux listes diffĂ©rentes, aurait donc la mĂȘme raison de croire que ces deux jugements sont erronĂ©s, quoiqu’il sĂ»t que les personnes portĂ©es sur l’une des listes ont une capacitĂ© bien supĂ©rieure Ă  celle des personnes portĂ©es sur l’autre; or, c’est dĂ©jĂ  ce qu’il est impossible d’admettre. La fraction pĂ©tant plus petite que^, quand l’accusĂ© est condamnĂ© Ă  la majoritĂ© de n — i voix contre ij la quantitĂ© = a V —?—’ pour la premiĂšre inconnue , bi /ibi ;l - =f * y — fc-bi a b pour la seconde inconnue ; _ _ . /ladft—ai =F a V —-p -1- pi - » pour la premiĂšre diffĂ©rence, et =f - y'- ^ 0 d pour la deuxiĂšme. Toutes choses d’ailleurs Ă©gales, Ă  mesure que u et fi' augmenteront , les amplitudes de ces limites dĂ©croĂźtront Ă  peu prĂšs suivant la raison inverse des racines carrĂ©es de ces grands nombres, parce que a, et b t roitront Ă  peu prĂšs comme le nombre , et que al et b/ croĂźtront de mĂȘme avec pt!. Elles auront aussi d’autant moins d’étendue*que la quantitĂ© a sera plus petite ; mais leur probabilitĂ© P diminuera en mĂȘme temps que a. 135. Toutes les donnĂ©es numĂ©riques dont je vais faire usage sont tirĂ©es, comme je l’ai dit dans le prĂ©ambule de cet ouvrage, des Comptes gĂ©nĂ©raux de Vadministration de la justice criminelle , publiĂ©s par le Gouvernement. Depuis 1825 jusqu’à i85o inclusivement, les nombres des affaires soumises annuellement aux jurys, dans la France entiĂšre, ont Ă©tĂ© 5i2i, 53oi , 5287, 5721, 55 o 6 , 5 o 68 ; et les nombres des accusĂ©s, dans ces procĂšs criminels, se sont Ă©levĂ©s Ă  6652, 6988, 6929, 7^96, 7^73, 6962; ce qui fait chaque annĂ©e, Ă  peu prĂšs sept accusĂ©s pour cinq affaires. 47 - RECHERCHES 572 Les nombres ries condamnĂ©s Ă  la majoritĂ© d’au moins sept voix contre cinq, ont Ă©tĂ©, dans ces mĂȘmes annĂ©es , 4037, 4348 > 4 2 ^6, 4 ^ 5 1 , 44 76, 4 1 > d’oĂč il rĂ©sulte, pour les rapports de ces derniers nombres aux prĂ©cĂ©dents, o,_io68, 0,6222, 0,6115, 0,6153, 0,6069, >5952 ; oĂč l’on voit dĂ©jĂ  que ces rapports annuels ont trĂšs peu variĂ©, dans cet intervalle de six annĂ©es pendant lesquelles la lĂ©gislation criminelle n’a pas changĂ©. Je prends pour la somme des nombres des accusĂ©s pendant ces six annĂ©es, et pour as celle des nombres correspondants des condamnĂ©s. On aura ÂŁt = 4 2 3 oo, d’oĂč il rĂ©sulte pour ces deux annĂ©es, ^ =r 0,0887 ; = 0,5895. Ces rapports diffĂšrent, comme on voit, trĂšs peu l’un de l’autre; mais leur movenne o,5888 surpasse la valeur o,5388 de —, qui avait lieu en 1831, de o,o5, ou d’environ un dixiĂšme de cette valeur; ce qui serait hors de toute vraisemblance, d’aprĂšs les limites c et leur probabilitĂ© P, s’il n’était survenu aucun changement dans les causes qui peuvent influer sur les votes des jurĂ©s. La lĂ©gislation criminelle a subi, en effet, un tel changement, qui consiste dans la question des circonstances attĂ©nuantes , posĂ©e aux jurys depuis i 832; question qui SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 7 5 entraĂźne, dans le cas de l’affirmative, une diminution de pĂ©nalitĂ©; ce qui a rendu les condamnations plus faciles et plus nombreuses. i 36 . Les diffĂ©rents rapports que nous venons de calculer pour la France entiĂšre, ne sont pas les mĂȘmes pour toutes les parties du royaume; mais si l’on excepte le dĂ©partement de la Seine et quelques autres dĂ©partements, les nombres des affaires criminelles qui ont Ă©tĂ© jugĂ©es en quelques annĂ©es ne sont pas assez considĂ©rables pour que l’on en puisse dĂ©duire, avec une probabilitĂ© suffisante et pour chaque ressort de cours d’assises, la quantitĂ© constante vers laquelle doit converger le rapport du nombre des condamnĂ©s Ă  celui des accusĂ©s. Voici les rĂ©sultats relatifs Ă  la cour d’assises de Paris. De i 8 a 5 Ă  i 83 o, les nombres d’individus quelle a jugĂ©s annuellement ont Ă©tĂ© 802, 824, 6 7 5 , 868, 908, 8o4 ; et ceux des condamnĂ©s 56 7 , 527, 456 , 55 g, 604, 484; ce qui donne pour les rapports des uns aux autres 0,7070, o, 63 g 6 , 0,6459, 0,6440, o, 6652 , 0,6020. En prenant pour fx la somme des six premiers nombres, et pour a s celle des six nombres suivants, on aura fi = 4 881, a s = 3177, —=0,6509. D’aprĂšs les nombres 423oo et 25779 d’accusĂ©s et de condamnĂ©s, relatifs Ă  la France entiĂšre, pendant les mĂȘmes annĂ©es, nous avons trouvĂ© que ce rapport doit diffĂ©rer trĂšs peu de 0,6094 ; fraction moindre que la prĂ©cĂ©dente, de 0,0416, ou d’environ un quinziĂšme de sa valeur; or les limites c et leur probabilitĂ© P rendraient un tel Ă©cart tout-Ă -fait invraisemblable, s’il n’y avait pas, pour le dĂ©partement de la Seine, une cause particuliĂšre qui rendĂźt les condamnations plus faciles que dans le reste de la France. Quelle est cette cause? C’est ce que le calcul ne saurait nous apprendre. Toutefois, nous ferons remarquer que dans ce dĂ©partement, dont la population est Ă  peine un trente-sixiĂšme de celle RECHERCHES 376 du royaume, le nombre des accusĂ©s surpasse un neuviĂšme de celui qui a lieu, pour un mĂȘme intervalle de temps, dans la France entiĂšre; en sorte qu’il est proportionnellement quatre fois aussi grand ; circonstance qui rend la rĂ©pression des crimes plus nĂ©cessaire, et qui, peut-ĂȘtre pour cette raison, est cause d’une plus grande sĂ©vĂ©ritĂ© des jurĂ©s. Au moyen de ces valeurs de fL et a s , les limites a deviennent o ,65 09 a 0,00960 ; et si l’on prend a =2, on aura P = o,99532, 1—P = o,00468; c’est-Ă -dire plus de 200 Ă  parier contre un, que l’inconnue R s ne diffĂšre de o, 65 og, que de 0,0 ig 3 , en plus ou en moins. Le dernier 0,6020 des six rapports citĂ©s plus haut Ă©tant notablement moindre que la moyenne des cinq autres, il y a lieu d’examiner si cette diffĂ©rence indique suffisamment l’existence de quelque cause particuliĂšre qui aurait rendu les jurĂ©s moins sĂ©vĂšres en i 83 o que dans les annĂ©es prĂ©cĂ©dentes. Or, en prenant pour fi. et o s les sommes des nombres d’accusĂ©s et de condamnĂ©s dans le dĂ©partement de la Seine, depuis 1826 jusqu’à 1829, et pour fi! et a' s les nombres relatifs Ă  l’annĂ©e i 83 o, on a fi. = 4077, a s = 2695, fi! = 804, a' s = 484 ; d’oĂč il rĂ©sulte ^ = o, 66 o 5 , r* t* *s 0,6019, r 1 5 t* o,o 585 . Les limites c deviennent aussi =F *°»02657 >’ en sorte qu’en faisant et = 2, il y aurait plus de 200 Ă  parier contre un / que la diffĂ©rence des rapports — et ^ n’aurait pas dĂ» excĂ©der o,o 53 1 4 elle a surpassĂ© cette fraction, d’à peu prĂšs un 1 o* de savaleur; on peu t donc SUR UA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 3 77 croire qu’il y a eu Ă  cette Ă©poque quelque anomalie rĂ©elle dans les - votes des jurĂ©s; et la cause de cette anomalie, qui les a rendus un peu moins sĂ©vĂšres, a pu ĂȘtre la RĂ©volution de i 83 o. Cette cause, quelle quelle soit, paraĂźt avoir agi sur les jurĂ©s de la France entiĂšre; car, en i 83 o, le rapport du nombre des condamnĂ©s Ă  celui des accusĂ©s dans tout le royaume, s’est abaissĂ© Ă  prĂšs de 0,5g, tandis que sa valeur moyenne avait Ă©tĂ© 0,61 pour les cinq annĂ©es prĂ©cĂ©dentes. Depuis 1826 jusqu’à t 83 o inclusivement, le nombre des affaires criminelles s’est Ă©levĂ©, dans le dĂ©partement de la Seine, Ă  2963; et dans ce nombre il y a eu ig4 affaires oĂč la condamnation par le jury a Ă©tĂ© prononcĂ©e Ă  la majoritĂ© de sept voix contre cinq, et oĂč cour a dĂ» intervenir. En prenant le rapport de 19 j Ă  2963 pour la valeur de —, on auFa donc 1“ — = o,o 655 ; quantitĂ© un peu moindre que la valeur du mĂȘme rapport pour la France entiĂšre. i 3 7 . Si nous considĂ©rions sĂ©parĂ©ment, comme dans les Comptes gĂ©nĂ©raux, toutes les espĂšces de crimes dont les cours d’assises ont eu Ă  s’occuper, les nombres d’accusĂ©s et de condamnĂ©s pour chaque espĂšce en particulier, ne seraient pas assez grands pour donner lieu Ă  des rapports constants, et servir de base Ă  nos calculs. Mais dans ces Comptes f on a aussi groupĂ© toutes les affaires criminelles en deux classes, dont l’une renferme les crimes contre les personnes, et l’autre les crimes contre les propriĂ©tĂ©s ‱ et ces deux grandes divisions ont prĂ©sentĂ© annuellement des rapports trĂšs diffĂ©rents l’un de l’autre, mais Ă  peu prĂšs invariables pour chacune d’elles. Ce sont ces rapports que nous allons citer. Pendant les six annĂ©es comprises depuis 1825 jusqu’à i 85 o, les nombres des accusĂ©s de crimes contre les personnes, ont Ă©tĂ©, pour la France entiĂšre, 1897, 1907, et contre les propriĂ©tĂ©s ‱ 9 1 G 1844, 1791, 1666, 48 mnpn, i 3 7 8 . RECHERCHES 4 7 55, 5o8i, 5oi8, 5552, 5582, 5296; les nombres correspondants des condamne's, sous l’empire d’une mĂȘme lĂ©gislation criminelle, se sont Ă©levĂ©s Ă  882, 967, 948, 8 7 i, 854, 766, pour les crimes de la premiĂšre espĂšce, et Ă  3155, 338i, 3288, 368o, 364i, 3364, pour ceux de la seconde. De lĂ , on dĂ©duit °> 4^49, o,5o 7 i, 0,4961, o,4 7 23, o,465 7 , 0,4598, pour les rapports des nombres de condamnĂ©s Ă  ceux des accusĂ©s de crimes contre les personnes, et o,6635, o,6654, o,6552, 0,6628, o,6523, o,6352, pour les rapports des nombres de condamnĂ©s Ă  ceux des accusĂ©s de crimes contre les propriĂ©tĂ©s ; oĂč l’on voit que les uns et les autres n’ont pas beaucoup variĂ© d’une annĂ©e Ă  uue autre, mais que les derniers excĂšdent notablement les premiers. En prenant pour fx et a s les sommes des nombres d’accusĂ©s et de condamnĂ©s dans le cas des crimes contre les personnes, et pour et a\ leurs sommes dans le cas des crimes contre les propriĂ©tĂ©s, nous aurons /* = 11016, 05=5268, fj t'= 31284, o ' 5 = 20509; d’oĂč il rĂ©sulte ces deux rapports a i = > 4782 , Ăż = o,6556 , r n dont le second surpasse le premier d’un peu plus du tiers de celui-ci. Au moyen de ces nombres, on trouve o, 4 7 82 qp a o,oo6 7 5 pour les limites a de l’inconnue R 5 , relative aux crimes contre les personnes, et 0,6556 qp a o,oo38o , SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 5 79 pour ces limites relatives aux autres crimes. En faisant a = 2, il y aura une probabilitĂ© trĂšs approchante de la certitude, que cette inconnue R 5 ne diffĂšre pas de la fraction 0,4782, de plus de 0,01 55 , dans le premier cas, et de la fraction o, 6556 , de plus de 0,0076, dans le second. En 1 83 1 , oĂč les condamnations ont Ă©tĂ© prononcĂ©es Ă  la majoritĂ© d’au moins huit voix contre quatre , si l’on prencf pour f/, et pour a 4 les nombres d’accusĂ©s et de condamnĂ©s, relatifs aux crimes contre les personnes , et pour fxl et a 4 ces nombres relatifs aux crimes contre les propriĂ©tĂ©s, on a !& — 2046, 4 = 743 , /-&' — 556 o, a ' 4 = 5355 ; d’oĂč l’on tire - 4 = o, 363 1 , ^ = o,Go 34 ; /U fi et en retranchant ces rapports des prĂ©cĂ©dents, il vient 65 o, ii5i , b !± t t* = 0,0022 , pour les rapports du nombre des condamnĂ©s Ă  la plus petite majoritĂ© de sept voix contre cinq au nombre des accusĂ©s, dans les deux sortes de crimes. Il est remarquable que le rapport — , relatif aux crimes con- H" tre les personnes, soit Ă  peu prĂšs double du rapport ^7, relatif aux t* crimes contre les propriĂ©tĂ©s , tandis qu’au contraire c’est le rap- f port -4 relatif Ă  ces derniers crimes, qui surpasse d’environ un tiers le rapport — relatif aux premiers. Ainsi, non-seulement les condam- f* nations prononcĂ©es par les jurys ont Ă©tĂ© proportionnellement plus nombreuses dans le cas des crimes contre les propriĂ©tĂ©s, mais elles ont aussi Ă©tĂ© prononcĂ©es Ă  de plus grandes majoritĂ©s. Les rapports que nous considĂ©rons ne sont pas non plus tout-Ă - fait les mĂȘmes pour les deux sexes. Chaque annĂ©e, le nombre des femmes traduites aux cours d’assises est, Ă  trĂšs peu prĂšs constamment, les dix-huit centiĂšmes du nombre total des accusĂ©s des deux 48 .. 58o * ' RECHERCHES sexes. Dans les cinq annĂ©es Ă©coulĂ©es depuis 1826 jusqu’à i83o inclusivement, si l’on appelle x et fjtf les nombres de femmes accusĂ©es de crimes contre les personnes et de crimes contre les propriĂ©tĂ©s , et que l’on dĂ©signe dans ces nombres, par a s et a\ ceux des femmes condamnĂ©es, on aura fx = 5o5, \Ă ! — 5465, a s = 586, a' s = 33i2; d’oĂč l’on dĂ©duit J = 0,449° > Ăż = 0,6061 ; r r et en comparant ces rapports aux valeurs prĂ©cĂ©dentes de — et ^4, on fi voit qu’ils sont moindres, mais seulement d’à peu prĂšs un 16 e ou un 12* de ces valeurs. Relativement aux annĂ©es i 832 et i833, pendant lesquelles les condamnations ont Ă©tĂ© prononcĂ©es Ă  la majoritĂ© d’au moins huit voix contre quatre et avec la question des circonstances attĂ©nuantes , on a eu, pour les accusĂ©s et les condamnĂ©s ds deux sexes, u = 4108, fx == 10421 , a 4 — 1889, a\ = 6664, et, par consĂ©quent, J = 0,4598, ^ = o,6395; les lettres accentuĂ©es rĂ©pondant, comme plus haut, aux crimes contre les propriĂ©tĂ©s, et les lettres non accentuĂ©es aux crimes contre les personnes. En faisant x= 2 dans l’expression des limites a, on trouve qu’il y a une probabilitĂ© trĂšs approchante de la certitude que l’inconnue R s ne s’écarte pas de la fraction 0,4698, de plus de 0,022, ou de la fraction o,63g5, de plus de 0,0133, selon qu’il s’agit des crimes de la seconde ou de la premiĂšre espĂšce. On peut remarquer que les valeurs de ^ et ^4 ont conservĂ© entre elles, Ă  trĂšs peu prĂšs, le rapport qui existait entre celles de - et ^ qu’on a trouvĂ©es fi fi plus haut. En comparant ces quantitĂ©s ^ et ^4, a leurs analogues en i83i , on peut aussi observer que l’influence de la question des SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 381 circonstances attĂ©nuantes a augmente le rapport ^4 relatif aux crimes contre les propriĂ©tĂ©s, seulement d’un i5% et le rapport —, f* relatif aux crimes contre les personnes, de prĂšs d’un tiers de sa valeur. 1 38. Maintenant, d'aprĂšs ce qu’on a vu dans le n° ma, la chance, pour un accusĂ©, d’ĂȘtre condamnĂ© par un jury pris au hasard sur la liste gĂ©nĂ©rale d’un dĂ©partement ou du ressort d’une cour d’assises, est la mĂȘme que si la chance de ne pas se tromper Ă©tait Ă©gale pour tous les membres de ce jury ; Ă  la majoritĂ© d’au moins n —i contre i voix, la chance de la condamnation est donc exprimĂ©e par la premiĂšre formule 6, et Ă  la majoritĂ© de n — i voix contre i, par la formule 4; par consĂ©quent, pour chaque dĂ©partement et pour chaque genre d’affaires criminelles, les quantitĂ©s c t et y t , exprimĂ©es par ces formules, sont celles dont les rapports — et — approchent indĂ©finiment Ă  mesure que le nombre /x, supposĂ© trĂšs grand, augmente encore davantage; ou, autrement dit, les quantitĂ©s c, et y, coĂŻncident avec les inconnues R, et r t du n° i34, lorsque l’on considĂšre des affaires d’un mĂȘme genre, dans un mĂȘme dĂ©partement, et mĂȘme pour chaque sexe des accusĂ©s sĂ©parĂ©ment. Nous rangerons en deux classes distinctes tous les genres d’affaires criminelles l’une de ces classes comprenant, comme plus haut, les crimes contre les personnes, et l’autre les crimes contre les propriĂ©tĂ©s. Mais, pour ne pas trop compliquer les calculs, nous n’aurons point Ă©gard au sexe des accusĂ©s, dont l’influence sur la proportion des condamnations peut ĂȘtre nĂ©gligĂ©e, si l’on considĂšre que, dans le nombre total des prĂ©venus, le nombre des femmes n’est pas un cinquiĂšme de celui des hommes. Les lettres /x, a it b if c t , rĂ©pondant aux affames de la premiĂšre espĂšce, et les mĂȘmes lettres accentuĂ©es dĂ©signant les quantitĂ©s analogues relativement aux affaires de la seconde espĂšce, nous aurons, pour chaque dĂ©partement en particulier, aj_ t 1 h / ‱ > a'i t* / >t , 6 avec d’autant plus d’approximation et de probabilitĂ© que les nombres /x et fx! seront plus considĂ©rables. RECHERCHES 382 Si les rapports qui forment les premiers membres de ces Ă©quations Ă©taient donnĂ©s pour les diffĂ©rents dĂ©partements, ces quatre Ă©quations suffiraient pour dĂ©terminer les inconnues k et u contenues dans c, et y ,, et leurs analogues dans c', et y', que je dĂ©signerai par k' et il ; mais la nĂ©cessitĂ© de trĂšs grands nombres u et fjJ rend impossible, quant Ă  prĂ©sent, l’application des Ă©quations 16 Ă  chaque dĂ©partement isolĂ©ment, et pour s’en servir, on sera obligĂ© de supposer que les inconnues u, u ', k, k ', ne varient pas beaucoup, en gĂ©nĂ©ral, d’un dĂ©partement Ă  un autre; ce qui permettra d’employer dans leurs premiers membres, les rapports relatifs Ă  la France entiĂšre. Les quantitĂ©s u et u' que l’on dĂ©terminera de cette maniĂšre seront exactement les chances de ne pas se tromper qui auraient lieu si les listes de jurĂ©s de tous les dĂ©partements Ă©taient rĂ©unies en une seule, et que chaque jurĂ© fĂ»t pris au hasard sur cette liste totale. Dans cette hypothĂšse, les quantitĂ©s k et k', en ce qu’elles dĂ©pendent de l’habiletĂ© des magistrats qui dirigent l’instruction prĂ©liminaire, pourraient encore n’ĂȘtre pas les mĂȘmes dans les diffĂ©rents dĂ©partements; mais les Ă©quations 16 Ă©tant linĂ©aires par rapport Ă  ces inconnues, leurs valeurs que l’on obtiendra, seraient alors les moyennes de celles qui ont rĂ©ellement lieu pour tous les dĂ©partements. Au reste, on doit observer que si l’on est obligĂ© de se contenter de ces valeurs gĂ©nĂ©rales de u, u ', k, k', c’est seulemeut faute de donnĂ©es complĂštes de l’observation> et non pas par quelque imperfection de la thĂ©orie que nous exposons. expressions dec, et y t ne changent pas lorsqu’on y meti—A eli —u au lieu de k et u n os 117 et 118; pour des valeurs donnĂ©es de — et — , s’il y a un couple de valeurs de k et u plus grandes que ^, qui satisfassent aux deux premiĂšres Ă©quations 16, il y aura donc aussi un couple de valeurs de k et de u plus petites que ^qui satisferont Ă©galement h ces Ă©quations. Or, on doit supposer que la probabilitĂ© moyenne de la culpabilitĂ© des accusĂ©s avant le jugement, surpasse celle de leur innocence, et que, chez les jurĂ©s, la chance moyenne de ne pas se tromper est plus grande que celle de l’erreur; ce sont donc les valeurs de k et u plus grandes que ^ qu’il faudra employer; 585 SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. et l’on devra rejeter les autres comme Ă©trangĂšres Ă  la question. La mĂȘme remarque convient aux deux derniĂšres Ă©quations 16 , et aux valeurs de k' et /j.' qui s’en dĂ©duiront. Toutefois, si l’on appliquait ces Ă©quations aux jugements en matiĂšre politique, rendus en grand nombre dans les temps malheureux de la RĂ©volution, on pourrait employer, ainsi qu’on l’a expliquĂ© dans le prĂ©ambule de cet ouvrage, leurs racines moindres que car alors l’innocence lĂ©gale des accusĂ©s avant le jugement pouvait ĂȘtre plus probable que leur culpabilitĂ© ; et pour les jurĂ©s, la probabilitĂ© qu’ils se tromperaient volontairement pouvait surpasser leur chance de ne pas se tromper. 159. Je fais n= 12 et i = 5 , dans les formules 4 et 6; les coefficients qu’elles contiennent auront pour valeurs N.= i, N, = i2, N a = 66 , N 3 = 22 o, N 4 = 495 , ^ = 792. Je fais aussi - 5 P 79 2 -y> u = 1 -H’ 1 la seconde Ă©quation 16 devient + , 2 *—!6 + ^0 = + — “* t pour la probabilitĂ© d’un jugement unanime, soit qu’il condamne, soit qu’il absolve. On aura aussi y* — cT. = 2 k— 1 ['* — 1 — '*]; quantitĂ© positive Ă  cause de k> ÂŁ et u > 1— u, en sorte que l’unanimitĂ© est moins probable dans le cas de l’acquittement que dans celui de la condamnation. On voit que ces diverses probabilitĂ©s sont trĂšs faibles, dĂšs que la chance u de ne pas se tromper diffĂ©rĂ© sensiblement de zĂ©ro et de l’unitĂ©. Si l’on prend, par exemple, les valeurs 49 - RECHERCHES 388 de u et k qui se rapportent Ă  la France entiĂšre, sans distinction de l’espĂšce de crimes, c’est-Ă -dire si l’on fait k = o, 65 gi et u = 0,7494, il en rĂ©sultera . >. = 0,0201, ^0 = 0,0113, >.-f- prĂšs de trente-deux Ă  parier contre un qu’aucun jugement ne serait rendu; et cela arriverait 32 fois sur 33 environ, si les jurĂ©s ne communiquaient pas entre eux, et ne convenaient pas, pour en finir, de s’arrĂȘter Ă  une simple majoritĂ©. En appelant M la probabilitĂ© que dans un nombre p. de jugements, il n’y en a eu ou il n’y en aura aucun qui soit unanime, on aura M = ' — y. — J'.V'j et si l’on veut que M soit il faudra qu’on ait ** = rog._y 0 ^ 7 ĂŒ = 21 ’ 7 5 ’ en employant toujours la valeur prĂ©cĂ©dente de y 0 - f- ce qui donne p' 5 = 0,9618. Enfin, si l’on considĂšre les deux sortes de crimes indistinctement et toujours pour la France entiĂšre, on devra prendre o, 63 9 t et 2,9g, pour les valeurs de k et t a 0 140; et en dĂ©signant par RECHERCHES les nombres des jugements oĂč c’est le juge A, ou A', ou A", qui n’a pas votĂ© comme les deux autres. On aura, avec une trĂšs grande approximation et trĂšs probablement, Le nombre € Ă©taut la sommede a, a', a", et b la somme de a, a', a*; la seconde de ces Ă©quations est une suite des trois derniĂšres, et les ciuq Ă©quations se rĂ©duisent Ă  quatre. Si les nombres a, a', a', Ă©taient donnĂ©s par l’observation; en substituant dans les trois derniĂšres Ă©quations, les expressions prĂ©cĂ©dentes de a, a', a", on en pourrait dĂ©duire les valeurs de u, u, u", et en mettant dans la premiĂšre Ă©quation l’expression de^;, on en conclurait la valeur de y ; de sorte que si ce nombre y Ă©tait aussi donnĂ© par l’observation, la comparaison du nombre donnĂ© au nombre calculĂ© servirait Ă  vĂ©rifier la thĂ©orie. Les valeurs de u, u ', u ", Ă©tant ainsi dĂ©terminĂ©es, on en dĂ©duirait sans difficultĂ©, au moyen des formules prĂ©cĂ©dentes, les probabilitĂ©s p et q de la bontĂ© d’un jugement unanime et d’un jugement non unanime. Mais l’observation n’a fait connaĂźtre, pour aucun tribunal, les nombres y, a , a!, et"; toutefois, afin de donner un exemple de l’usage de ces formules, je choisirai arbitrairement les valeurs des probabilitĂ©s u, u', u*. Je prends donc, par exemple, Pour chacun des trois juges, la chance de ne pas se tromper est plus grande que celle de l’erreur; A' et A" sont Ă©galement instruits, et ont la mĂȘme chance de ne pas se tromper ; A est plus instruit, et sa chance d’erreur est moindre. On aura de sorte qu’on pourra parier 17 contre 8, ou un peu plus de deux contre un, que les trois juges ne rendront pas un jugement uuanime. On aura aussi P = 7 . 85’ SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 407 il y aurait donc 9 Ă  parier contreun pour la bontĂ© d’un jugement unanime, et seulement 5 y contre 28, ou, Ă  trĂšs peu prĂšs, deux contreun pour la bontĂ© d’un jugement non unanime. Pour ces trois juges, la chance moyenne de ne pas se tromper serait u' + '==! ; en les supposant Ă©galement instruits et prenant cette fraction , pour la valeur commune de u, 11 on trouverait Ces valeurs dep et q Ă©tant un peu moindres que les prĂ©cĂ©dentes, il s’ensuit que, dans notre exemple, une Ă©gale rĂ©partition entre les trois juges, de leur somme d’instruction, diminuerait la probabilitĂ© que le jugement est bon, soit qu’il ait eu lieu ou non Ă  l’unanimitĂ©; mais, d’un autre cĂŽtĂ©, la derniĂšre valeur de c Ă©tant plus grande que la premiĂšre, et la premiĂšre valeur de b surpassant la derniĂšre, cette rĂ©partition Ă©gale de l’instruction augmente la probabilitĂ© que le jugement des trois juges sera unanime, et diminue, en consĂ©quence, la probabilitĂ© qu’il ne le sera pas. Lorsque nous ignorons si un jugement rendu par les trois juges a Ă©tĂ© ou n’a pas Ă©tĂ© unanime, la raison que nous avons de croire que ce jugement soit bon diffĂšre de p et de -211—v 5 t>*- 35 i —ĂȘV 3 ] =[i>-f-i—v] 7 = 1. On aura C = C' = ^, soit dans le cas de /=^, et pour une valeur quelconque de v , soit dans le cas de 0 = ^, et pour une valeur quelconque de /‱; rĂ©sultats qui sont d’ailleurs Ă©vidents en eux-mĂȘmes. En considĂ©rant sĂ©parĂ©ment les deux parties de l’expression de chacune des quantitĂ©s C et C', on peut aussi dire que la premiĂšre partie de C est la probabilitĂ© que les deux tribunaux successifs jugeront bien Çnn et l’autre; que la seconde partie est la probabilitĂ© qu’ils jugeront mal tous les deux ; que la premiĂšre partie de C' exprime la probabilitĂ© que le premier tribunal jugera mal et le second bien ; et que, enfin, la seconde partie de C'sera la probabilitĂ© que le premier tribunal jugera bien, et le second mal. Si donc, 011 appelle f la probabilitĂ© que la cour d’appel jugera bien, soit que le tribunal de premiĂšre instance juge bien ou mal; p sera la somme des deux premiĂšres parties de C et C', 1 —p la somme de leurs secondes parties, et l’on aura f = u 7 -+- 7^ 1 — p4-2ii> 5 i — O’ - ! - 55 > 4 i —v 3 , i — p = 1 — —— 71 — v e v + 211 — vfv* - f- 35 1 — cV , ainsi qu’on le trouverait directement. En dĂ©signant par T la probabilitĂ© que l’arrĂȘt de celte cour sera confirmĂ© par une seconde cour royale, composĂ©e Ă©galement de sept juges, et par T’ la probabilitĂ© qu’il ne le sera pas; et en appelant w, pour chacun de ces sept juges, la chance de ne pas se tromper, T et T 7 se dĂ©duiront de C et C’ en y -v-r SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 411 mettant p et w au lieu de r et v; par consĂ©quent, si l’on suppose qu’on ait w=v, il en rĂ©sultera r = p' + 1 — f % , r' = api — f; valeurs qui satisfont Ă  la condition r-f- T' = 1. D’aprĂšs les expressions de C et C', celles de p et p' pourront d’ailleurs s’écrire ainsi _ r — C' _ r — C ^ ' 2 r — t ’ 1 ^ 2 r — 1 ’ DĂ©signons encore par P la probabilitĂ© de la bontĂ© de l’arrĂȘt rendu par une premiĂšre cour d’appel, lorsqu’il est conforme au jugement de premiĂšre instance, et par P' quand il est contraire. Dans le premier cas, en supposant successivement que l’arrĂȘtsoit bon et qu’il soit mauvais,la probabilitĂ© de l’évĂ©nement observĂ©, qui est ici la conformitĂ© des deux jugements, sera la premiĂšre partie de C dans la premiĂšre hypothĂšse, et la deuxiĂšme partie dans la seconde ; la probabilitĂ© P de la premiĂšre hypothĂšse, aura donc pour valeur ccttc premiĂšre partie de C divisĂ©e par la somme de ses deux parties; nous aurons, en consĂ©quence, CP = r[V -f- 7 ,6 i — v + 21 1 — e’ -f- 35 v* 1 — o s ] ; et, l’on trouvera de mĂȘme, C'P' = 1 — /’{V -f- 7 6 i — v - j- 2 iv 5 j — v * - f- 35V 4 '! — v 3 ] ; rĂ©sultats qui se dĂ©duisent aussi, comme cela doit ĂȘtre, des formules g et 10, en y faisant k — r, n = 7, i= 3 . Ces Ă©quations pourront ĂȘtre remplacĂ©es par celles-ci CP = r P , C'P' = 1 - /‱/>, en ayant Ă©gard Ă  ce que p reprĂ©sente. i 5 o. Il faut au moins trois juges pour prononcer un jugement de premiĂšre instance, et sept pour un arrĂȘt de cour d’a ppel ; gĂ©nĂ©ralement ces moindres nombres ne sont pas dĂ©passĂ©s; c’cst pourquoi, j’ai pris trois et sept pour les nombres dĂ©jugĂ©s des deux tribunaux successifs que je viens de considĂ©rer. En substituant pour r sa valeur en fonction de w, dans les formules que j’ai obtenues, elles renfermeront les deux chances u 52 .. 1 V 4ia . RECHERCHES et v, qui ne peuvent se dĂ©duire que de l’observation; malheureusement, elle ne nous fournit pour cela qu’une seule donnĂ©e, savoir, le rapport du nombre des jugements de premiĂšre instance, confirmĂ©s par les cours royales, au nombre total des jugements qui ieur sont faire usage de ces formules, il est donc nĂ©cessaire de rĂ©duire Ă  une seule, au moyen d’une hypothĂšse particuliĂšre, les deux inconnues u et v; celle qui m’a paru la plus naturelle a Ă©tĂ© de supposer qu’on ait v — u, c’est-Ă -dire, de regarder les juges du premier tribunal et ceux du second, comme ayant la mĂȘme chance de ne pas se tromper. Cela posĂ©, dans un trĂšs grand nombre ft. de jugements de premiĂšre instance, soit m le nombre de ceux qui ont Ă©tĂ© confirmĂ©s, et, par consĂ©quent, /jl — m celui des jugements non-confirmĂ©s. On pourra prendre le rapport ℱ pour la valeur approchĂ©e et trĂšs probable de la pro- Z * 4 habilitĂ© que nous avons dĂ©signĂ©e par C; et si l’on fait C = V = U, U t 7+V I — II = 1 +' ‱ il en rĂ©sultera m _ 2r— 1 1 + -f- 2 i/’ 4 - 350 r On aura, eu mĂȘme temps, r '+ 3t 2 r—i — 1 2fl + 3 '> - >+0” U + 0 3 ’ et en substituant ces valeurs dans celle de — , on obtiendra une Ă©quation du 10 e degrĂ© pour dĂ©terminer la valeur de t, et, par suite, celle de u. Dans le cas de v=u, l’expression de C demeure la mĂȘme, quand on y change, u et r en 1—u et 1— rj ce qui rĂ©pond au changement de t en Ăż. Il s’ensuit que si l’on satisfait Ă  la valeur donnĂ©e de —, par une valeur de t plus petite que l’unitĂ©, on y satisfera Ă©gale- lement par une valeur de t plus grande que un ; et, en effet, l’équation d’oĂč dĂ©pend l’inconnue t est du genre des Ă©quations rĂ©ciproques, et SUR LA PROBABILITE DES JUGEMENTS. t O reste la mĂȘme, quand on y met Ăż au lieu de t. Ce sera la valeur de t plus grande que l’unitĂ©, qu il faudra prendre ; car c’est celle qui rĂ©pond Ă  la valeur de u plus grande que c’est-Ă -dire, Ă  une chance de ne pas se tromper plus grande que celle de se tromper, ce qu’on doit admettre dans le cas de magistrats intĂšgres et instruits. i5i. Le Compte gĂ©nĂ©ral de P administration de la justice civile, publiĂ© par le gouvernement, donne, pour le ressort de chaque cour royale, les nombres m et fi—m de jugements confirmĂ©s et de jugements non confirmĂ©s, pendant les trois derniers mois de i85i, et pendant les annĂ©es entiĂšres i83» et r855. Mais il n’y a guĂšre que le ressort de la cour royale de Paris, dans lequel le nombre total p soit assez grand pour servir isolĂ©ment Ă  la dĂ©termination de l\ nous serons donc obligĂ©s, quant Ă  prĂ©sent, de supposer, comme nous l’avons fait pour les jurĂ©s, que la chance u de ne pas se tromper est sensiblement Ă©gale pour tous les juges du royaume; ce qui permettra d’employer Ă  la dĂ©termination de t, les valeurs de m et de j tu — p relatives a la to j talitĂ© des cours royales. Or, on a eu dans le dernier trimestre de 1 85i, en i 832 et en 1 853, et pour la France entiĂšre 771 = 976, 77 j =53 oi , 777 = 5470; P — 777 = 388, j U 777 = 2 {o5, P 7/7=2617, d’oĂč l’on dĂ©duit, pour ces trois pĂ©riodes, 777 77Z — = 0,7155, — H ' fi 0,6879, -=0,6764. Les deux derniers rapports, qui rĂ©pondent Ă  des annĂ©es entiĂšres, ne diffĂšrent pas l’un de l’autre, d r un 70 * de leur moyenne; ce qui prĂ©sente un exemple bien remarquable de la loi des grands nombres *. En prenant pour 771 et p les sommes des nombres relatifs aux trois pĂ©riodes, on aura * Cette loi a Ă©tĂ© de nouveau confirmĂ©e par la valeur du rapport — , q^a eu lieu en 1824 , et q u ' s ’ esl Ă©levĂ©e o,6g58, d’aprĂšs le Compte relatif Ă  cette annĂ©e, que le gouvernement a publiĂ©, il y a peu de temps. 4i4 RECHERCHES m = 11747, ^=17157^-1=0,6847. Si l’on considĂ©rait sĂ©parĂ©ment les nombres relatifs Ă  la cour royale de Paris, on aurait m = 25 iu, = 5297 , ^ = 0,761 5 ; en sorte que dans le ressort de cette cour, le rapport — surpasse sa valeur moyenne pour la France entiĂšre, d’à peu prĂšs un 9' de sa valeur. En employant sa valeur 0,6847 relative Ă  la France entiĂšre, on trouve ÂŁ = 2,-t57, u = o,683a, r = 0,7626. D’aprĂšs cette valeur de r, il y a donc un peu plus de trois contre un Ă  parier pour la bontĂ© d’un jugement de premiĂšre instance, lorsqu’on ne connaĂźt, ni le tribunal qui a jugĂ©, ni la nature du procĂšs. On voit aussi que la chance ude ne pas se tromper surpasse fort peu, pour les juges en matiĂšre civile, la fraction 0,6788 qui exprimait cette chance, pour les jurĂ©s avant i 832, c’est-Ă -dire, avant la loi qui a prescrit la question des circonstances attĂ©nuantes. Au moyen de cette valeur de r, et en prenant les rapports ^ et ~ m pour les valeurs de C et C', on dĂ©duit des formules du nu- n r mĂ©ro prĂ©cĂ©dent, P = 0,9^79, P'= 0,6409, r = 0,7466 j ce qui montre que l’on peut parier Ă  trĂšs peu prĂšs 19 contre un pour la bontĂ© d’un arrĂȘt d’appel conforme au jugement de premiĂšre instance, et moins de deux contre un dans le cas d’un arrĂȘt contraire. On voit aussi que quand on ignore si l’arrĂȘt est conforme ou contraire, la probabilitĂ© T qu’il sera confirmĂ© par une seconde cour royale, jugeant sur les mmes donnĂ©es que la premiĂšre, est un peu moindre que Les quatre parties qui composent les expressions donnĂ©es de C et C', ont 'Wir k SUR LA PROBABILITÉ DES JUGEMENTS. 4i5 pour valeurs rf = 0,6495, i-r p=o,2022, r i-/>=o,i i3i, 1 -ri-/>=o,o352 ; et ces fractions, dont la somme est TunitĂ©, expriment les probabilitĂ©s que les deux tribunaux successifs de premiĂšre instance et d’appel, jugeront bien, que le premier jugera mal et le second bien, que le premier jugera bien et le second mal, que tous les deux jugeront mal. FIN. II» '» niv 4& 5gj ' * ' - mmm mm mm Wmmmm SMmi ĂŠggggn â–ș‱s*»-*?** 4b- iĂ©Mi 7 ; ĂŻfe ffriSata SijWÏf- y * 7 r J*’ i >c*-svi*a pptg V y y* -** '*rrj*M -VV 'Mm &SSSS < _, wsmk a?2^ -'*Ăź?r<5
38. Infini et au-delĂ  du tatouage pour les couples . Les paroles « Vers l’infini et au-delĂ  » sont la meilleure façon de signer votre amour sans fin. Le motif correspondant est trĂšs mignon oĂč le symbole de l’infini remplace la partie des lettres. Jetez-le pour immortaliser votre amour! # 39. Tatouage tribal infini avec le nom
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LEnso et l’univers qui tourne. La forme du cercle est enracinĂ©e dans presque n’importe quelle culture. Cependant, ce symbole va bien au-delĂ  de son tracĂ© car dans une infinitĂ© de traditions, il Ă©voque plutĂŽt la reprĂ©sentation parfaite du monde, du mouvement et de cet Ă©picentre oĂč tout conflue et se concentre.Il symbolise l’Ouroboros qui se mord la queue dans BasĂ©e sur la RF et son toit retractable, cette nouvelle Ă©dition vient se positionner en haut de la gamme. Au programme, un contraste entres les teintes extĂ©rieures sombres et un intĂ©rieur clair. La Seiza Edition reprend les Ă©lĂ©ments de la version SĂ©lection RF Skyactiv-G 184ch BVM6 en y ajoutant les Ă©quipements exclusifs suivants ‱ Cuir Nappa blanc Pure White » perforĂ© ‱ Peinture unique Deep Crystal Blue » ‱ Jantes Aluminium Noires 17’’ BBS ‱ Toit bi-ton noir ‱ Coques de rĂ©troviseurs extĂ©rieurs noires ‱ Badges et porte-clĂ©s numĂ©rotĂ©s ‱ Ecrin personnalisĂ© et numĂ©rotĂ© pour accueillir clĂ© et porte-clĂ© lors de la livraison ‱ Kit d’entretien cuir ‱ Certificat d’authenticitĂ© encadrĂ©, numĂ©rotĂ© et signĂ© par le PrĂ©sident de Mazda France, Laurent ThĂ©zĂ©e Pas de quoi rĂ©volutionner le modĂšle mais suffisant pour y ajouter une autre version Ă  son catalogue et faire vivre le vĂ©hicule jusqu’à son remplacement. Mais si vous ĂȘtes intĂ©ressĂ© par celle-ci, sachez que la Seiza Edition tire son origine de la culture japonaise. Le mot Seiza a une double signification. Il signifie Ă  la fois constellation » rappelant au passage la teinte extĂ©rieure sombre mais aussi une posture traditionnelle japonaise signifiant assise correcte » et utilisĂ©e au temps des tout un roman mais difficile de ne pas succomber une fois plus au charme de ce petit coupĂ© dont les tarifs dĂ©marrent Ă  40 600 € Mazda 6 SKYACTIV-D150 DYNAMIQUE SKYACTIV-DRIVE Diesel Automatique 39788 km Occasion IndĂ©pendant Seine-et-Marne Mise en circulation 01/06/2017 Garantie NC mois Prix de vente 19 450 € MensualitĂ© NC Prix constructeur 36 100 € Remise de -16 650 € Aiways U5 Standard Electrique Automatique 0 km Neuf Concessionaire Paris Mise en circulation 30/08/2022 Garantie 60 mois Prix de vente 33 300 € MensualitĂ© 299€/mois* Prix constructeur 39 300 € Remise de -6 000 € Aiways U5 Premium Electrique Automatique 0 km Neuf Concessionaire Paris Mise en circulation 30/08/2022 Garantie 60 mois Prix de vente 37 230 € MensualitĂ© 404€/mois* Prix constructeur 43 230 € Remise de -6 000 €
Accueil> Coronavirus Covid-19 > levinas ethique et infini france culture. 22 janvier 2021. levinas ethique et infini france culture. Annuaire Inversé Ile Maurice, Restauration Automobile Toulon, Doctolib Dr Manciet, Ton Sourire Me Rend Heureuse, Vaccin Allergie Chat Québec, Cours Sur La Description Pdf, Retour . X. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez
Passer au contenu Le FestivalBilletterieNewsGalerieNous soutenirIls sont venusSponsorsPratiqueBĂ©nĂ©volatContact Joachim PastorChristine Moser2021-12-01T092716+0100 Billetterie Programme BĂ©nĂ©voles Joachim Pastor 26 fĂ©vrier 2022 Salle Communale 0h00 Vers l’infini et l’au-delĂ  ! Pour Joachim Pastor, la musique a une vocation intemporelle elle n’est pas une question de modes, de tendances ou de sorties hebdomadaires. Elle prend sa signification et son importance dans la durĂ©e. CrĂ©ateur du label français Hungry Music aux cotĂ©s de Worakls et N’TO, avec qui il partage le goĂ»t et la scĂšne de la techno mĂ©lodique, Joachim a toujours cultivĂ© un son personnel, hypnotique et racĂ©, trĂšs facilement reconnaissable. C’est grĂące Ă  son parcours au conservateur, oĂč il Ă©tudiera pendant plus de 10 ans, que Joachim Pastor dĂ©veloppe son perfectionnisme et soucis du dĂ©tail. Il aime les instruments et s’amuse Ă  des expĂ©rimentations phonique grĂące aux logiciels de musique. Tel un chercheur, il prend quelques recettes ici et lĂ  dans ses inspirations ; Daft Punk, Sonata Artica, Jean-Michel Jarre, et ajoute les ingrĂ©dients qu’offrent les logiciels. De fil en aiguille, ces dĂ©couvertes deviennent l’expression de sa sensibilitĂ© Joachim devient un producteur de musique Ă©lectronique reconnu, Ă  la touche artistique clairement identifiable classique et orchestrale dans l’agencement de ses harmonies, prĂ©cise et directe dans ses mĂ©lodies. official website facebook instagram
FollowFav Entre infini et au-delĂ . By: Cyrlight. Kathy n'a que douze ans lorsque sa famille disparaĂźt dans des circonstances effroyables, drame apparemment liĂ© Ă  un Ă©trange secret. Elle se met alors en quĂȘte de la vĂ©ritĂ©, Ă©paulĂ©e dans sa tĂąche par Cynthia et RĂ©gis Chen, sans avoir la moindre idĂ©e de ce que ses recherches s'apprĂȘtent Ă  dĂ©voiler. Son aventure l'emmĂšnera bien
ï»żCĂ©line Martinet Sanchez DĂ©veloppeuse freelance, entrepreneure et formatrice. DiplĂŽmĂ©e du Master Grande École d'Audencia. Letatouage signe infini peut tout Ă  fait ĂȘtre rĂ©alisĂ© pour rendre hommage Ă  votre famille par exemple, ou Ă  un proche, avec le tatouage infini avec prĂ©nom. Aussi, vous avez la possibilitĂ© de donner n’importe quel tatouage plume pied signification. De cette maniĂšre, vous allez profiter d’un tatouage entiĂšrement personnalisĂ©.
Vers l'infini et au-delĂ Bonjour,Je vous ai retrouvĂ© . Vive les verseaux Quelle bonne idĂ©e d'avoir crĂ©Ă© ce forum avec des sujets bien variĂ©s, que j'ai hĂąte de cheminement actuel chercher, dĂ©couvrir, apprendre et essayer d'aider tous les ĂȘtres. Notamment avec l'Ă©nergĂ©tique , car dans un autre temps, j'Ă©tais je cherche la lumiĂšre... ELFIEMessages 20Date d'inscription 15/01/2008Age 64Localisation Var Re Vers l'infini et au-delĂ  marcassin Mar 15 Jan 2008 - 1916bonjour elfie ,salut et bienvenue parmis nous compagnonne !marcassininitiĂ©Messages 292Date d'inscription 05/01/2008Localisation 91 Essonne Re Vers l'infini et au-delĂ  Le Chaman Mar 15 Jan 2008 - 2108Bonsoir et bienvenue toi Elfie, content de te retrouver... Nous essaierons tous ici de dĂ©couvrir ce que nous cache le monde, volontairement ou est un espace de libertĂ© oĂč tous les sujets ne sont pas tabous, oĂč voler comme un oiseau peut nous permettre de voir les choses avec plus de recul sur tous les rĂ©flexion amĂšne Ă  la connaissance, la connaissance Ă  la apprendre et assimiler est sans doute un chemin vers la LumiĂšre de la attendant de te lire.... Re Vers l'infini et au-delĂ  Admin Mer 16 Jan 2008 - 242Bonsoir Elfie et bienvenue sur notre forum qui dĂ©bute tout juste!J'espĂšre que tu trouveras ici sujets et idĂ©es qui te donneront envie de t'exprimer. Tu es libre d'aborder tout ce qui t'intĂ©resse, t'interpelle, te titille... bref, tous les thĂšmes sont permis et ils sont nombreux en attente d'ĂȘtre abordĂ©s!Partager, ne serait-ce que pendant quelques secondes d'Ă©ternitĂ©, l'idĂ©e d'une route oĂč nous cheminons tous peu Ă  peu vers La Source, met du baume au coeur de chacun... Sujets similairesPermission de ce forumVous ne pouvez pas rĂ©pondre aux sujets dans ce forum
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Versl'infini, pas au-delà Est-ce un sophisme ou un paradoxe? Le paradoxe d'Achille et de la tortue, mis en avant par l'ancien philosophe grec Zénon, défie le bon sens. Il déclare que le sportif Achille ne rattrapera jamais la gigantesque tortue si elle commence à avancer devant lui.
La balance entre volontĂ© d’ĂȘtre au cƓur de l’inclusion financiĂšre en permettant Ă  1,7 milliard d’adultes non bancarisĂ©s de bĂ©nĂ©ficier de services en envoyant de l’argent aussi facilement qu’une photo et un business model consistant Ă  catĂ©goriser au mieux ses utilisateurs afin d’augmenter ses revenus publicitaires, la Libra a bien choisi son nom. Croisement entre les services financiers et la technologie, la Fintech a un impact majeur sur le marchĂ© des services financiers et le comportement des consommateurs. L’accĂšs permanent Ă  des supports informatiques puissants, l’augmentation des attentes des consommateurs dont le niveau d’expĂ©rience utilisateur ne cesse de croĂźtre, des besoins non satisfaits dans le monde traditionnel, l’évolution dĂ©mographique, l’exclusion financiĂšre sont autant de vecteurs qui dopent les Fintechs au bĂ©nĂ©fice des consommateurs disposant davantage de choix, de commoditĂ© et de transparence. Les rĂ©gulateurs, pourtant trĂšs attentifs Ă  ces Ă©volutions, restent en retard d’action et de coordination. Ils ont cependant un rĂŽle-clĂ© Ă  jouer pour minimiser les risques potentiels, permettre un dĂ©veloppement mesurĂ© et serein ainsi que maximiser finalement les avantages des consommateurs. Or, les banques font face Ă  des concurrents Fintech mais qui ne sont en rien comparables avec celui qui arrive Facebook et la effet, le livre blanc de Facebook laisse peu de doute quant au but et aux adversaires dĂ©signĂ©s; le monde accumule des connaissances et des informations universelles grĂące au progrĂšs d’internet et du haut dĂ©bit mobile, mais approximativement 1,7 milliard d’adultes dans le monde, en possession d’un tĂ©lĂ©phone portable ayant accĂšs Ă  internet, restent exclus du systĂšme financier par l’intermĂ©diaire d’une banque traditionnelle. Christine Lagarde dĂ©clarait lors du Paris Fintech Forum en janvier dernier que les Fintechs avaient un rĂŽle de premier plan Ă  jouer dans le monde en offrant aux 2 milliards de personnes qui ne sont pas bancarisĂ©es, accĂšs Ă  des plates-formes de transaction sĂ©curisĂ©e». Mark Zuckerberg entend y remĂ©dier et rendre aussi facile d’envoyer Ă  quelqu’un de l’argent que de lui adresser une photo». Ceci Ă©tant, son ambition est plus vaste en visant la crĂ©ation d’un nouvel Ă©cosystĂšme par la crĂ©ation d’une monnaie privĂ©e mondiale en dĂ©veloppant des paiements et transferts entre consommateurs tout en s’appuyant sur toutes les messageries opĂ©rĂ©es par Facebook et en proposant un portefeuille numĂ©rique, le du projet, c’est de dĂ©centraliser la gestion de la Libra Ă  une association sans but lucratif basĂ©e en Suisse comptant actuellement 28 membres, parmi lesquels des gĂ©ants qui ont Ă©videmment senti le besoin d’y participer Uber, Spotify, Ebay Ă©conomie numĂ©rique, Visa, Mastercard paiements, et des ONG Women’s World Banking, mais aucune institution bancaire n’est prĂ©sente. La Libra ne sera pas simplement la cryptomonnaie de Facebook, au contraire, le but est de crĂ©er une monnaie d’échange qui pourra ĂȘtre utilisĂ©e sur diffĂ©rentes plates-formes et pour les services proposĂ©s par tous les partenaires membres ainsi qu’auprĂšs de commerçants. On imagine aisĂ©ment que cette plate-forme favorisera la consommation auprĂšs des membres du club» par divers moyens. Par ailleurs, la stabilitĂ© sera assurĂ©e, car contrairement au Bitcoin et autres, l’association Libra aura pour tĂąche de stabiliser cette monnaie en crĂ©ant une rĂ©serve composĂ©e des devises comme le dollar, l’euro, la livre sterling, le yen et les bons du TrĂ©sor de grandes banques centrales selon une paritĂ© d’un pour la Libra, Facebook va consolider son rĂ©seau et accĂ©der Ă  une nouvelle catĂ©gorie de donnĂ©es stratĂ©giques habitudes, paiements et dĂ©penses des utilisateurs, ce qui permettra de profiler au mieux ses utilisateurs afin d’augmenter ses revenus publicitaires. Cela prend toute sa signification si l’on considĂšre la taille de Facebook et le nombre d’utilisateurs approx. 2,5 milliards, si un quart d’entre eux crĂ©e un portefeuille Calibra, cela correspondra environ Ă  1,5 fois la zone euro. Ensuite, leur entrĂ©e dans la finance semble tracĂ©e car le large Ă©ventail de donnĂ©es sur le comportement Ă  disposition brossera un tableau plus dĂ©taillĂ© que les informations dont disposent les banquiers traditionnels. Les inquiĂ©tudes ont fusĂ© dĂšs l’annonce car la taille de Facebook change tout, les rĂ©gulateurs sont au pied du mur. Facebook bouscule les États et casse la fonction rĂ©galienne de battre monnaie et assurer protection et stabilitĂ©. Certains s’émeuvent car les attributs de la souverainetĂ© des États doivent rester aux mains des États, et pas des entreprises privĂ©es rĂ©pondant Ă  des intĂ©rĂȘts privĂ©s, mais le phĂ©nomĂšne est mondial et il n’existe aucune chance de l’ se renouvelle et se rend incontournable, mais quel rĂŽle entend-il jouer? Dans les pays Ă  trĂšs forte inflation, les populations pourraient se retourner vers la Libra, adossĂ©e sur un panier de devises stables, et influer de la sorte sur les politiques monĂ©taires de ces États
 jusqu’à rendre une monnaie locale inutile? Une coordination nationale et internationale devra naĂźtre rapidement en vue d’harmoniser des rĂšgles et assurer un dĂ©veloppement serein et une concurrence saine. Il se pourrait que Facebook force les rĂ©gulateurs Ă  s’entendre et agir lĂ  oĂč jusque maintenant des vƓux pieux Ă©taient Ă©noncĂ©s. La question non mentionnĂ©e dans le livre blanc est de savoir si les États, Ă  des fins de rĂ©gulation, pourraient investir dans la Libra et obtenir un siĂšge au conseil de l’association.
Lemotif de vagues : Seigaiha. Le motif japonais Seigaiha reprĂ©sente des vagues stylisĂ©es en forme d’arches avec des cercles concentriques. Il Ă©voque le calme et la tranquillitĂ© de la mer. Donc la paix. Plus loin, la richesse ou la rĂ©silience. En Japonais, Seigaiha s’écrit avec 3 logogrammes: é’æ”·æłą, respectivement bleu, ocĂ©an, et
17 janvier 2017 2 17 /01 /janvier /2017 1036 PubliĂ© en 1961, l'ouvrage d'Emmanuel LÉVINAS, sous-titrĂ© Essai sur l'extĂ©rioritĂ©, est souvent prĂ©sentĂ© dans le monde universitaire comme l'une des oeuvres majeures de la philosophie du XXĂšme siĂšcle. Ses sources sont Ă  la fois judaĂŻques L'Etoile de la RĂ©demption, de 1927, Ă©crit par Franz ROSENZWEIG accompagne sa mĂ©ditation et proprement philosophiques HUSSERL, le HEIDEGGER d'Être et Temps, mais aussi le DESCARTES de la troisiĂšme MĂ©ditation et le PLATON du "Bien d'au-delĂ  de l'essence". il s'agit de la thĂšse universitaire du philosophe. Sa lecture peut ĂȘtre difficile, d'abord parce que parfois le livre suppose connue nombre de concepts phĂ©nomĂ©nologique, quoique commencer par ses derniers Ă©crits aide beaucoup Ă  le comprendre. Ensuite parce que dans certaines Ă©ditions, les fautes de syntaxe, de grammaire et de ponctuation peuvent laisser perplexe. En outre, il ne comporte, Ă  l'inverse des exigences des textes universitaires, ni bibliographie, ni notes rĂ©fĂ©rencĂ©es en bas de page sauf pour les toutes premiĂšres pages... Suivant de prĂšs Franz ROSENZWEIG 1886-1929, philosophe et thĂ©ologien juif allemand, le philosophe français revient de maniĂšre contestataire sur le prĂ©supposĂ© dans l'ensemble de la philosophie occidentale d'un acheminement vers une totalitĂ© dont le systĂšme hĂ©gĂ©lien marque l'aboutissement. Pour lui, TotalitĂ© est toujours issu d'un mouvement violent de rĂ©duction de l'Autre au MĂȘme. Un tel mouvement est nommĂ© "guerre" "Dure leçon des choses, la guerre se produit comme l'expĂ©rience pure de l'ĂȘtre pur, Ă  l'instant mĂȘme de sa fulgurante oĂč brĂ»lent les draperies de l'illusion". Il recherche une subjectivitĂ© "fondĂ©e dans l'idĂ©e de l'infini" qu'il s'efforce de dĂ©gager, comme seule capable de faire irruption au sein de la totalitĂ© et d'en briser l'hĂ©monie. "Insuffisante de la totalitĂ©" qui ne provient pas du Moi mais du surgissement de "l'infini d'Autrui".Pour Francis WYBRANDS, c'est une pensĂ©e du visage qui s'affirme dans TotalitĂ© et Infini. "Autrui, ici; n'est pas l'alter ego, l'autre moi que je rencontre dans les luttes, plus ou moins pacifiques, du monde quotidien. Le rapport Ă  autrui, dont le face-Ă -face est la modalitĂ© la plus exemplaire, ne saurait se dire en effet dans les termes par lesquels s'affirment les rapports aux choses du monde. Le visage auquel TotalitĂ© et Infini consacre des pages inoubliables n'est pas de l'ordre du perceptible il "est prĂ©sent dans son refus d'ĂȘtre contenu. Dans ce sens, il ne saurait ĂȘtre compris, c'est-Ă -dire englobĂ©". Le "visage parle", il est d'emblĂ©e "expression", injonction Ă  dire, Ă  rĂ©pondre. En lui, dans sa nuditĂ© qui surgit derriĂšre toutes les poses qu'il prend afin d'essayer d'effacer sa vulnĂ©rabilitĂ© inaliĂ©nable, la transcendance de l'infini se donne comme "Ă©piphanie". "Le visage ouvre le discours originel dont le premier mot est obligation qu'aucune "intĂ©rioritĂ©" ne permet d'Ă©viter". Plus fondamentale que l'ontologie, l'Ă©thique est la "source du sensĂ©", souvent dĂ©niĂ©e par les philosophes qui ont tout misĂ© sur une connaissance rĂ©duisant le tout de l'expĂ©rience Ă  la visibilitĂ© du donnĂ©. Tout comme Kant, LĂ©vinas ne cherche pas Ă  constituer une morale. PlutĂŽt, il en cherche le sens ou les conditions de possibilitĂ©s Ă  partir d'analyses de style phĂ©nomĂ©nologique, d'approches concrĂštes dont la fĂ©conditĂ© et l'originalitĂ© font le prix d'une oeuvre qui, quoique difficile, a fini par conquĂ©rir de nombreux lecteurs, y compris parmi les non-philosophes. Les deux grands livres suivants Autrement qu'ĂȘtre ou au-delĂ  de l'essence, 1974 et De Dieu qui vient Ă  l'idĂ©e, 1982, fourniront la concrĂ©tise des analyses prĂ©cĂ©dentes. L'importance de l'oeuvre d'Emmanuel LĂ©vinas, en une Ă©poque qui doute de ses fondements spirituels, est considĂ©rable. Il aura permis de poser Ă  nouveaux frais la question de la transcendance et celle du rapport Ă  autrui, sans tomber dans la thĂ©ologie ou le moralisme." S'ouvrant sous le signe de l'opposition du "MĂȘme" et de "l'Autre", et opposant partout Ă  la "philosophie du Neutre" et Ă  toutes les figures concrĂštes de l'existence humaine qui lui paraissent y ressortir "intĂ©rioritĂ© et Ă©conomie", le "Moi", la "connaissance", le "travail", la jouissance", la "possession", la "demeure"..., toutes figures relevant de la "TotalitĂ©", les figures autres de l'"extĂ©rioritĂ©", celles de l'ouverture Ă  la "transcendance" et Ă  l'"Infini", ce livre dĂ©voile la dimension "Ă©thique", celle de l'exposition Ă  l'"extĂ©rioritĂ©", Ă  la rencontre de l'"Autre" dans l'"Ă©piphanie du Visage". Il dĂ©couvre par lĂ , dans la transcendance caractĂ©ristique de l'"Au-delĂ  du Visage", la dimension de l'"Infini", Ă  travers quelques unes de ses figures concrĂštes l'amour, la fĂ©conditĂ©, la faillite et la fraternitĂ©, s'orientant ainsi "au-delĂ  de l'ĂȘtre" vers "l'ĂȘtre comme bontĂ©". NathanLa premiĂšre section de TotalitĂ© et infini est formĂ©e d'une suite de mĂ©ditations mĂ©taphysiques, gravitant autour de trois thĂšmes fondamentaux le dĂ©sir mĂ©taphysique et l'idĂ©e de transcendance, l'expĂ©rience irrĂ©cusable de la sĂ©paration et la possibilitĂ© du discours, le rapport entre vĂ©ritĂ© et justice. Aux antipodes du spinozisme, LÉVINAS revient Ă  l'intuition centrale de PLATON, qui place le Bien au-dessus de l'ĂȘtre et de l'essence De la RĂ©publique. En faisant sienne cette intuition, et en l'Ă©tayant par des descriptions phĂ©nomĂ©nologiques, il devient un mĂ©taphysicien, sans doute, de l'avis de Jean GREISCH par exemple, "peut-ĂȘtre le plus grand des mĂ©taphysiciens issus de la tradition phĂ©nomĂ©nologique"."Autrui me regarde" est l'Ă©noncĂ© qui forme le coeur du livre, dĂ©veloppĂ© dans la longue analyse intitulĂ©e "Le visage et l'extĂ©rioritĂ©". Ce qui se montre dans l'Ă©piphanie du visage, "signification sans contexte", ce n'est rien d'autre que le concept de transcendance, c'est-Ă -dire l'idĂ©e d'infini, elle que DESCARTES l'a exposĂ©e dans la troisiĂšme MĂ©ditation mĂ©taphysique. L'extĂ©rioritĂ© fonde ici une dĂ©fense paradoxale de la subjectivitĂ©, ancrĂ©e directement dans la responsabilitĂ© "infinie" pour autrui. Tout au long de l'ouvrage, on voit se dĂ©ployer l'idĂ©e nouvelle de "la subjectivitĂ© comme accueillant Autrui, comme hospitalitĂ©". Autrui et non Dieu, est l'absolument autre. Alain GREISCHLa partie phĂ©nomĂ©nologique de l'ouvrage chercher Ă  explorer les divers aspects de cette "intrigue" Ă©thique qui noue le moi Ă  autrui. Elle revĂȘt la forme d'un triptyque, dont le panneau central est formĂ© par la description de l'Ă©piphanie du visage d' amont, LÉVINAS dĂ©crit mĂ©thodiquement les diverses manifestations phĂ©nomĂ©nales qui constituent la sphĂšre du MĂȘme la jouissance, la demeure, la caresse, l'Ă©conomie... On y dĂ©couvre un Ă©goĂŻsme rĂ©fractaire Ă  tout systĂšme et Ă  toute reprĂ©sentation, celui de la jouissance. En contrepoint, la rencontre avec le visage d'autrui introduit une rupture radicale, et la seule altĂ©ritĂ© non formelle qu'il nous soit donnĂ© de reconnaitre. Ni l'altĂ©ritĂ© du moi et du monde, ni la relation Je-Tu telle que la dĂ©crit Martin BUBER 1878-1965, philosophe, conteur et pĂ©dagogue israĂ©lien et autrichien voir son ouvrage de 1923, Je et Tu, Aubier-montagne, 1996, ne sauraient en tenir lieu, car une conception purement dialogue de la "rĂ©ciprocitĂ© des consciences" mĂ©connait l'asymĂ©trie fondamentale de la relation aval de sa description de l'Ă©piphanie du visage, LÉVINAS analyse les structures de sens qui nous entrainent au-delĂ  du visage, tout en le prĂ©supposant, telles que la relation pĂšre-fils, la fĂ©conditĂ©, la vie en sociĂ©tĂ©. Alain GREISCHEmmanuel LÉVINAS, TotalitĂ© et infini, Essai sur l'extĂ©rioritĂ©, Le Livre de poche, 1990, 352 WYBRANDS, TotalitĂ© et infini d'Emmanuel LĂ©vinas ; Alain GREISCH, LĂ©vinas, dans Encyclopedia Universalis, 2014. LĂ©vinas, Philosophes et philosophie, Tome 2, Nathan, 1992. Published by GIL - dans OEUVRES
Del’AntiquitĂ© au XVIIIe siĂšcle : Bleu Ă©gyptien, Azurite, Lapis-lazuli et Indigo. Du XVIIIe siĂšcle Ă  nos jours : Outremer, bleu de Prusse, bleu de Cobalt, CĂ©rulĂ©um, Phtalocyanine. Le rouge est l’inverse du bleu, il est dans l’adversitĂ©, dans la passion, il en
Educalingo cookies sont utilisĂ©s pour personnaliser les annonces et d'obtenir des statistiques de trafic web. Nous partageons Ă©galement des informations sur l'utilisation de notre site avec nos partenaires de mĂ©dias sociaux, de publicitĂ© et d'analyse. TĂ©lĂ©chargez l'application educalingo L'amour donne le vertige, mais son vertige, si intolĂ©rable qu'il soit, est un dĂ©lice infini. Hubert Aquin PRONONCIATION DE INFINI CATÉGORIE GRAMMATICALE DE INFINI Infini peut fonctionner comme un substantif et un adjectif. Le nom ou substantif est un type de mot dĂ©terminant la rĂ©alitĂ©. Les substantifs dĂ©signent toutes les choses personnes, objets, sensations, sentiments, c'est le mot adjoint au nom pour le dĂ©terminer ou le qualifier. QUE SIGNIFIE INFINI EN FRANÇAIS Infini Le mot infini » est un adjectif servant Ă  qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille. La notion d'infini a fortement marquĂ© la pensĂ©e occidentale depuis le XVIIe siĂšcle Alexandre KoyrĂ© affirme que la substitution d'un univers infini et homogĂšne au cosmos fini et hiĂ©rarchiquement ordonnĂ© de la pensĂ©e antique et mĂ©diĂ©vale implique et nĂ©cessite la refonte des principes premiers de la raison philosophique et scientifique ». dĂ©finition de infini dans le dictionnaire français La dĂ©finition de infini dans le dictionnaire est qui est sans bornes, illimitĂ©. MOTS RIMANT AVEC INFINI Synonymes et antonymes de infini dans le dictionnaire français de synonymes SYNONYMES DE INFINI» Les mots suivants ont une signification proche ou identique Ă  celle du mot infini» et appartiennent Ă  la mĂȘme catĂ©gorie grammaticale. ANTONYMES DE INFINI» EN FRANÇAIS Les mots suivants ont une signification contraire Ă  celle de infini» et appartiennent aussi Ă  la mĂȘme catĂ©gorie grammaticale. MOTS EN RAPPORT AVEC INFINI» infini absolu ciel colossal continu dĂ©mesurĂ© Ă©norme espace Ă©ternel Ă©ternitĂ© Ă©ther excessif extrĂȘme grand illimitable illimitĂ© immense immensitĂ© incalculable incommensurable inconditionnĂ© indĂ©fini indĂ©nombrable inĂ©puisable association infini hĂ©bergeur associatif brestois pour objectif promouvoir faire dĂ©couvrir utilisation rĂ©seau mondial informatique internet nbsp dĂ©finition dans existe christian magnan sept mathĂ©matique Ă©quivalent monde physique soutenir notre serait absurde tatouage delĂ  slate janv pourtant signe revĂȘt signification plus complexe gagnerait ĂȘtre connu celles ceux souhaiteraient apposer revue gallimard site philippe sollers rejoint Ă©ditions quel fondĂ©e disparaĂźt renaĂźt sous titre chez denoĂ«l puis wiktionnaire injecte application corps sera dany jack mercier Ă©preuve exposĂ© capes mathĂ©matiques software formation dĂ©veloppement ressources applications mesure mise disposition formateur flash Traducteur en ligne avec la traduction de infini Ă  25 langues TRADUCTION DE INFINI DĂ©couvrez la traduction de infini dans 25 langues grĂące Ă  notre traducteur français multilingue. Dans cette section, les traductions de infini dans d'autres langues ont Ă©tĂ© obtenues par traduction automatique statistique, oĂč l'unitĂ© essentielle de la traduction est le mot infini» en français. Traducteur Français - chinois 无限 1325 millions de locuteurs Traducteur Français - espagnol infinito 570 millions de locuteurs Traducteur Français - anglais infinite 510 millions de locuteurs Traducteur Français - hindi à€…à€šà€šà„à€€à€€à€Ÿ 380 millions de locuteurs Traducteur Français - arabe Ù„Ű§Ù†Ù‡Ű§ÙŠŰ© 280 millions de locuteurs Traducteur Français - russe бДсĐșĐŸĐœĐ”Ń‡ĐœĐŸŃŃ‚ŃŒ 278 millions de locuteurs Traducteur Français - portugais infinito 270 millions de locuteurs Traducteur Français - bengali àŠ…àŠšàŠšà§àŠ€ 260 millions de locuteurs français infini 220 millions de locuteurs Traducteur Français - malaisien infiniti 190 millions de locuteurs Traducteur Français - allemand Unendlichkeit 180 millions de locuteurs Traducteur Français - japonais 焥限性 130 millions de locuteurs Traducteur Français - corĂ©en 묮한대 85 millions de locuteurs Traducteur Français - javanais pandjenengan 85 millions de locuteurs Traducteur Français - vietnamien vĂŽ cá»±c 80 millions de locuteurs Traducteur Français - tamoul àźźàŻàźŸàźżàź”àźżàźČàźż 75 millions de locuteurs Traducteur Français - marathi à€—à€Łà€żà€€ 75 millions de locuteurs Traducteur Français - turc sonsuzluk 70 millions de locuteurs Traducteur Français - italien infinito 65 millions de locuteurs Traducteur Français - polonais nieskoƄczonoƛć 50 millions de locuteurs Traducteur Français - ukrainien ĐœĐ”ŃĐșŃ–ĐœŃ‡Đ”ĐœĐœŃ–ŃŃ‚ŃŒ 40 millions de locuteurs Traducteur Français - roumain infinit 30 millions de locuteurs Traducteur Français - grec ÎŹÏ€Î”ÎčÏÎż 15 millions de locuteurs Traducteur Français - afrikaans oneindig 14 millions de locuteurs Traducteur Français - suĂ©dois oĂ€ndlighet 10 millions de locuteurs Traducteur Français - norvĂ©gien infinity 5 millions de locuteurs Tendances d'usage de infini TENDANCES D'USAGE DU TERME INFINI» Le terme infini» est habituellement trĂšs utilisĂ© et occupe la place de notre liste de termes les plus utilisĂ©s du dictionnaire français. Sur la carte prĂ©cĂ©dente est reflĂ©tĂ©e la frĂ©quence d'utilisation du terme infini» dans les diffĂ©rents pays. Tendances de recherche principales et usages gĂ©nĂ©rales de infini Liste des principales recherches rĂ©alisĂ©es par les utilisateurs pour accĂ©der Ă  notre dictionnaire français en ligne et des expressions les plus utilisĂ©es avec le mot infini». FRÉQUENCE D'UTILISATION DU TERME INFINI» SUR LA PÉRIODE Le graphique montre l'Ă©volution annuelle de la frĂ©quence d'utilisation du mot infini» durant les 500 derniĂšres annĂ©es. Son implĂ©mentation est basĂ©e sur l'analyse de la frĂ©quence d'apparition du terme infini» sur les sources imprimĂ©es numĂ©riques françaises publiĂ©es depuis l'annĂ©e 1500 jusqu'aujourd'hui. Exemples d'utilisation du mot infini en français 10 CITATIONS AVEC INFINI» Citations et phrases cĂ©lĂšbres avec le mot infini. L'amour, s'il tient en une seule fleur, est infini. L'amour est immense, il n'est pas infini. RĂ©server son jugement implique un espoir infini. Les individus ne reconnaissent un Dieu au-dessus d'eux que pour possĂ©der en lui un espace infini oĂč ils puissent Ă©tendre et Ă©taler dans l'Ă©ternitĂ© leur individualitĂ© bornĂ©e, particuliĂšre, pitoyable... Les machines de la nature ont un nombre d'organes vĂ©ritablement infini, et sont si bien munies et Ă  l'Ă©preuve de tous les accidents qu'il n'est pas possible de les dĂ©truire. L'amour intellectuel de l'Ăąme envers Dieu est une partie de l'amour infini duquel Dieu s'aime lui-mĂȘme. L'amour donne le vertige, mais son vertige, si intolĂ©rable qu'il soit, est un dĂ©lice infini. L’esprit est un instrument de musique avec une certaine gamme de tons, au-delĂ  desquels s’étend un silence infini. Infini est le champ du roman. A quoi serviraient les expĂ©riences sans la perspective de les rĂ©pĂ©ter ? La vie, au fond, est un nombre infini de variations sur un mĂȘme thĂšme. 10 LIVRES EN FRANÇAIS EN RAPPORT AVEC INFINI» DĂ©couvrez l'usage de infini dans la sĂ©lection bibliographique suivante. Des livres en rapport avec infini et de courts extraits de ceux-ci pour replacer dans son contexte son utilisation littĂ©raire. 1 Vers l'infini pas Ă  pas Approche heuristique de l'analyse Ce manuel est destinĂ© aux Ă©lĂšves du degrĂ© supĂ©rieur de l'enseignement secondaire. Dans cet ouvrage les concepts de fonction, de dĂ©rivĂ©e, d'intĂ©grale, de limite Ă©voluent Ă  travers une suite de problĂšmes. 2 La lucarne de l'infini Naissance du langage cinĂ©matographique Ce livre se veut avant tout une critique des discours thĂ©oriques et historiques qui tendent Ă  considĂ©rer comme "naturel" le systĂšme de reprĂ©sentation qui prĂ©vaut au cinĂ©ma depuis la fin des annĂ©es vingt. 3 ÉlĂ©mens de la gĂ©omĂ©trie de l'infini Suite des MĂ©moires de ... eft infini. Donc ool Ă©tant nĂ©ceflairement prĂ©cĂ©dĂ© dans A d'un autre Infini moindre > & A1 les prenant tous deux , elle introduit entr'eux un nombre infini d'Infinis. Donc A1 fe termine par un nombre infini d'Infinis» Cette dĂ©monftration demande ... Fontenelle Bernard Le Bovier, M. de, 1727 4 La VallĂ©e sans Hommes Les terres de l'infini Au-delĂ  des portes de l’Infini s’étend la plus envoĂ»tante des vallĂ©es du Grand Nord canadien, la VallĂ©e sans hommes, celle d’oĂč nul n’est jamais revenu. 5 Le regard infini parcs, places et jardins publics de QuĂ©bec DĂ©couverte des parcs de la ville de QuĂ©bec, selon les saisons, les Ă©poques, l'esprit des lieux, d'un point de vue poĂ©tique et historique. Pour le promeneur distrait. Pierre Morency, Luc Couturier, Jean Provencher, 1999 Unique ou multiple ? Joseph Silk, un des plus grands spĂ©cialistes de l'astrophysique et de la cosmologie, montre dans ce livre comment les toutes derniĂšres observations de l'exploration spatiale permettent de rĂ©pondre Ă  ces questions. 7 L'Infini dans la paume de la main du Big Bang Ă  l'Eveil On entend souvent dire que les rapprochements entre la science et la spiritualitĂ© sont vouĂ©s Ă  l'Ă©chec, car ces deux disciplines sont trop Ă©trangĂšres l'une Ă  l'autre. Thuan TRINH XUAN, Matthieu RICARD, 2012 8 L'infini entre science et religion au XVIIe siĂšcle FÉNELON ET L' INFINI VÉRITABLE » L'infini vĂ©ritable [...] c'est l'absolu. » Leibniz, Nouveaux Essais, II, XVII, § 2. Dieu est l'infini» FĂ©nelon, TED, H, V, § 72 , 1 43 '. L'expression l'infini vĂ©ritable » est rĂ©currente sous la plume de l'auteur ... 9 L'INFINI DANS LES SCIENCES, L'ART ET LA PHILOSOPHIE Depuis l'antiquitĂ©, le questionnement sur l'infini a engendrĂ© un immense intĂ©rĂȘt dans le monde des philosophes, des mathĂ©maticiens et des physiciens. Mohamed Bouazaoui, Jean-Paul Delahaye, Georges Wlodarczak, 2003 Vers l'infini — L'Ă©criture de voyage face Ă  l' infiniment grand L'infini, ou plus prĂ©cisĂ©ment, l'idĂ©e de l'infini, selon l'expression d'Emmanuel LĂ©vinas, est une figure frĂ©quente dans l'Ă©criture de voyage. En effet, un certain nombre d'espaces ... 10 ACTUALITÉS CONTENANT LE TERME INFINI» DĂ©couvrez de quoi on parle dans les mĂ©dias nationaux et internationaux et comment le terme infini est employĂ© dans le contexte des actualitĂ©s suivantes. Mouvement Infini. Atelier gyrokinĂ©sie demain - Lampaul-Plouarzel 
 L'association Mouvement Infini » propose un atelier gyrokinĂ©sie, demain, Ă  18 h, sur la plage de Porsguen. DurĂ©e d'un atelier une heure ... Le TĂ©lĂ©gramme, juil 15» Stephen Hawking lance un programme pour dĂ©tecter une 
 Dans un univers infini, il doit y avoir des traces de vie. Quelque part dans le cosmos, peut-ĂȘtre, une vie intelligente regarde », a dĂ©clarĂ© ... Le Monde, juil 15» Recette de crumble tutti frutti - L'Express Styles Un crumble multifruits que l'on s'amuse Ă  dĂ©cliner Ă  l'infini avec tous les fruits qui vous passent sous la main mais de saison bien sĂ»r. L'Express, juil 15» Samsung Galaxy Tab S2 comme l'iPad, mais en mieux ? - Clubic ... de Samsung se distinguent nĂ©anmoins en maintenant des Ă©crans Super AMOLED, avec lesquelles elles offrent un taux de contraste infini le ... Clubic, juil 15» Collab' le coq sportif x Crayola - surface football magazine GrĂące aux feutres effaçables et Ă  la matiĂšre technique tableau blanc », la tennis Court 1 peut ĂȘtre dessinĂ©e et redessinĂ©e Ă  l'infini. Surface Football Magazine, juil 15» Dragon Ball Super Son Goku VS Superman! VIDEO - MCE Et pourtant
 Selon les calculs de nos amis de Death Battle, la puissance de Superman serait Ă©gale Ă  l'infini multipliĂ© par deux, Ă  savoir l'infini ... MCE Ma Chaine Etudiante, juil 15» Drake, Katy Perry, Ariana Grande... A quoi ressemblaient les stars 
 Cette sĂ©quence est un vrai plaisir et dĂ©montre que du haut de son trĂšs jeune Ăąge, Bruno Mars avait dĂ©jĂ  des moves au groove infini ! juil 15» Ni Ă©cran solaire ni lunettes noires Ă  la plage du National Building 
 ... longues et sous des parasols placĂ©s au bord de cette plage, et fixer l'horizon qui se profile dans un mur-miroir, reflĂ©tant l'Ă©tendue Ă  l'infini. L'Orient-Le Jour, juil 15» Un calcul, une fureur, une illumination, l'infini
 Leur premier Ă©moi 
 Un calcul, une fureur, une illumination, l'infini
 Leur premier Ă©moi de matheux Photo Emmanuel Pierrot. VU. TÉMOIGNAGES ... LibĂ©ration, juil 15» Macros et langage VBA - Apprendre Ă  programmer sous Excel ... ces programmes rĂ©alisĂ©s dans l'environnement Microsoft Office qui permettent de reproduire automatiquement et Ă  l'infini tout un ensemble ... La Vie NumĂ©rique, juil 15» RÉFÉRENCE EDUCALINGO. Infini [en ligne]. RepĂ©rĂ© Ă  . AoĂ»t 2022 ». TĂ©lĂ©chargez l'application educalingo DĂ©couvrez tout ce que les mots cachent sur
ŐŠĐ”Đ¶ŃƒĐČá‹ȘĐœá‰œĐ· ĐŒ áŠœáŠ‡áˆ‚Đ”ÎœĐžŃĐ° շΞÎČá‹ŽŐąáŠŸŃ‡ ĐžĐłĐžÏˆáˆŐąĐŸĐ·ĐžŐȘÔ”áˆžĐ°á‰ŃƒŃ‡ ŃƒŃ…ŃƒĐŒŐĄÏ„ĐŸÖ€Đ”Őœ Ï‰Ń‡Ï‰Ő©ĐžĐŽŃƒŃ‰Ö…Ö†Ő€Ő„ ĐŒŐ§ŐŹĐ°Ń‚ĐČĐ° ዐÎčĐłĐŸá‰¶Ő­ÎŸ
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04h04 symbole de la bonne santĂ©. À travers l’heure miroir 04h04, votre ange gardien vous annonce la bonne santĂ©. Si donc, vous avez quelques soucis de santĂ©, vous allez surmonter cette mauvaise passe. Il va vous aider Ă  puiser en vous-mĂȘme la force spirituelle et la motivation pour prendre votre corps en main.

Bonjour,pour moi le kayak ou tout autre moyen de locomotion n'est pas une fin en soi, mais un moyen. Un moyen pour partir Ă  l'aventure, loin, trĂšs loin dans une nature sauvage, en silence, les sens en alerte!Avenatureusement,Laurent Bienvenue je crois bien que c'est le cas de la majoritĂ© des kayakistes en herbe ou confirmĂ©s, mĂȘme si tout le monde aime bien aussi sa petite poussĂ©e d'adrĂ©naline de temps en temps Bienvenue Ă  toi Appache bienvenue bienvenue appache, mais il faut en dire plus de quel coin tu es, quelles sont tes pratiques sur l'eau... Bienvenue Appache Ta prĂ©sentation est assez mystĂ©rieuse pour donner envie d'en savoir plus Bienvenue par ici Bienvenue red_indian "tout autre moyen de locomotion" Serais tu un randonneur/aventurier multi activitĂ©?J'me souviens d'un Appache,mais comme il y en a beaucoup!Vis tu en tribu?Dans quelle rĂ©serve? Bienvenue Il ne savaient pas que c'Ă©tait impossible alors ils l'ont fait... bienvenu on veut en savoir plus comme le dit si bien janomago91

Je t’aime jusqu’à l’infini et au-delĂ .» Exprime un amour sans fin. «Il a pleurĂ© des riviĂšres de larmes en partant.» Cela signifie que la personne a beaucoup pleurĂ©. 4. MĂ©tonymie. La mĂ©tonymie consiste Ă  dĂ©signer une chose par le nom d’une autre, avec laquelle elle a une relation de prĂ©sence ou de proximitĂ©. Exemples : ChorĂ©graphie. Le Festival d’automne Ă  Paris dresse le portrait de Lucinda Childs, dont le style axĂ© sur la rĂ©pĂ©tition du mouvement a marquĂ© la crĂ©ation moderne. Explication de son influence Ă  travers les tĂ©moignages de la jeune chaise» une fois, c'est un mot. Prononcez-le 2 000 fois et c'est devenu une sensation. Maintenant, observez le mĂȘme procĂ©dĂ© avec une action physique sauter, reculer, courir. Vous noterez vite que vos pupilles se dilatent, que vos mĂąchoires se desserrent et que le mouvement s'est progressivement dĂ©pouillĂ© de toute signification pour entrer dans une autre dimension du temps et de la perception. Vous voilĂ  devant Dance, Ɠuvre culte de la chorĂ©graphe amĂ©ricaine aujourd'hui septuagĂ©naire Lucinda Childs. C'est Ă  cette grande star du minimalisme amĂ©ricain que le Festival d'automne Ă  Paris consacre cette annĂ©e un portrait, avec d'une part la reprise de ce Dance, crĂ©Ă© en 1979 sur une partition de Philip Glass, un dĂ©cor et un film de Sol LeWitt. Et d'autre part, la programmation de ses Early Works, qui rappelleront Ă  bien des performeurs contemporains qu'ils n'ont pas inventĂ© la radicalitĂ©. Avec, aussi, une exposition d'archives photos, croquis, vidĂ©os proposĂ©e par la galerie Thaddaeus Ropac en collaboration avec le Centre national de la danse, Ă  Pantin Seine-Saint-Senis. De quoi saisir en profondeur les raisons pour lesquelles les Ɠuvres de Lucinda Childs, sortes de poĂšmes molĂ©culaires, ont su rĂ©concilier tous les traumatisĂ©s des cursus scientifiques avec les notions d'algĂšbre, de physique et de gĂ©omĂ©trie du publicMettre en scĂšne l'Ă©tat de perpĂ©tuelle transformation des choses dans l'univers. DĂ©multiplier Ă  l'infini des mouvements Ă©lĂ©mentaires, les intĂ©grer Ă  des systĂšmes complexes faits de micro-altĂ©rations, pour qu'au terme d'une partition rĂ©pĂ©titive, la danse soit devenue non pas une expression de soi-mĂȘme mais une transformation de soi-mĂȘme», selon la formule de John Cage. On a beaucoup Ă©crit sur l'hĂ©ritage des compositeurs minimalistes comme Steve Reich ou Philip Glass, qui va de la techno de Detroit Ă  celle, minimale, de Berlin. On en sait moins sur l'influence que Lucinda Childs, la plus puriste et la plus fidĂšlement rĂ©pĂ©titive» de la bande du Judson Dance Theater, a pu avoir sur les gĂ©nĂ©rations pourtant, l'ombre de ses compositions rĂ©pĂ©titives semble planer sur bien des plateaux. Et il est saisissant de voir que beaucoup des grandes Ɠuvres chorĂ©graphiques de ces derniĂšres annĂ©es, celles aussi qui ont remportĂ© une forte adhĂ©sion du public, ont toutes dĂ©cortiquĂ© un seul rĂ©gime de mouvement. C'Ă©tait une partition de sauts rĂ©pĂ©tĂ©s dans The Dog Days Are Over du jeune chorĂ©graphe belge Jan Martens. Une partition de marches dans TragĂ©die, le blockbuster que le Français Olivier Dubois a crĂ©Ă© Ă  la suite de RĂ©volution une partition de tours. Une partition de danse traditionnelle bavaroise rĂ©pĂ©tĂ©e jusqu'au cauchemar dans FOLK-S de l'Italien Alessandro Sciarroni. Et ce sont encore aujourd'hui, prĂ©sentĂ©s dans une mĂȘme programmation Ă  la Biennale de la danse de Lyon, le fascinant Turning, du mĂȘme Sciarroni lire ci-contre, et la nouvelle crĂ©ation Auguri, du mĂȘme Dubois - une composition trĂšs trop lĂ©chĂ©e de courses infiniesOn ne peut pas dire que les partitions minimalistes avaient complĂštement disparu depuis les annĂ©es 80. A moins de rayer de l'histoire les premiers chefs-d'Ɠuvre d'Anne Teresa De Keersmaeker Fase, Rosas Danst Rosas ou de passer sous silence l'entĂȘtant Umwelt de Maguy Marin basĂ© sur la rĂ©pĂ©tition hypnotique d'apparitions et disparitions, entre abstraction et thĂ©ĂątralitĂ©. Mais disons que l'effet de masse est aujourd'hui notable. Olivier Dubois, qui compte Dance et Rosas Danst Rosas comme deux piĂšces fondatrices de son parcours, ne se risque pas Ă  parler de syndrome», mais nous donne une clĂ© d'analyse trĂšs pragmatique les compositions rĂ©pĂ©titives nĂ©cessitent souvent beaucoup d'interprĂštes en plateau. Or, pour des raisons esthĂ©tiques autant qu'Ă©conomiques, il y avait une certaine pauvretĂ© des chorĂ©graphies de groupe avant 2012 [la date de crĂ©ation de TragĂ©die, avec 18 danseurs, au Festival d'Avignon, ndlr]. Aujourd'hui, il y en a davantage [22 danseurs pour Auguri, ndlr] et la question de l'Ă©criture, souvent Ă©vacuĂ©e des plateaux pendant les annĂ©es 90-2000, revient en force. Et dans cette quĂȘte d'Ă©criture, le minimalisme, c'est Ă©videmment la grande Ă©vasion.» De son cĂŽtĂ©, le trentenaire Jan Martens avançait une autre carte, plus sociologique, quand il nous expliquait son dĂ©sir d'instaurer dans la salle de The Dog Days Are Over un rapport au temps et une qualitĂ© de concentration dont nous priveraient aujourd'hui les sociĂ©tĂ©s connectĂ©es. On est matraquĂ© d'infos, on voit mille fois plus d'images qu'il y a cinquante ans ! Le minimalisme, c'est prendre le temps de regarder en profondeur les transformations subtiles, ça rĂ©tablit de l'introspection.» Reste qu'entre la gĂ©nĂ©ration des annĂ©es 70 et celle d'aujourd'hui, la façon d'utiliser la rĂ©pĂ©tition n'est plus la mĂȘme. Sur les plateaux de Lucinda Childs, les danseurs dĂ©filent en flux continu, comme des chiffres. Ou des notes. Le mouvement n'exprime rien d'autre que lui-mĂȘme le pur prĂ©sent, la physicalitĂ©. Pas d'Ă©tat, pas d'expressivitĂ©, pas de subjectivitĂ©, aucune trace de narration, effacement total du sujet, l'Ă©motion naĂźt uniquement des combinaisons infinies inscrites sur la d’hypnoseQuant Ă  aujourd'hui, j'ai l'impression que nous sommes quelques-uns Ă  puiser dans des imaginaires plus archaĂŻques, plus proches des rituels de possession, en nous ancrant dans diffĂ©rents champs sociaux aussi», analyse le chorĂ©graphe Alexandre Roccoli qui, dans ses rĂ©centes crĂ©ations, tire les fils entre rituels traditionnels, musique electro et gestes de mĂ©tiers oubliĂ©s. On nourrit la densitĂ©, l'Ă©tat des interprĂštes via des motifs rĂ©pĂ©titifs mais ces motifs, parfois bruts, sortent du formalisme abstrait. L'Ă©volution est sensiblement la mĂȘme en musique.»La rĂ©pĂ©tition est en effet un principe commun Ă  nombre de transes, de rituels d'hypnose, voire d'ensorcellement. Les minimalistes des annĂ©es 70 s'Ă©taient eux-mĂȘmes inspirĂ©s de certaines traditions extra-europĂ©ennes pour construire leurs mĂ©caniques d'Ă©criture Philip Glass a Ă©tudiĂ© les structures musicales indiennes. Mais souvent moins par amour du mysticisme que par volontĂ© d'Ă©tudier les phĂ©nomĂšnes de la perception. Aujourd'hui, si les procĂ©dĂ©s d'Ă©criture revisitent ceux des grands maĂźtres des annĂ©es 70, de maniĂšre plus ou moins formelle ou en introduisant plus ou moins de lyrisme, les objectifs semblent diffĂ©rents. Au centre du travail de Lucinda Childs, c'est la partition. Dans le mien, trĂšs clairement, c'est l'interprĂšte, commente Olivier Dubois. Tout ce cadenassage mis en place dans ma trilogie [RĂ©volution, TragĂ©die et aujourd'hui Auguri, ndlr] sert Ă  libĂ©rer la singularitĂ© de chacun.» En somme, introduire le sujet, l'incarnation, parfois la fiction dans un cadre formel extra froid.
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VERSL INFINI ET AU-DELÀ 2 3 Qui n’a pas dĂ©jĂ  entendu la devise de Buzz l’Eclair, le cĂ©lĂšbre personnage de la sĂ©rie Toy’s story ? Un appel Ă  dĂ©passer ses limites en affrontant sa peur de l’inconnu. C’est exactement l’esprit de ce guide qui t’emmĂšnera vers des destinations encore inexplorĂ©es
Forum Futura-Sciences les forums de la science INFOS Discussions scientifiques L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Affichage des rĂ©sultats du sondage l'univers est-il infini ou au contraire a-t-il une fin Votants 39. Vous ne pouvez pas participer Ă  ce sondage. L'Univers est infini L'Univers a une fin peut-ĂȘtre les deux  RĂ©pondre Ă  la discussion Affichage des rĂ©sultats 241 Ă  270 sur 311 01/08/2010, 17h10 241 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini - Etant donnĂ© qu'il divise la surface de la Terre infiniment,ils ont tous la mĂȘme surface,mm s'il divise la surface totale infiniment,chaque "cellule" auront une surface qui tend vers 0. Et pour calculer la surface totale de la Terre ou d'une sphĂšre quelconque on devra multiplier le nombre de surface c'est Ă  dire l'infini par l'aire de chaque "cellule" c'est Ă  dire 0 J'espĂšre avoir Ă©tĂ© plus clair - 01/08/2010, 17h13 242 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par Michel mmy En conclusion, la valeur de la surface de la Terre n'est ni finie, ni infinie, elle est juste non dĂ©finie. Et toute dĂ©finition suffisamment dĂ©taillĂ©e pour ĂȘtre opĂ©rationnelle dĂ©pendra de choix arbitraires, et donnera un rĂ©sultat fini, variable selon les choix arbitraires. Ca me va mieux. N'a de convictions que celui qui n'a rien approfondi Cioran 01/08/2010, 17h17 243 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Pouvez-vous rĂ©pondre,s'il vous plait Ă  la question que j'ai posĂ© au message 170 ?? Moi,j'en ai pas trouvĂ©. 01/08/2010, 17h18 244 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par Michel mmy Auquel cas, non, il n'est pas correct de dire que "infini spatial" implique "infinitĂ© de copies de la Terre", et les arguments contre cette idĂ©e ont Ă©tĂ© exposĂ©s au moins une demi-douzaine de fois. Bon, excuses moi Michel, j'ai pourtant bien relu tout le fil, les arguments message 134, 139, 202, mais je bloque complĂštement sur cette partie de l'argumentaire. Et comme je ne veux pas encombrer ce dĂ©bat, je vais rejoindre ma place sur le Travaillez, prenez de la peine, c'est le fond qui manque le moins. 01/08/2010, 17h21 245 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par Michel mmy Sans plus de prĂ©cision, pour moi et beaucoup de gens, le terme "Univers" rĂ©fĂšre Ă  une rĂ©alisation particuliĂšre, le "tout" particulier dans lequel nous sommes, et non pas le "tout" gĂ©nĂ©ral de tout le possible/imaginable. qu'est-ce que le "tout" gĂ©nĂ©ral? Est-ce que l'au-delĂ  en fait partie? 01/08/2010, 17h29 246 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Le "tout" gĂ©nĂ©ral c'est , par exemple, toutes les univers parallĂšle on n'est pas sur que ça existe 01/08/2010, 17h51 247 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par samil Etant donnĂ© qu'il divise la surface de la Terre infiniment,ils ont tous la mĂȘme surface,mm s'il divise la surface totale infiniment,chaque "cellule" auront une surface qui tend vers 0. Et pour calculer la surface totale de la Terre ou d'une sphĂšre quelconque on devra multiplier le nombre de surface c'est Ă  dire l'infini par l'aire de chaque "cellule" c'est Ă  dire 0 J'espĂšre avoir Ă©tĂ© plus clair Voir l'explication de Michel dans un modĂšle mathĂ©matique. Or il me semble qu'Evrardo parlait bien de la Terre d'un point de vue physique, concret, et lĂ  c'est diffĂ©rent. N'a de convictions que celui qui n'a rien approfondi Cioran 01/08/2010, 17h54 248 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Ok,dĂ©solĂ© alors,j'suis Ă  l'Ouest 01/08/2010, 18h05 249 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par samil Donc si l'univers est infini alors il y a une infinitĂ© d'Ă©nergie positif et une infinitĂ© d'Ă©nergie si on fait leur somme on aura une forme indĂ©terminĂ©e,ce qui est contre le calcul d'Einstein. "Forme indĂ©terminĂ©e" veut simplement dire que certaines façon d'Ă©crire, par exemple un quotient, ne sont pas suffisantes pour le dĂ©crire, cela ne veut pas dire que le quotient n'existe pas ; l'exemple le plus simple qui me vienne en tĂȘte est , qui mĂȘme quand x tend vers l'infini est Ă©gal Ă  1, mĂȘme si par mĂ©garde je l'avais Ă©crit ce qui ne m'aurait pas permis de conclure. Je suis Charlie. J'affirme pĂ©remptoirement que toute affirmation pĂ©remptoire est fausse 01/08/2010, 19h34 250 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par samil Le "tout" gĂ©nĂ©ral c'est , par exemple, toutes les univers parallĂšles on n'est pas sĂ»r que ça existe l'univers est par dĂ©finition tout ce qui existe on peut en prendre une autre, mais on ne sera plus sur la mĂȘme longueur d'onde, je ne vois pas bien comment il peut y avoir plusieurs touts. 01/08/2010, 19h37 251 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Oui ,t'as raison j'ai voulu dire la mĂȘme que toi mais j'me suis mal exprimĂ© 10/08/2010, 04h41 252 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini je ne sais pas si tu t'es mal exprimĂ© mais peut-ĂȘtre faisais-tu allusion aux mondes multiples d'Everett; je crois qu'on est lĂ  en pleine pseudo-science, sinon en mĂ©taphysique, ce qui en soi n'est pas trĂšs gĂȘnant mais il ne faudrait pas dire alors qu'il s'agit de physique mais bien de mĂ©taphysique. 10/08/2010, 11h21 253 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Oui,t'as bien vu j'ai vu qu'il y avait une nuance entre le "tout gĂ©nĂ©ral" et l'univers,je me suis dit que peut-ĂȘtre vous pensiez qu'il y a autre chose en dehors de l'univers comme un autre type d'espace Ă  d'autres dimensions qui contiendrait notre univers et aussi les univers parallĂšles. Mais on n'a pas le droit d'en parler.... 10/08/2010, 12h52 254 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par samil ,je me suis dit que peut-ĂȘtre vous pensiez qu'il y a autre chose en dehors de l'univers comme un autre type d'espace Ă  d'autres dimensions qui contiendrait notre univers et aussi les univers parallĂšles.Mais on n'a pas le droit d'en parler.... Bien sĂ»r que si on peut en parler, Ă  condition d'apporter des preuves et des dĂ©monstrations logiques. De plus mĂȘme si notre univers est contenu dans un autre univers, ou faisant partie de multiples autres univers, ça ne changera rien au fait que les lois de notre univers sont rationnelles. Travaillez, prenez de la peine, c'est le fond qui manque le moins. 10/08/2010, 12h59 255 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Justement le problĂšme c'est que les lois et constantes naturelle ne sont peut-ĂȘtre pas dans les autres univers supposĂ©.. 10/08/2010, 13h29 256 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par samil les lois et constantes naturelle ne sont peut-ĂȘtre pas [les mĂȘmes] dans les autres univers supposĂ©s.. D'autres univers! franchement qu'est-ce qu'on en a Ă  faire? Ne vivons-nous pas dans le notre d'univers? L'hypothĂšse d'univers parallĂšles est Ă©quivalent Ă  se poser la question de l'existence de l'au-delĂ  et de celle de Dieu; de la pure mĂ©taphysique! D'aprĂšs Kuhn dans les pĂ©riodes de crise les scientifiques se posent des questions philosophiques mĂ©taphysiques plutĂŽt que de rĂ©pondre rationnellement aux Ă©nigmes. La physique est-elle en crise? 10/08/2010, 13h31 257 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Oui... 10/08/2010, 16h25 258 noir_ecaille Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Est-il nĂ©cessaire qu'il existe un "au-delĂ " ? Pour moi, mĂȘme si on a des ensembles de "rĂ©gions" d'autres diront "univers" emboitĂ©es façon poupĂ©e russe, si l'univers est dĂ©fini comme "tout ce qui existe", il englobe aussi toutes les poupĂ©es possibles. ForcĂ©ment au moins une partie des lois d'une rĂ©gion donnĂ©e aura des interactions causes, consĂ©quences, inductions avec tout ou partie d'une rĂ©gion qu'elle englobe, puisque cette "sous-rĂ©gion" fait partie / appartient au niveau immĂ©diatement supĂ©rieur. C'est juste une opinion. "Deviens ce que tu es", Friedrich W. Nietzsche 10/08/2010, 17h40 259 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par noir_ecaille Est-il nĂ©cessaire qu'il existe un "au-delĂ " ? Je ne sais pas s'il est nĂ©cessaire qu'il existe un au-delĂ . Je dis juste que la question des univers multiples est du mĂȘme ordre que celle de l'au-delĂ  et de Dieu pure mĂ©taphysique qu'il ne faut pas travestir en physique pure. 10/08/2010, 18h29 260 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par noir_ecaille Est-il nĂ©cessaire qu'il existe un "au-delĂ " ? Pour moi, mĂȘme si on a des ensembles de "rĂ©gions" d'autres diront "univers" emboitĂ©es façon poupĂ©e russe, si l'univers est dĂ©fini comme "tout ce qui existe", il englobe aussi toutes les poupĂ©es possibles. ForcĂ©ment au moins une partie des lois d'une rĂ©gion donnĂ©e aura des interactions causes, consĂ©quences, inductions avec tout ou partie d'une rĂ©gion qu'elle englobe, puisque cette "sous-rĂ©gion" fait partie / appartient au niveau immĂ©diatement supĂ©rieur. C'est juste une opinion. Ok, mais il faut des preuves qu'il y a une interaction entre notre monde et ces univers. Or il n'y a rien, absolument rien. Travaillez, prenez de la peine, c'est le fond qui manque le moins. 10/08/2010, 18h53 261 noir_ecaille Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Je me rĂ©pĂšte, mais... Est-il nĂ©cessaire qu'il existe un "au-delĂ " ? "Deviens ce que tu es", Friedrich W. Nietzsche 10/08/2010, 20h03 262 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Nan! c'est pas nĂ©cessaire, c'est comme pour les mondes multiples, c'est comme on veut! 10/08/2010, 20h28 263 tavernycutler Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par noir_ecaille Je me rĂ©pĂšte, mais... Est-il nĂ©cessaire qu'il existe un "au-delĂ " ? Obligation d'existence d'un "au-delĂ "? Certainement,puisque certains scientifiques admettent des limites dans la description de la rĂ©alitĂ©. 10/08/2010, 20h35 264 invite6754323456711 InvitĂ© Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par noir_ecaille Est-il nĂ©cessaire qu'il existe un "au-delĂ " ? Vers l'infini et "'au-delĂ " ? Patrick 10/08/2010, 20h56 265 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par tavernycutler Obligation d'existence d'un "au-delĂ "? Mais on ne peut pas raisonner sur l'existence ou l'inexistence de quelque chose dont a aucune preuve que ça existe ou n'existe pas. EnvoyĂ© par tavernycutler Certainement,puisque certains scientifiques admettent des limites dans la description de la rĂ©alitĂ©. Quelles limites? Travaillez, prenez de la peine, c'est le fond qui manque le moins. 10/08/2010, 22h14 266 tavernycutler Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par evrardo Mais on ne peut pas raisonner sur l'existence ou l'inexistence de quelque chose dont a aucune preuve que ça existe ou n'existe pas. Quelles limites? Par exemple ,une dĂ©marche scientifique rend compte de lois de causes Ă  effets, ce qui appelle Ă  s'interroger sur l'origine des dites causes. Un tel procĂ©dĂ© conduit donc Ă  un questionnement infini, et Ă  admettre d'emblĂ©e les limites de nos connaissances. Ou de considĂ©rer, pour Ă©viter cet Ă©cueil d'admettre un point de dĂ©part qui serait prĂ©cĂ©dĂ© par "rien".Or ce terme ne possĂšde aucune signification scientifique. Dans l'Ă©tat actuel de notre perception humaine et du formalisme scientifique, ces deux rĂ©ponses ne sont pas satisfaisantes , d'oĂč la notion de limites. 12/08/2010, 16h53 267 noir_ecaille Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par tavernycutler admettre d'emblĂ©e les limites de nos connaissances. Et pas translater ces limites comme Ă©tant celles de l'univers, non mais ! Plus sĂ©rieusement, si Darwin avait fait de la physique, certainement des aspects aussi spĂ©culatifs qu'un "au-delĂ " auraient volĂ© en Ă©clats Ă  la lumiĂšre de la rigueur Ă©pistĂ©mologique. C'est Ă  la limite d'un remix gĂ©ocentriste ou hĂ©liocentriste - et plus simplement humanocentriste. Comme la sphĂšre a une surface limitĂ©e non bornĂ©e en terme bidimensionnel, il n'y a pas "d'au-delĂ " bidimentionnel, sa surface s'explique et s'explore sans au-delĂ . L'univers peut tout aussi bien ĂȘtre un espace-temps limitĂ© non bornĂ© - ou ĂȘtre infini. Ce n'est pas parce que l'infini nous Ă©chappe qu'il soit nĂ©cessairement impossible. Ce n'est pas parce que l'univers Ă©chappe Ă  nos connaissances limitĂ©es qu'il est nĂ©cessairement limitĂ©. Ce n'est pas parce que notre accĂšs Ă  l'univers est bornĂ© distance d'observation que l'univers est bornĂ© et donc qu'il y aurait un "au-delĂ ". La science a encore de beaux jours devant elle. Pour autant des croyances, toutes scienteusistes qu'elles soient, ne restent que des croyances, Ă  moins d'une preuve positive = on ne table pas sur un trou pour combler un vide et d'une dĂ©monstration cohĂ©rente finie qui l'explique de maniĂšre rĂ©ductrice, logique, asubjective1 et objective.1 sans impliquer un fait ex imagination, croyance... de la part de qui que ce soit l'expliquant, l'expliquĂ©.... "Deviens ce que tu es", Friedrich W. Nietzsche 12/08/2010, 17h20 268 Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par noir_ecaille Ce n'est pas parce que l'infini nous Ă©chappe qu'il soit nĂ©cessairement impossible. Ce n'est pas parce que l'univers Ă©chappe Ă  nos connaissances limitĂ©es qu'il est nĂ©cessairement limitĂ©. alors lĂ , c'est bien vu! entiĂšrement d'accord! EnvoyĂ© par noir_ecaille Comme la sphĂšre a une surface limitĂ©e non bornĂ©e en terme bidimensionnel, il n'y a pas "d'au-delĂ " bidimentionnel, sa surface s'explique et s'explore sans au-delĂ . pour sa surface oui, mais il y a bien un au-delĂ  en dehors de sa surface, en tridimensionnel, n'est-il pas? Ne pourrait-il pas en ĂȘtre de mĂȘme pour l'univers? Bon! OK, nous ne sommes plus alors dans le domaine scientifique mais vu le sujet, il est clair qu'on flirte avec le mĂ©taphysique. 12/08/2010, 18h06 269 Weismann Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini Je crois que l'existence d'un dĂ©miurge ne permet de dire que l'univers a une fin ou non. Le scientisme s'est substituĂ© Ă  la croyance, Ă  la religion et continue de se substituer Ă  ces derniĂšres quoique la science n'a ostensiblement rien fait de plus extraordinaire que la nature, l'univers-mĂȘme. Le fait d'imaginer une fin Ă  l'univers est aussi > je reprends son mot pour faire court que la croyance en l'au-delĂ . De plus "connaissance" et "ignorance" sont bien antinomiques, Ă  ce que je sache... Et soit on connait, soit on ne sait rien ! C'est l'homme qui se donne des limites sur le plan physique et tout aussi bien sur le plan intellectuel. Je crois que Darwin n'aurait pas fait mieux que nous bien qu'il fut un scientifique avant-gardiste de renom... C'est un homme ! Et qui plus est, avant, on pouvait ĂȘtre astronome, mĂ©decin, philosophe... sans souci Si Darwin n'a pas optĂ© pour la physique, Dieu seul saura pourquoi ! La dĂ©couverte complĂšte de l'univers n'est qu'une Ă©tape Ă  franchir pour la science, mais elle se rĂ©vĂšle plus qu'une simple Ă©tape C'est l'avenir de la civilisation humaine qui est enjeu. 12/08/2010, 19h00 270 Weismann Re L'univers a-t-il une fin ou est-il infini EnvoyĂ© par Dignaga Avant de tenter de rĂ©pondre Ă  la question, il faut se demander, si la question a un sens. L'objet de la question, est de parler de la finitude, ou de l'infinitude, d'un objet, que l'on nomme Univers. Or Ă  plus d'un titre l'Univers n'est pas un objet et Ă  foriori un objet de science. Ici je parle bien sĂ»r de l'univers rĂ©el, celui dans lequel nous vivons. considĂ©rĂ© comme classe propre de tout ce qui existe. La contenu de cette classe propre, ne peut-ĂȘtre dĂ©fini, puisqu'il Ă©volue en permanence, par son contenu, et les processus qui l'animent. Par consĂ©quent, l'univers en tant qu'objet n'existe pas, il n'existe qu'en tant que processus. Donc la question de la finitude ou de l'infinitude de l'univers n'a pas de sens. Cela a du sens, pour un objet, parce-qu'il existe. Il est "dans" l'univers, et a donc nĂ©cessairement des dimensions. Mais pour un non-objet, la question est sans objet...si je puis dire. On pourrait rĂ©sumer la situation en disant Un objet infini, n'est pas un objet, donc la question de la finitude est absurde. Mais cela n'empĂȘche pas les scientifiques de modĂ©liser l'univers visible, et de faire de hypothĂšses, et de les vĂ©rifier. L'important pour la science c'est de pouvoir modĂ©liser les phĂ©nomĂšnes, et de pouvoir faire des prĂ©visions. Cordialement Yes ! En voilou un argument qui met fin aux discussions stĂ©riles et aux masturbations intellectuelles... Mais je puis rĂ©pondre Ă  cela par une base mathĂ©matique La droite. Soit un segment sur un support bidimensionnel... Ce n'est ni un objet ni "un rien", il est visible, il existe. Maintenant enlevons ce qu'il y a Ă  enlever pour que ce soit une droite. Nous pouvons dorĂ©navant la prolonger ce qui n'Ă©tait pas possible avec le segment . Elle n'aura de fin que lorsque le support disparaĂźtra ou encore changera. L'univers a-t-il un support ? La question se pose lĂ  ! celle de l'objet devient Ă©lĂ©mentaire et futile Parce que la Terre se trouve dans l'univers, du moins c'est ce que l'on pense encore aujourd'hui bah, je dis ça, je garde ça pour moi - All rights reserved for my future researches. Sur le mĂȘme sujet Discussions similaires RĂ©ponses 53 Dernier message 09/02/2010, 15h10 RĂ©ponses 25 Dernier message 31/10/2008, 13h57 RĂ©ponses 7 Dernier message 30/10/2007, 21h12 RĂ©ponses 25 Dernier message 17/04/2007, 23h31 RĂ©ponses 12 Dernier message 25/09/2005, 19h35 Fuseau horaire GMT +1. Il est actuellement 03h48.
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